基于微分進化算法的航空發動機模型修正

朱正琛，李秋紅，王　元，潘鵬飛

（南京航空航天大學江蘇省航空動力系統重點實驗室，南京210016）

基于微分進化算法的航空發動機模型修正

朱正琛，李秋紅，王元，潘鵬飛

（南京航空航天大學江蘇省航空動力系統重點實驗室，南京210016）

為了提高航空發動機性能仿真模型精度，采用微分進化算法對發動機部件特性進行修正。對微分進化算法進行改進，提出折線式交叉變量變化方式，提高了算法的尋優能力。提出變步長牛頓-拉夫遜迭代算法，基于平衡方程殘差范數變化趨勢，改變牛頓-拉夫遜算法迭代計算步長，提高了模型的收斂性和收斂速度。在設計點，對各部件特性、引氣系數、總壓恢復系數進行修正，使修正后的模型輸出與試驗數據相匹配。仿真結果表明：改進后的牛頓-拉夫遜迭代算法收斂性更強、計算速度更快，修正后的各輸出參數的最大建模誤差減小到1.3762%，滿足建模誤差需求。

微分進化算法；牛頓-拉夫遜迭代算法；部件特性修正；折線式交叉變量；性能仿真模型；航空發動機

0　引言

計算機仿真技術既能夠大幅度縮減航空發動機試車所需的時間和成本，避免試車時的不安全因素，又能夠完全獲得各截面的參數，所以建立精確的發動機性能仿真模型有重要意義。但由于加工誤差及使用過程中產生的性能蛻化等原因，所建立的仿真模型與實際發動機之間存在一定差異。為了使發動機模型輸出參數更加精確，需要對發動機部件特性進行修正。

模型修正方案大致分2種。1種是在有較多試車數據時，采用函數擬合的方法來獲得發動機的部件特性。文獻［1～3］利用多組試車數據，采用擬合法近似獲得以3階函數為表達形式的壓氣機增壓比特性圖。該方法能夠獲得整個工作范圍內的工作特性，但精度有待提高。文獻［4］利用優化算法求得不同狀態點的修正系數，而后擬合修正系數曲面，獲得修正曲面后利用插值方法求得各點對應的修正系數。另1種是當試車數據較少時，在原有部件特性上進行修正。為了避免修正過程中的盲目性，國內外專家廣泛采用優化算法來實現模型輸出與試驗結果的匹配。文獻［5-7］利用最小二乘方法對模型進行修正；文獻［8-10］采用遺傳算法對航空發動機部件特性進行修正。最小二乘法是1種局部搜索算法，遺傳算法又容易陷入局部最優，同時其初始種群隨機產生，初值不適宜，容易使模型發散。

本文以某渦扇發動機模型為研究對象，采用微分進化算法，利用發動機在設計點的試車數據，對模型的部件特性、引氣系數以及總壓恢復系數進行修正，減小建模的平均誤差和最大誤差。針對模型修正過程中易出現的計算發散現象，提出變步長牛頓-拉夫遜迭代算法，提高模型穩定性和收斂速度。

1　部件特性修正目標

部件特性是模型計算的基礎，適宜的部件特性可以提高模型精度。對于發動機來說，由于難以獲得精確的部件特性，在建模過程中通常使用通用特性，這會直接影響到模型的精度，為此本文采用部件特性修正因子對部件特性進行修正。以壓氣機的部件特性修正為例，設其設計點給定的特性為（cπ，cw，cη），分別代表壓比、流量和效率。選擇對應的部件特性的修正因子為（Δcπ，Δcw，Δcη）。修正后的模型新特性為（cπ× Δcπ，cw×Δcw，cη×Δcη）。

航空發動機模型是1個強耦合、強非線性的系統［11］，除部件特性以外的其他因素的變化同樣會對模型的輸出產生影響。本文在對部件特性進行修正的同時，考慮到模型的引氣系數以及總壓恢復系數與實際發動機設計狀態的差異，將這些因素列入考量，以實現模型輸出和試驗數據的匹配［12］。

修正因子選取見表1。

表1　待優化參數

在表1中，Δf、Δc、Δh分別代表風扇、壓氣機、高壓渦輪對應的修正因子；下標中π、w、η分別對應壓比、流量、效率；δ3in為壓氣機中間級引氣系數；δ31、δ3in1為高、低壓渦輪進口處引氣分配系數；σ0、σB、σ7、σ8、σ16分別為外涵道、進氣道、燃燒室、摻混室、尾噴管所對應的總壓恢復系數。

