動力學積分保辛的數學根據

鐘萬勰

摘要： 用最小作用量變分原理來解釋保辛，對于連續時間系統、離散時間系統、有限元法、結構力學、最優控制和動力學計算等，可以通用的.

關鍵詞： 保辛； 最小作用量變分原理； 動力系統

中圖分類號： O313文獻標志碼： A

Abstract： The symplecticity can be explained by the least action variational principle. It can be applied to the continuous or discreted transient system， finite element method， structural mechanics， optimum control， dynamical integration， and so on.

Key words： symplecticity； least action variational principle； dynamical system

作者本人出身于同濟大學土木專業，結構力學是本行，對辛數學的研究是從結構力學與最優控制的模擬關系切入辛代數的.錢令希先生為著作《計算結構力學與最優控制》[3]作序時指出：“力學工作者應首先虛心地汲取狀態空間法成功的經驗，重新認識哈密爾頓體系理論的深刻意義，以及隨之而來的辛數學方法及其對應用力學的應用.”這表明錢先生的高瞻遠矚——把方向走對特別重要.超級大國大講精確打擊、反導等，可見控制的重要性.動力學不是結構力學，文獻[4]就給出動力學與結構力學的模擬關系.因此，結構力學以及動力學與控制可在同一套Hamilton體系的數學下予以處理，而Hamilton體系正是在動力學范圍內發展的.

數值求解若拘泥于差分格式，以至于提出“approximate symplectic algorithms cannot preserve energy for nonintegrable system”[5]的誤判，不行！

有限元法是先從結構力學開始的，效果很好，有大規模程序系統的支持，已經成為工程師手中不可缺少的工具.問題是有限元法的基礎正是變分原理，但這與動力學的保辛又有何關系呢？別忘記，變分法正是從動力學開始發展的.

首先明確，保辛是對于近似解而言的.動力學列出微分方程相對還容易掌握，而要予以分析求解，對一般問題就非常困難.雖然許多大數學家成世紀地努力，也未能解決，于是只能尋求離散近似數值解.保辛是動力學的概念，動力學需要用初值條件，所以離散后成為傳遞辛矩陣；而結構力學位移法有限元的概念是對稱剛度陣.對稱矩陣可轉換到狀態向量的傳遞辛矩陣的形式[6].

離散后仍然有離散近似系統的區段（ta，tb）兩端狀態向量的傳遞矩陣.保辛的要求是：離散后其傳遞矩陣仍然是辛的，即仍然是兩端狀態向量的傳遞辛矩陣.保辛強調：傳遞辛矩陣相當于其區段兩端位移的剛度陣是對稱的，因對稱剛度陣所對應的傳遞矩陣一定是辛矩陣.離散后，有限元法插值提供對稱區段剛度矩陣，雖然不是精確的；對應地，其傳遞矩陣卻一定是辛矩陣，當然數值上也是近似的，但達到保辛.有限元法近似的效果早已被實踐證實，其實就是動力學近似傳遞辛矩陣，兩方面是一致的，其效果當然也是好的.然而，還有問題：有限元法針對結構力學，而保辛針對動力學，兩者是否一致呢？

以上只是從對稱矩陣與傳遞辛矩陣的變換角度解釋保辛.然而，文獻[6]還從幾何的角度講解了歐幾里得幾何以及辛的幾何、度量矩陣等.再說，中國古代的大數學家祖沖之對于圓周率π計算的成就（中國古數學之根），也應挖掘出來為今天所用，這就與幾何有關系了.所以，概念還得更深入些.

眾所周知，按照平面歐幾里得幾何，給定兩點qa與qb之間的短程線是其連接直線.古代數學家祖沖之的具體算法（稱為“綴術”）已經失傳，但用了割圓法是肯定的.估計他用了歐幾里得幾何兩點qa與qb之間的短程線是其連接直線這一結果.

到了動力學的狀態空間，情況當然不同.然而，時間區段（ta，tb）兩端狀態點之間取短程線的概念與“動力學狀態空間兩端Va與Vb間的短程線”相同，這就推廣到了動力學.用到DAE時可稱為祖沖之類算法.短程線的“程”其實就是時間區段作用量S；S的表達式有

（3）式（2）與（3）相同.事實上，Hamilton正則方程可從最小作用量原理式（3）推出.泛函式（2）的自變函數只有位移向量函數q；進行Legendre變換，就從單純位移到Hamilton體系位移動量狀態空間（q，p）的式（3）.最小作用量原理是將式（2）或（3）取最小，這也是變分原理的形式.于是有限元法的近似就可使用了，雖然是近似，但其誤差是時間區段長度的高階小量，而有限元法得到的剛度陣一定對稱，也就是保辛.然而，辛群針對的是狀態空間.時間區段劃分得更密時，就更接近于真實解，所以說保辛就可保證區段作用量最小.時間有限元就是在變分原理式（2）上做的，保辛的根據就是最小作用量變分原理.

既然是近似傳遞辛矩陣，仍不免有問題.近似解（假的）對精確解（真的）總是有問題的.Poisson提出，n維動力學系統有n個首次積分（First integral）的解，其實就是系統的守恒量，例如能量守恒就是一個首次積分.n個首次積分難以全部求出分析解，其中只有m（m