基于蒙特卡羅模擬修正的隨機(jī)矩陣去噪方法

駱旗　韓華　龔江濤　王海軍

摘要：

針對蘊(yùn)含噪聲信息較少的小組合股票市場，提出使用蒙特卡羅模擬修正的隨機(jī)矩陣去噪方法。首先通過數(shù)據(jù)模擬生成隨機(jī)矩陣，然后利用大量的模擬數(shù)據(jù)來同時修正噪聲下界和上界，最終對噪聲范圍進(jìn)行精確測定。運(yùn)用道瓊斯中國88指數(shù)和香港恒生50指數(shù)的數(shù)據(jù)進(jìn)行實證分析，結(jié)果表明，與LCPB法（Laloux LCizeau PPotters MBouchaud J P）、PG+法（Plerou VGopikrishnan P）和KR法（Sharifi SGrane MShamaie A）相比，在特征值、特征向量和反比參率方面， 蒙特卡羅模擬去噪方法修正后噪聲范圍的合理性及有效性得到很大的提升；對去噪前后的相關(guān)矩陣進(jìn)行投資組合，得知在相同的期望收益率下，蒙特卡羅模擬去噪方法具有最小的風(fēng)險值，能夠為資產(chǎn)組合選擇和風(fēng)險管理等金融應(yīng)用提供一定的參考。

關(guān)鍵詞：

蒙特卡羅模擬；隨機(jī)矩陣?yán)碚摚蝗ピ敕椒ǎ恍〗M合；投資組合

中圖分類號：

N949

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：

Since the small combined stock market has less noise information， a random matrix denoising method amended by Monte Carlo simulation was proposed. Firstly， random matrix was generated by simulation； secondly， the lower and upper bounds of the noise were corrected simultaneously by using a large number of simulated data； finally， the range of noise was determined precisely. The Dow Jones China 88 Index and the Hang Seng 50 Index were used for empirical analysis. The simulation results show that， compared with LCPB （Laloux LCizeau PPotters MBouchaud JP）， PG+（Plerou VGopikrishnan P） and KR （Sharifi SGrane MShamaie ARMT denoising method based on correlation matrix eigenvectors Krzanowski stability） methods， rationality and validity of the noise range corrected by Monte Carlo simulation denoising method are greatly improved in eigenvalue， eigenvector and inverse participation ratio. Investment portfolio of the correlation matrix before and after denoising was given， and the results indicate that the Monte Carlo simulation denoising method has the smallest value at risk under the same expected rate of return， which can provide a certain reference for the portfolio selection， risk management and other financial applications.

英文關(guān)鍵詞Key words：

Monte Carlo simulation； random matrix theory； denoising method； small combination； portfolio

0引言

資產(chǎn)收益之間的相關(guān)矩陣蘊(yùn)含著金融資產(chǎn)間的交互相關(guān)作用，這對于資產(chǎn)組合選擇和風(fēng)險管理等重要的金融應(yīng)用都是決定性的[1-2]。實際上，因時間序列長度的限制等原因，使得收益相關(guān)矩陣中含有噪聲[3-4]。研究表明，當(dāng)資產(chǎn)組合數(shù)目較多時，利用隨機(jī)矩陣?yán)碚摚≧andom Matrix Theory， RMT）可對相關(guān)矩陣中的大部分噪聲進(jìn)行有效去除。Laloux等[5]通過對S&P500的406只股票1991—1996年的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析從而區(qū)分出經(jīng)驗相關(guān)矩陣中的噪聲信息，并認(rèn)為最大特征值代表整個“市場模式”；Plerou等[6]詳細(xì)研究了1000只美國證券在1994—1995年的30min收益數(shù)據(jù)，定義了反比參率（Inverse Participation Ratio，IPR）來表示顯著參與某一個特征向量的公司數(shù)量，得出了特征值譜邊緣的反比參率較大，并對偏離特征值的意義進(jìn)行了探究；Sharifi等[7]提出了基于RMT和特征向量Krzanowski穩(wěn)定性的KR去噪法，并分析了將該方法用于組合風(fēng)險優(yōu)化的效果。然而，Utsugi等[8]在對東京證券交易所研究發(fā)現(xiàn)一些偏離預(yù)測的小特征值并不能完全由隨機(jī)性進(jìn)行解釋，并表明隨機(jī)性會對真實的相關(guān)性發(fā)生一定的排斥，類似于原子物理學(xué)中的“能級排斥”；Malevergne等[9]通過模擬與計算的對比分析說明了在RMT預(yù)測的主體特征譜中仍然存在著部分有效的相關(guān)信息；Kwapień等[10]通過不斷變化100只美國股票的時間長度，發(fā)現(xiàn)當(dāng)選擇的時間較短時主體特征譜中并不完全是噪聲信息； Dai等[11]對71只原油市場股票進(jìn)行分析，研究得知最小特征值具有最大的相關(guān)系數(shù)，即表明小于預(yù)測值的特征值同樣包含部分信息量。由此可知：噪聲將隨著研究資產(chǎn)的減小而下降，噪聲與信息間的界定會存在一定程度的混淆，且小于預(yù)測值的特征同樣包含一定的有效信息。本文考慮到蒙特卡羅方法就是結(jié)合實際情況構(gòu)造與其吻合的統(tǒng)計實驗概率模型，此過程包括使用隨機(jī)數(shù)執(zhí)行大量模擬和得到問題的近似解[12]，為此，構(gòu)建蒙特卡羅模擬修正的隨機(jī)矩陣去噪方法，即利用蒙特卡羅模擬方法精確識別出小組合投資噪聲特征值的范圍，并將模擬去噪法應(yīng)用于不同股票網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行實證分析，從而驗證模擬方法的有效性和優(yōu)越性。

