基于三維Taylor多項(xiàng)式建立局域海洋地磁場模型

種　洋　柴洪洲

1　信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，鄭州市科學(xué)大道62號，450001 2　地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安市雁塔路中段1號，710054 3　海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，武漢市解放大道717號，430033

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基于三維Taylor多項(xiàng)式建立局域海洋地磁場模型

種洋1,2,3柴洪洲1

1信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，鄭州市科學(xué)大道62號，450001 2地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安市雁塔路中段1號，710054 3海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，武漢市解放大道717號，430033

在海洋磁力測量中,波浪和風(fēng)等外界因素的變化會對磁力測量數(shù)據(jù)在垂直空間上產(chǎn)生影響，而二維Taylor多項(xiàng)式在建立局域海洋地磁場模型時(shí)沒有考慮高度變化對模型的影響。針對這一問題，提出使用三維Taylor多項(xiàng)式完全展開法來構(gòu)建局域海洋地磁場模型，通過模擬某海域水下球體磁場，仿真船載磁力測量數(shù)據(jù)，分析兩種模型截?cái)嚯A數(shù)的選擇、完全與不完全展開的區(qū)別和模型邊界效應(yīng)等問題。實(shí)驗(yàn)表明，在顧及高度變化的情況下，三維Taylor多項(xiàng)式模型能更詳細(xì)地反映海洋磁力異常的分布情況，且較好地改善了邊界效應(yīng)。

局域海洋地磁場模型；三維Taylor多項(xiàng)式；截?cái)嚯A數(shù)；邊界效應(yīng)

海洋磁力測量是采用船拖著拖魚進(jìn)行測量。由于風(fēng)浪、船速、潮汐等影響，拖魚在整個測量過程中不規(guī)則上下擺動。同時(shí)，在進(jìn)行大面積海洋磁力測量時(shí)，是采用多艘船并列前行同時(shí)測量，由于船的各項(xiàng)參數(shù)不同以及纜繩長度不一等，拖魚入水的深度也不同，導(dǎo)致整個觀測面是一個不規(guī)則的起伏曲面。目前國內(nèi)外處理海洋磁力測量數(shù)據(jù)時(shí)所用的磁力異常計(jì)算公式為[1-3]：

(1)

式中，ΔT為海洋地磁異常值,T為地磁場總測量值，Td為地磁日變改正值，Ts為船磁改正值，To為地磁正常值。

海洋磁力測量數(shù)據(jù)在通過式(1)進(jìn)行各項(xiàng)改正時(shí)，只進(jìn)行了平面上的變換，而忽略了觀測面在垂直方向的變化，所以處理后的測量數(shù)據(jù)面仍然是曲面。

局域地磁場模型的構(gòu)建主要包括矩諧分析法、Taylor多項(xiàng)式法和球冠諧和分析法等[4-6]，其中Taylor多項(xiàng)式法是至今仍然被廣泛采用的方法之一。簡單地講，Taylor多項(xiàng)式法就是將地磁要素用多項(xiàng)式形式表示成為平面坐標(biāo)或者經(jīng)緯度的函數(shù)，由求解得到的模型系數(shù)來表示該區(qū)域的地磁場變化情況[7]。該方法建模速度快，可高效地計(jì)算出地磁場各要素。但Taylor多項(xiàng)式模型是在二維平面內(nèi)描述地磁場在地球表面的分布情況，而沒有顧及到高度變化對模型所產(chǎn)生的影響[8-9]。本文在傳統(tǒng)Taylor多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上，顧及拖魚入水深度不同對船載磁力測量中垂直方向的影響，提出使用三維Taylor多項(xiàng)式完全展開法來構(gòu)建局域海洋地磁場模型，通過模擬某海域水下球體磁場，仿真船載磁力測量數(shù)據(jù)，分析比較兩種模型截?cái)嚯A數(shù)的選擇、完全與不完全展開的區(qū)別和模型邊界效應(yīng)等，得到了一些有益的結(jié)論。