將修正后模型的輸出與發動機真實數據的相對誤差作為評判模型精度的標準。定義目標函數

式中：M為參與評判的參數的個數；ai為各參數的加權系數；yTest為試車數據；yModel為模型輸出數據。采用目標函數的倒數作為適應度函數

模型輸出與試驗數據相對誤差越大，Of也就越大，此時J也就越小，個體被淘汰的幾率增大。式（1）中的ai并非一成不變，當最優適應度J超過20代不發生變化時，找出相對誤差最大的變量，增大其權值。相應減小相對誤差最小變量的權值。從而能夠減小建模最大誤差，加快模型的收斂速度。

高、低壓轉速（N2，N1）的精度將直接影響到轉速線的確定，轉速對精度起統領作用。本文要求高、低壓轉速的精度均需達到0.2%。若不能達到精度要求，則降低個體的適應度，使其被淘汰的幾率增大，即令

模型在設計點的優化過程如圖1所示。

圖1　模型在設計點優化流程

采用1種合適的算法是模型修正的關鍵。微分進化算法在解決復雜全局化最優化問題方面的性能更加突出，過程也更加簡單，受控參數少，被視為仿生智能計算產生以來在算法結構方面取得的重大進展［13］。因此本文采用微分進化算法對模型進行優化。

2　微分進化算法設計

作為1種基于群體進化的仿生智能計算方法，微分進化算法通過種群個體間的合作與競爭來實現對優化問題的求解。設種群規模為NP，可行解空間的維數為D（本文中D為修正因子的個數）。首先，在問題的可行解空間內隨機產生初始種群用于表征第i個個體解。本文每個個體xi表征1組修正因子。

微分進化算法的基本操作包括變異、交叉及選擇3種［14］。通過這3種操作使種群朝著種群適應度值變大的方向進化，最終得到問題的最優解。

2.1微分進化算法的基本操作

2.1.1變異操作

生成變異向量vi

式中：（xr1，xr2，xr3）為在父代種群中隨機選取的3個不同個體，且r1≠r2≠r3≠i；μ為［0，2］間的實型放縮因子，用于控制差分向量（xr1，xr2）的影響。

放縮因子較小會引起算法過早收斂，較大的μ值能提高算法跳出局部最優的能力，但當μ＞1時，算法的收斂速度會明顯降低。放縮因子的經驗選取范圍為0.5～0.9［13］，本文選取μ=0.6。

2.1.2交叉操作

微分進化算法交叉操作的目的是通過變異向量vi和目標向量xi各維分量隨機重組提高種群個體的多樣性。生成新的交叉向量ui=（ui，1，ui，2，…，ui，D）

式中：r為［0，1］間的隨機數；RB為［1，D］間的隨機整數，保證ui至少要從vi中獲得1個元素，以確保有新的個體生成，從而避免種群的進化停滯；CR為［0，1］間的常數，稱為交叉變量，其選擇將會影響種群進化的速度和最優解的精度。

2.1.3選擇操作

微分進化算法的選擇操作是1種“貪婪”選擇模式，當且僅當新的向量個體ui的適應度值比目標向量個體xi的適應度值更好時，ui才會被種群接受。選擇操作可描述為

2.2交叉變量的設置

在微分進化算法中，交叉變量在整個進化過程中一般固定不變。這種做法雖然簡單，但對于不同的優化問題，參數設置各不相同，需要進行多次試驗才能確定合適的參數變化規律，提高算法的尋優能力。

本文提出1種折線式CR的變化規律，在迭代初期，保持較大的交叉變量，使得算法具有較快的收斂速度；在迭代后期，保持較小的交叉變量，使得算法能夠在最優解附近進行細致搜索；在迭代中期，交叉變量呈線性減小，使其變異概率逐漸減小。

式中：CR1、CR2分別為最大、最小交叉變量；G0為保持交叉變量不變的代數；t為當前代數；G為最大進化代數。

為了驗證這種交叉變量的尋優效果，在通用測試函數上對其開展仿真驗證，并與CR為常數和CR呈線性變化［15］的仿真結果進行對比。CR為常數時，根據常規選擇CR=0.6；CR呈線性時按文獻［15］的變化規律為