1理論基礎(chǔ)

1.1隨機(jī)矩陣?yán)碚?/p>

記股票i（i=1，2，…，N）的有效交易日價格序列為{Pi（1），Pi（2），…，Pi（L）}，L是股票i的有效交易天數(shù)，Pi（t）是股票i在第t個有效交易日的收盤價格，定義股票i的對數(shù)收益率（Logarithmic Return）如下：

通過隨機(jī)矩陣?yán)碚摳倪M(jìn)相關(guān)系數(shù)矩陣達(dá)到對金融系統(tǒng)去噪的RMT去噪方法種類很少，主要包括Laloux等[5]提出的LCPB法將小于λ+的市場特征值作為噪聲，用噪聲特征值的均值來代替噪聲特征值，并保持新舊相關(guān)矩陣的跡不變；Plerou等[6]提出的PG+法用零替代相關(guān)矩陣的“噪聲”特征值，并確保去噪前后矩陣的跡相等；Sharifi等[7]提出的KR法旨在提高相關(guān)矩陣特征向量的Krzanowski穩(wěn)定性，經(jīng)推算Sharifi等用相等的最大間距的正數(shù)特征值取代噪聲特征值，并使新特征值和噪聲特征值的和相等。上述去噪法的共同點是將小于λ+的特征值看作噪聲，而λ+=1+H-1±2H-1，λ+的取值是N→∞，L→∞，H=L/N（>1）情況下的極限值。

整體而言，隨著期望收益率的增大，風(fēng)險值也在不斷上升。當(dāng)固定期望收益率時，圖7和圖8都在模擬修正后的隨機(jī)矩陣去噪法下的風(fēng)險率最小。特別地，圖7未去噪與LCBP法、PG+法、KR法的風(fēng)險收益基本相同，即這些方法并未達(dá)到去噪的目的；而圖8中未去噪比這三種去噪后的風(fēng)險率更小，即對香港恒生50而言這三種方法去噪存在較大程度失真，嚴(yán)重毀壞了整個市場的有效性，從而使得去噪后的數(shù)據(jù)中包含的信息量太少，最終不能達(dá)到有效去噪的目的。這與市場包含的股票數(shù)目越多則其具有的信息量越豐富的實際相符，道瓊斯中國88和香港恒生50分別具有88只股票和49只股票，即道瓊斯中國88相對香港恒生50而言本身包含更多的信息，因此，當(dāng)對這兩個市場進(jìn)行不合理的去噪時，包含信息量較少的香港恒生50就變得更加敏感，導(dǎo)致其出現(xiàn)未去噪的效果更優(yōu)。然而，當(dāng)對小組合的市場進(jìn)行合理有效的去噪時，仍可最大化地去除其內(nèi)部的干擾噪聲，從而使得風(fēng)險最小。

4結(jié)語

本文提出了對小組合投資更加有效的蒙特卡羅模擬修正的RMT去噪法，即就資產(chǎn)數(shù)目較少的投資而言，小于λ-的特征值也包含著市場的有效信息，故可對代表噪聲的隨機(jī)矩陣進(jìn)行大量的模擬平均，使得界定的噪聲范圍[λ-，λ+]更加精確，從而盡可能地保持市場信息的完整性與有效性。實證分析發(fā)現(xiàn)，在小組合投資中，模擬修正方法在投資組合方面的確更優(yōu)于其他去噪法。在未來的研究中，我們計劃利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湫再|(zhì)的一些指標(biāo)來對提出的模擬方法進(jìn)行更深一步的研究，使得研究結(jié)果更加全面，更加具有說服力。

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