1　三維Taylor多項(xiàng)式模型

Taylor多項(xiàng)式法構(gòu)建局域地磁場模型的基本思想是將地磁要素表示為地理位置的函數(shù)，傳統(tǒng)的二維Taylor多項(xiàng)式模型是對某一地磁要素進(jìn)行部分三角陣展開。地理位置可以用(x,y)表示，二維Taylor多項(xiàng)式可以表示為[10]:

(2)

式中，ΔT為磁力異常；Aij為多項(xiàng)式模型的系數(shù)，由最小二乘法確定；N為多項(xiàng)式模型的截?cái)嚯A數(shù)；x、y為坐標(biāo)值；(x0,y0)為模型展開原點(diǎn)的坐標(biāo)值，一般選擇建模區(qū)域的中心位置為展開點(diǎn)；i-j和j為平面坐標(biāo)的展開階數(shù)。由于是部分三角陣展開，本文中統(tǒng)稱為二維Taylor多項(xiàng)式不完全展開。

進(jìn)一步可得二維Taylor多項(xiàng)式完全展開形式為：

(3)

相比式(2)，式(3)平面坐標(biāo)展開階數(shù)為j和i，系數(shù)矩陣Aij為N×N的方陣。

考慮到高度變化對模型的影響，應(yīng)采用三維Taylor多項(xiàng)式完全展開式建立海洋地磁場模型，其表達(dá)式為：

(4)

綜上所述，可將顧及垂直方向影響的船載磁力測量磁測數(shù)據(jù)處理計(jì)算步驟總結(jié)如下。

1)在測區(qū)中心選取參考點(diǎn)O并確定基準(zhǔn)參考平面高度，構(gòu)建相應(yīng)的局部空間直角坐標(biāo)系，并進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；

2)通過對數(shù)據(jù)的分析和測試，選擇合適的截?cái)嚯A數(shù)；

3)按照上述Taylor多項(xiàng)式方法構(gòu)建法方程，利用最小二乘方法求得的系數(shù)表示出整個觀測區(qū)域內(nèi)的模型計(jì)算值，并對新模型進(jìn)行分析評定。

為檢驗(yàn)上述方法的建模效果，使用球體磁場仿真的船載磁測數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

2　局域海洋地磁場數(shù)據(jù)仿真方法

模擬某海域磁場測定的實(shí)際磁力測量，選定一定的參數(shù)，仿真一個球體磁場作為經(jīng)過式(1)中各項(xiàng)改正后的磁場。球體磁場的計(jì)算公式為[1]：

(2x2-y2-(z-R)2)cos2Icos2A′+

(2y2-x2-(z-R)2)cos2Isin2A′-

3x(z-R)sin2IcosA′+3xycos2Isin2A′-

3y(z-R)sin2IsinA′)

(5)

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率；m為磁矩,m=MV,M為磁化強(qiáng)度,V為球體體積；R為球體中心埋深；(x,y)為空間一點(diǎn)的平面坐標(biāo)；I為磁化傾角；A′為磁化偏角。

本文采用的球體模型參數(shù)如表1所示。

在仿真時(shí)，選取仿真區(qū)域大小為5 000m×5 000m，區(qū)域中主測線100條，檢查線6條，共100×100個觀測點(diǎn)，點(diǎn)距和線距為50m；球體位于區(qū)域中心，球心埋深為60m，且以區(qū)域海平面中心為原點(diǎn)，x軸與測線方向平行，y軸與基線方向平行，z軸垂直xoy面向下建立坐標(biāo)系。

表1　仿真球體參數(shù)

在式(5)中取z=0代入計(jì)算,可得一組各觀測點(diǎn)的磁力異常值。取z=0的平面即xoy面作為基準(zhǔn)平面，則該組磁力異常值即為各測點(diǎn)在基準(zhǔn)面上的磁力異常值。為了方便說明問題，此處選取仿真區(qū)域中x、y均為2 200～2 700 m范圍的數(shù)據(jù)處理結(jié)果。計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