測試函數為

式中：-10.0≤x1，x2≤10.0。

該函數是2維的復雜函數，具有無數個極小值點，在（0，0）處取得最小值0。選取初始種群大小為100，迭代次數為100，CR1=0.9，CR2=0.1。

對于每種規律都獨立重復運行20次，然后比較算法20次運行的最優解和平均解。測試結果見表2。

表2　測試函數收斂精度的比較

從測試函數收斂結果的對比中可見，本文提出的折線式交叉變量搜索方式最優解和平均解更接近目標值“0”，求解效果更佳，收斂精度更高。

在優化過程中，由于初始種群在給定的范圍內隨機產生，且經過交叉變異也會產生一些偏離較遠的個體，可能會引起模型發散，使得優化中斷，影響優化的順利進行。為此，本文對牛頓-拉夫遜迭代法進行改進，提出基于發散判斷的變步長牛頓-拉夫遜迭代算法，能夠基于平衡方程殘差自適應調整計算步長，不但能夠避免迭代過程中的發散，而且可以提高模型的收斂速度。

3　改進牛頓迭代法

基于穩態模型對發動機部件特性進行優化。發動機處于穩定工作狀態時，應滿足各截面流量連續、靜壓平衡和各轉動部件的功率平衡。定義6個共同工作方程

式中：εi（i=1，2，…6）為共同工作方程的殘差；Wht為高壓渦輪的功率；Wc為高壓壓氣機功率；ηlt為高壓渦輪的效率；WEX為高壓渦輪的抽功量；Wlt為低壓渦輪的功率；Wfan為風扇功率；ηlt為低壓渦輪的效率；PS6為內涵出口靜壓；PS16為外涵出口靜壓；PC8為由流量連續算得的噴口總壓；P8為噴管出口背壓；Q41cX為根據高壓渦輪流量特性曲線計算出來的高壓渦輪進口換算流量；Q41c為由高壓渦輪導向器流入高壓渦輪轉子的換算流量；Q45cX為根據低壓渦輪流量特性曲線插值得到的低壓渦輪換算流量；Q45c為由低壓渦輪導向器進入低壓渦輪轉子的換算流量。

模型修正基于穩態模型展開，采用牛頓-拉夫遜（N-R）迭代方法來求解滿足誤差要求的方程猜值。基本步驟是：先試給出方程的解稱為初猜值），記平衡方程為φ（v）i，代入方程計算εi，若滿足殘差要求，初猜值即是方程的解，若不滿足要求，則需對猜值進行修正，下一步的猜值為

式中：k為N-R迭代次數；A為基于平衡方程殘差計算出的雅克比矩陣。

當|εi|＜10-6，i=1，2，…，6，認為方程收斂，迭代停止。

N-R法對于初始值的要求比較苛刻，在初始條件較惡劣的情況下，迭代收斂比較困難。在優化過程中，由于初始種群隨機產生，在模型修正的過程中頻繁出現迭代不收斂的現象，會中斷模型優化。在迭代時間方面，N-R法的計算步長λ固定，且需要重復計算雅可比矩陣，較小的計算步長會使模型調用次數過多，嚴重影響優化時間。目前在航空發動機數值計算應用中，針對N-R法的不足主要采取以下幾種改進方案：初值擬合法、部件特性擴展、變步長等［16-18］，主要思路是通過改變初始條件從而改善算法本身的收斂性和收斂速度。但這些方法會犧牲計算的實時性，且不能改善算法本身在惡劣條件下的計算性能。

本文針對N-R法的不足，提出了基于發散判斷的變步長N-R算法（V-N-R）。采用平衡方程殘差的二范數值||ε||的變化趨勢來判斷計算收斂或者發散的趨勢，在計算瀕臨發散時適當縮短步長λ，避免程序發散，在計算遠離發散邊界時適當增大步長λ，加快程序收斂速度。

式中：a為發散判斷系數，且當λ＞1時，令λ=1。

大量仿真研究表明||ε（k+1）||＞||ε（k）||的情況在最終計算收斂的計算過程頻繁出現，是1種正常現象。而當||ε（k+1）||＞2||ε（k）||時，迭代計算趨于發散。

