“圓”中難點十一問

王云峰

“圓”中難點十一問

王云峰

在圓的章節學習中，我們會學到很多重要的知識和方法，也會提出一些很有分量的思考問題，下面的問題你會答嗎？

1.如何證明幾個點在同一個圓上？

答：根據圓的定義“圓是到定點的距離等于定長的點的集合”，將問題轉化為證明這幾個點到同一個點（即圓心）的距離相等.如圖1，兩個直角三角形有相同的斜邊，那么兩個直角頂點以及斜邊的兩個端點在同一個圓上（圓心是斜邊的中點）.

圖1

2.長度相等的弧是等弧嗎？

答：能夠互相重合的弧叫做等弧，由定義可知等弧的長度相等，但長度相等的弧不一定能互相重合，所以長度相等的弧不一定是等弧.

3.垂徑定理有哪些應用？

答：垂徑定理是證明線段相等、角相等、垂直關系、弧相等問題的重要依據，同時也為圓中的計算與作圖提供了依據和方法.

在解決與弦有關的問題時，常構造出如圖2所示的直角三角形，這是圓中常用的基本圖形.

圖2

圖3

如圖3，⊙O中，半徑OD⊥弦AB于點C，與弦有關的計算問題常化歸到Rt△OAC中求解.若用r表示半徑，a表示弦AB的長，d表示圓心O到弦AB的距離，h表示劣弧AB的最高點到弦AB的距離，則r、a、d、h之間滿足及d+h= r，可知在r、a、d、h中，知道其中任意兩個量，就可求出其余兩個量，即“知二求二”.

4.與圓有關的角有哪些？

答：圓心角與圓周角，定理“圓心角的度數與它所對的弧的度數相等”是“圓心角的度數”與“弧的度數”相互轉化的重要依據；圓周角定理體現了圓周角與圓心角之間的關系，是“弧相等”與“角相等”相互轉化的重要依據.

5.一條弦所對的圓周角有什么關系？

答：由“同弧或等弧所對的圓周角相等”及“圓內接四邊形的對角互補”知，一條弦所對的圓周角相等或互補.

6.三角形的外心與內心有什么不同？

答：三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形三個頂點的距離相等.銳角三角形的外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形的外心在三角形的外部.

三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心.三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等；三角形的內心一定在三角形內部.

【說明】三邊長分別為a、b、c（∠C=90°）的直角三角形的外接圓半徑是內切圓半徑是

7.如何證明一條直線是圓的切線？

答：如果直線與圓有公共點，那么利用切線的判定定理即“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”進行證明；如果直線與圓不能確定公共點，那么利用“圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線”進行證明，即作出圓心到直線的垂線段，證明垂線段與圓的半徑相等.

圖4

8.如何求正多邊形的面積？

答：如圖4，正n邊形的半徑為R，邊AB=a，圓心O到邊AB的垂線段OM=d，則正多邊形的面積為nS△AOB=2nS△AOM=即將關于正n邊形的計算轉化到Rt△AOM中進行.

9.弧長公式、扇形面積公式、圓錐側面積公式分別是什么？

答：n°的圓心角所對的弧長為l弧=圓心角為n°的扇形面積是S扇形=弧長為l弧的扇形面積公式是母線長為l母，底面圓半徑為r的圓錐側面積是S側=πrl母.

【說明】弧長公式、扇形面積公式、圓錐側面積公式很容易發生混淆，熟練掌握每個公式的推導過程是避免混淆的有效措施.如：另外弧長公式與圓錐側面積公式中都有字母l，兩者表示的意義不相同，為防止混淆，運用公式時可用文字標注出其意義.

10.如何求不規則圖形的面積？

答：求不規則圖形的面積，一般利用“割補法”將不規則圖形割補成規則圖形，于是不規則圖形面積可用規則圖形面積的和或差表示出來，進而再求面積.如果不規則圖形中含有弧，一般要連接半徑構造出弧所在的扇形再求解.

11.圓中常用的輔助線有哪些？

答：（1）連接半徑（以便運用“同圓的半徑相等”，即構造出等腰三角形）；（2）過圓心作弦的垂線（以便運用垂徑定理）；（3）“遇直徑，連直角”（以便運用“直徑所對的圓周角是直角”）；（4）“遇切點，連半徑”（以便運用切線的性質定理）.

（作者單位：江蘇省鹽城市葛武初級中學）