圖1　基準(zhǔn)平面上的磁異常等值線Fig.1　Magnetic anomalies contour of reference plane

圖1表示的是磁性球體在基準(zhǔn)平面上的磁異常分布等值線圖，等值線單位為nT。可以看出，磁性球體在基準(zhǔn)平面上的磁異常分布均勻，具有明顯的正異常和負(fù)異常，左下方的等值線代表正異常值，右上方的等值線代表負(fù)異常值，正負(fù)異常在±100 nT范圍內(nèi)波動。

而實(shí)際海洋磁力測量中，拖魚的運(yùn)動狀態(tài)是上下起伏的，其相對于基準(zhǔn)面存在一個高差Δz，當(dāng)觀測點(diǎn)在基準(zhǔn)面上時(shí)z>0，當(dāng)觀測點(diǎn)在基準(zhǔn)面下時(shí)z<0。根據(jù)各測點(diǎn)拖魚的起伏狀態(tài)，取相應(yīng)的z值代入式(5)，可得各測點(diǎn)的另一組磁力異常值，即為各測點(diǎn)在觀測曲面上的磁力異常值。仿真出的觀測曲面如圖2所示。

圖2　觀測曲面變化的立體圖Fig.2　The three-dimensional variations of observation surface

圖2中，(x,y)為觀測點(diǎn)坐標(biāo)，z為拖魚在測量過程中相對于基準(zhǔn)面的上下起伏變化量，其最大變化量為4.11 m。在得到了基準(zhǔn)平面和仿真觀測曲面上的磁力異常值后，通過作二者的等值線圖對其進(jìn)行對比分析，如圖3所示。

圖3　基準(zhǔn)平面和仿真觀測曲面的磁異常等值線分布Fig.3　Distributions of magnetic anomalies contour between reference plane and simulation observation surface

圖3中實(shí)線表示觀測點(diǎn)在基準(zhǔn)平面上的磁力異常值，虛線表示觀測點(diǎn)在仿真觀測曲面上的磁力異常值。可以看出，同一觀測點(diǎn)在基準(zhǔn)面上(z=0)和在仿真觀測曲面上的磁力異常值是不一樣的，且在磁力異常變化較劇烈的地方二者差距比較明顯。這說明，如果不顧及海洋磁力測量中拖魚在垂直方向上的波動變化，將會對最終的海洋地磁場建模結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差影響。因此，在實(shí)際的磁力測量中需要考慮垂直方向的變化。

3　截?cái)嚯A數(shù)的選取

Taylor多項(xiàng)式法在構(gòu)建局部地磁場模型時(shí)，選擇合適的截?cái)嚯A數(shù)是一項(xiàng)重要內(nèi)容。截?cái)嚯A數(shù)過低，則模型過于簡單，損失了大部分有價(jià)值的信息，從而不能很好地表示地磁場的時(shí)空分布；截?cái)嚯A數(shù)過高，會使模型結(jié)果的穩(wěn)定性降低，同時(shí)會增加模型計(jì)算的復(fù)雜性，產(chǎn)生嚴(yán)重的邊界效應(yīng)。

選取截?cái)嚯A數(shù)的方法通常有兩種：一是通過區(qū)域地磁場模型的均方誤差(RMS)應(yīng)小于相應(yīng)年代的國際地磁參考場(IGRF)的均方誤差來選取；二是通過對不同截?cái)嚯A數(shù)下模型結(jié)果的均方誤差進(jìn)行比較，當(dāng)其值比較小且趨于穩(wěn)定時(shí)，即可選為模型的截?cái)嚯A數(shù)。均方誤差的計(jì)算公式為：

(6)

3.1二維Taylor多項(xiàng)式完全展開模型截?cái)嚯A數(shù)的選取

當(dāng)z=0時(shí)，利用基準(zhǔn)面上觀測點(diǎn)的磁力異常數(shù)據(jù)，通過二維Taylor多項(xiàng)式完全展開與不完全展開法構(gòu)建模型，并分別計(jì)算不同截?cái)嚯A數(shù)下兩模型的均方誤差，結(jié)果如圖4所示。