為驗證基于發散判斷的變步長N-R法的有效性，在相同初猜值條件下，給定不同修正因子，使得平衡方程的初始殘差2范數值||ε||不同，常規N-R法和V-N-R法模型運算結果對比見表3。

從表3中可見，當步長較短和殘差的2范數較小時，2種方法都能收斂；當步長較大且殘差2范數較大時，N-R法易發散。而改進后的算法能夠判斷發散趨勢、及時調整計算步長，避免了迭代發散現象。從上面的迭代次數看，V-N-R法迭代次數明顯少于常規N-R法的，而每次迭代都需要調用6次模型來計算雅可比矩陣，大幅減少了計算時間。

4　模型修正仿真結果

以V-N-R法進行模型穩態計算，采用改進后的微分進化算法修正模型，最大和平均建模誤差隨進化代數變化曲線如圖2所示。修正前、后各輸出參數誤差對比如圖3所示。

在圖3中：N1、N2分別為高、低壓渦輪轉速；P25、 T25分別為高壓壓氣機進口總壓、總溫；P3、T3分別為表高壓壓氣機出口處總壓、總溫；Q41、P41分別為高壓渦輪進口燃氣流量、總壓；Q45、P45、T45分別為低壓渦輪進口處燃氣流量、總壓、總溫；P46、T46分別為低壓渦輪出口處總溫、總壓；Q8、P8、T8分別為尾噴管出口處燃氣流量、總壓、總溫；F為發動機推力；sfc為耗油率。

表3　牛頓法、改進牛頓法計算結果

圖2　各代平均誤差與最大誤差變化

圖3　修正前、后截面參數對比

從圖3中可見，修正后的模型精度得到大大改善。平均建模誤差由修正前的2.3154%減小到0.3888%。最大建模誤差減小到1.3762%，誤差超過1%的參數只有P46和T46，其他截面參數誤差都低于1%。滿足了設計點精度誤差小于2%的指標。

4　結論

（1）對求解模型的N-R算法提出基于發散判斷機制的變步長改進，提高了模型的收斂性，加快了收斂速度。

（2）對微分進化算法提出折線式交叉變量變化方式，提高了算法的尋優能力。

（3）以部件特性修正因子、引氣系數以及總壓恢復系數為待優化參數，通過改進微分進化算法尋優，使模型輸出與試驗數據相一致，達到了穩態模型建模精度的要求。

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（編輯：趙明菁）

Correction of Aeroengine Model Based on Differential Evolution Algorithm

ZHU Zheng-chen，LI Qiu-hong，WANG Yuan，Pan Peng-fei
（Jiangsu Province Key Laboratory of Aerospace Power Systems，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

In order to enhance the accuracy of the model，Differential Evolution（DE）algorithm was used to modify the component characteristics of an aeroengine.DE algorithm was improved，the broken line style across-variable was put forward，the optimization ability of the algorithm was increased.A variable step-size Newton-Raphson iteration algorithm was proposed based on the variation tendency of the residue errors norm of the balance equations，which could adjust step-size of Newton-Raphson resulting in improving the convergent ability and convergent speed of the model.At the design point，the characteristics correction coefficients of components，air-entraining correction coefficients and pressure recovery correction coefficients were optimized to achieve high matching accuracy of engine model outputs to test data.The simulation results show that the model based on variable step-size Newton-Raphson method could achieve better convergent performance with less time.After correction of aeroengine model，the maximum error was reduced to 1.3762%，which satisfied the modeling requirement.

Differential Evolution（DE）algorithm；Newton-Raphson method；components characteristics modification；across-variable in broken line style；performance simulation model；aeroengine

V 233.7

A

10.13477/j.cnki.aeroengine.2016.01.011

2014-12-04基金項目：國家重大基礎研究項目資助

朱正琛（1990），男，在讀碩士研究生，研究方向為系統控制與仿真；E-mail：985124853@qq.com。

引用格式：朱正琛，李秋紅，王元，等.基于微分進化算法的航空發動機模型修正［J］.航空發動機，2016，42（1）：53-58.ZHU Zhengchen，LI Qiuhong，WANG Yuan，et al.Correction of aeroengine model based on differential evolution algorithm［J］.Aeroengine，2016，42（1）：53-58.