圖4　二維Taylor多項(xiàng)式不完全與完全展開的磁力異常均方誤差與截?cái)嚯A數(shù)的關(guān)系Fig.4　The relationship between the mean square error and the truncation order of the magnetic anomalies under the classical and complete two-dimensional Taylor polynomial expansion

由圖4可以看出，當(dāng)N≤4時(shí)，兩者相應(yīng)的均方誤差都隨著N的變化而趨于平穩(wěn)，且兩者的精度大致相當(dāng)，而完全展開模型在N=4時(shí)的精度與不完全展開模型在N=5時(shí)的精度相差不大；當(dāng)N>4時(shí)，完全展開模型的均方誤差隨著N的變化而急劇增大。分析可知，當(dāng)N≥4時(shí)完全展開模型結(jié)果的不穩(wěn)定性顯著增大，而不完全展開模型的截?cái)嚯A數(shù)雖然可以取到N=5,但精度卻沒有得到實(shí)質(zhì)性的提高，且加大了計(jì)算量。這表明，在同樣沒有高度變化的基礎(chǔ)上，采用二維Taylor多項(xiàng)式完全展開法來構(gòu)建模型要好一些。綜合考慮均方誤差的大小和模型的復(fù)雜性可知，二維Taylor多項(xiàng)式完全展開模型的截?cái)嚯A數(shù)選N=4比較合適。

3.2三維Taylor多項(xiàng)式完全展開模型截?cái)嚯A數(shù)的選取

當(dāng)z方向上有高度變化時(shí)，利用仿真所得的曲面磁力異常數(shù)據(jù)，通過二維和三維Taylor多項(xiàng)式完全展開法分別構(gòu)建模型，分別計(jì)算不同截?cái)嚯A數(shù)下兩種模型的均方誤差，結(jié)果如圖5所示。

圖5　二維與三維Taylor多項(xiàng)式完全展開的磁力異常的均方誤差與截?cái)嚯A數(shù)的關(guān)系Fig.5　The relationship between the mean square error and the truncation order of the magnetic anomalies under the complete two-dimensional and three-dimensional Taylor polynomial expansion

由圖5可知，三維完全展開模型在N=1時(shí)就達(dá)到了二維完全展開模型在N=4時(shí)的精度，且精度更高；當(dāng)N≥2時(shí)，三維完全展開模型的均方誤差隨著N的變化急劇增大，而二維完全展開模型的截?cái)嚯A數(shù)則可以取到N=4，但精度卻沒有得到明顯的改善。分析可知,當(dāng)N>2時(shí)三維完全展開模型開始變得不穩(wěn)定，而二維完全展開模型在N>4時(shí)才開始變得不穩(wěn)定，這主要是因?yàn)槿S完全展開模型直接考慮了高度變化的影響，其所展開的模型系數(shù)更多，模型更加符合實(shí)際情況。結(jié)果表明，在觀測數(shù)據(jù)有高度變化時(shí)，利用三維Taylor多項(xiàng)式完全展開法來構(gòu)建模型，截?cái)嚯A數(shù)取N=1即可得到理想結(jié)果。

4　邊界效應(yīng)分析

在提高區(qū)域模型精度的過程中，由于區(qū)域邊界處地磁測量點(diǎn)稀少，進(jìn)而隨著函數(shù)逼近，出現(xiàn)區(qū)域邊界處的誤差逐漸增大的現(xiàn)象，即所取海洋地磁場區(qū)域模型的邊界部分會涉及到邊界效應(yīng)問題。本文通過比較二維和三維Taylor多項(xiàng)式完全展開模型，進(jìn)一步分析該問題。比較結(jié)果如圖6所示。

圖6　二維與三維Taylor多項(xiàng)式完全展開的磁力異常邊界效應(yīng)比較Fig.6　The boundary effects of the magnetic anomalies under the comparison of the complete two-and three-dimensional Taylor polynomial expansion

由圖6可知，與二維Taylor多項(xiàng)式相比，三維Taylor多項(xiàng)式在邊界的畸變較小，且較為集中。因此，三維Taylor多項(xiàng)式能較好地改善邊界效應(yīng)。

5　結(jié)　語

通過對Taylor多項(xiàng)式完全展開與不完全展開的比較、二維Taylor多項(xiàng)式法與三維Taylor多項(xiàng)式法的截?cái)嚯A數(shù)及邊界效應(yīng)的對比，分析可得下列結(jié)論：

1)海洋磁力測量中,波浪和風(fēng)等外界因素變化的影響導(dǎo)致了拖魚在垂直空間上產(chǎn)生不規(guī)則起伏。顧及高度的變化，通過三維Taylor多項(xiàng)式法對垂直空間進(jìn)行改正，海洋磁力測量數(shù)據(jù)處理結(jié)果精度得到提高。若忽略垂直方向的變化，則會對后期局域地磁場建模精度產(chǎn)生一定的影響。

2)利用三維Taylor多項(xiàng)式法計(jì)算時(shí)要考慮到截?cái)嚯A數(shù)的影響。階數(shù)的選取需要顧及精度和可靠性兩方面的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用三維Taylor多項(xiàng)式法在截?cái)嚯A數(shù)較低(N=1)時(shí)的計(jì)算精度與二維Taylor多項(xiàng)式法在較高截?cái)嚯A數(shù)(N=4)時(shí)的精度大致相當(dāng)。

3)考慮到邊界效應(yīng)的影響，用三維Taylor多項(xiàng)式法得到的磁力異常更具有合理性，而不需要采用平滑因子的方法或者是增加IGRF邊界點(diǎn)的方法來克服該問題。此外，在一些對實(shí)時(shí)性要求較高的領(lǐng)域，如高速彈道導(dǎo)航等[11-13]，由于三維Taylor多項(xiàng)式方法在精度上不亞于其他局域建模方法，且計(jì)算簡單，故實(shí)時(shí)性比較好，可以得到比較好的應(yīng)用。如果以后有了航磁數(shù)據(jù)[14]和衛(wèi)星數(shù)據(jù)，可以使本方法的模型空間范圍由深海拓展到更廣的范圍。

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About the first author:CHONG Yang, postgraduate, majors in geomagnetism aided navigation, E-mail: chongyang_geodesy@outlook.com.

Regional Marine Geomagnetic Field Model Reconstruction Based on Three-Dimensional Taylor Polynomial

CHONGYang1,2,3CHAIHongzhou1

1Institute of Surveying and Mapping, Information Engineering University, 62 Kexue Road, Zhengzhou 450001, China 2State Key Laboratory of Geo-Information Engineering, 1 Mid-Yanta Road, Xi’an 710054, China 3Department of Navigation, Naval University of Engineering, 717 Jiefang Road, Wuhan 430033, China

Wave and wind effect marine magnetic survey data in the vertical space. This is because the two-dimensional Taylor polynomial doesn’t include the influence of the change of height in establishing the regional marine geomagnetic field model. In order to solve this problem, a three-dimensional Taylor polynomial is put forward to construct the regional marine geomagnetic field model. By simulating a certain area of underwater sphere magnetic field and ship-borne magnetic survey data, this paper analyzes choosing the truncation order of the two models, the difference between the complete polynomial expansion and the classical expansion methods, and the boundary effect of the two methods. The results show that: the three-dimensional Taylor polynomial method can reflect the distribution of marine magnetic anomalies better and overcomes the boundary effects in considering the height changes.

regional marine geomagnetic field model; three-dimensional Taylor polynomial method; truncation order; boundary effect

National Natural Science Foundation of China, No. 41574010, 41274045, 41476087; Open Fund of State Key Laboratory of Geo-Information Engineering，No. SKLGIE 2014-M-1-1.

2015-10-16

種洋，碩士生，研究方向?yàn)榈卮泡o助導(dǎo)航，E-mail: chongyang_geodesy@outlook.com。

10.14075/j.jgg.2016.10.003

1671-5942(2016)010-0854-05

P229

A

項(xiàng)目來源：國家自然科學(xué)基金(41574010，41274045，41476087)；地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(SKLGIE2014-M-1-1)。