基于模糊分數階PID的Stewart機構的協同控制*

涂朝輝　高英杰　吳鳳和　劉凱磊

(①燕山大學河北省重型機械流體動力傳輸與控制實驗室，河北 秦皇島066004；②先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室(燕山大學)，河北 秦皇島066004)

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基于模糊分數階PID的Stewart機構的協同控制*

涂朝輝①②高英杰①②吳鳳和①②劉凱磊①②

(①燕山大學河北省重型機械流體動力傳輸與控制實驗室，河北 秦皇島066004；②先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室(燕山大學)，河北 秦皇島066004)

針對電液驅動Stewart機構的協同控制問題，引入最小相關軸思想，采用相鄰交叉耦合結構，以滿足機構的多通道協同控制的要求。同時，針對機構單通道閥控缸系統參數的時變以及非線性等特征，設計了模糊分數階PID控制器，提出了基于相鄰交叉耦合結構的模糊分數階PID控制策略，并進行了實驗研究，研究結果表明該控制方法具有良好的跟蹤效果，能夠很好的實現機構的多通道協同控制。

Stewart機構；運動學反解；交叉耦合；模糊控制；分數階PID

電液驅動Stewart機構具有響應快，剛度大，承載能力強，運動精度高等優點[1]，已經廣泛應用于并聯機床、模擬設備等諸多領域。Stewart機構由6個液壓缸共同驅動動平臺工作，屬于多通道并聯系統。目前，多通道并聯閉環控制主要采用主從式控制策略以及多通道解耦控制策略。主從式控制更適用于子系統性能相近的被控對象[2]，而Stewart機構通道間存在較強的耦合[3]，使得各通道間存在較大差異，因此，主從控制并不能取得很好的控制效果。很多學者通多對Stewart機構的數學模型進行分析，得到了解耦控制規律，并針對某些工況取得了良好的控制效果[4-5]，然而由于Stewart機構動力學模型以及閥控缸模型的很多參數存在著變化，無法建立精確的數學模型，導致完整的解耦補償規律難以確定。針對這些問題，本文基于交叉耦合控制結構，引入同步誤差，使之與軌跡跟蹤誤差相結合用以對Stewart機構各通道進行控制。針對各通道閥控缸模型的時變和非線性等特點，為了避免對機構精確數學模型的依賴，采用模糊控制與分數階PID控制相結合的控制方式，實現了Stewart機構的多通道協同控制。通過實驗驗證了該控制策略對提高Stewart機構控制精度的有效性。

1　電液驅動Stewart機構模型

本文研究的Stewart機構樣機如圖1a所示，機構每個支鏈由液壓缸構成一個移動副，兩端分別通過球鉸與虎克鉸與上、下平臺連接，機構的下平臺與地面固聯，上平臺為動平臺，通過控制液壓缸運動實現動平臺的空間位姿變化。

在機構的上、下平臺中心分別建立坐標系，如圖1c、d所示，A1～A6為上平臺鉸點，以ψ為夾角兩兩一組均勻分布在o′x′y′平面內以o′為圓心半徑為的r圓上，B1～B6為下平臺鉸點，以ψ為夾角兩兩一組均勻分布在oxy平面內以o為圓心半徑為R的圓上，li(i=1～6)表示第i條運動支鏈的長度。

鉸點Ai(i=1～6)在坐標系o′x′y′z′中坐標可以表示為：

(1)

鉸點Bi(i=1～6)在坐標系oxyz中坐標可以表示為：

(2)

2　Stewart機構的位置反解

根據坐標變換公式，可以求解出鉸點Ai在定坐標系oxyz中的坐標：

TAi=TAi+P

(3)

式(3)中，TAi、P為3×1矩陣，TAi表示鉸點Ai在定坐標系中的坐標，P表示動坐標系原點在參考系中的坐標。T為3×3矩陣，表示動平臺的方向余弦。根據Ai、Bi在定坐標系oxyz中的坐標值，可以很容易計算出每條支鏈液壓缸的位移：

(4)

式(4)中，lix、liy、liz為鉸點Ai、Bi在定坐標系中的3個坐標值的差值。

根據指定工況下的Stewart機構動平臺的目標運動軌跡與機構參數，編寫反解程序，可以對機構進行反解，得到機構6個通道的輸入軌跡。

3　模糊分數階PID協同控制策略

3.1相鄰交叉耦合控制結構

電液驅動Stewart機構單通道閥控缸系統構成如圖2所示，在此系統中，電液伺服閥控制對應通道的液壓缸，各通道液壓缸的位移通過位移傳感器檢測，并與給定的輸入信號比較，通過系統輸入跟隨系統輸出。

(5)

依據最小相關軸思想，采用相鄰交叉耦合控制結構[7]，即在對每條通道進行控制的同時，考慮相鄰兩通道的影響，定義第i通道與相鄰兩通道的同步誤差分別為：

(6)

(7)

式(6)、(7)中， i=1～6，當i=1時，i-1=6；當i=6時，i+1=1。

在對每個通道的閥控缸進行控制的同時，需要保證跟蹤誤差與同步誤差同時收斂于零，本文采用交叉耦合控制結構，如圖3所示。由圖3可以看出，每個通道都需要包含一個誤差跟蹤控制器以及兩個同步誤差控制器，因此第i通道的閥控缸位移輸入量為：

(8)

3.2模糊分數階PID控制器

由于各個通道閥控缸動態特性不同，在控制過程中存在參數時變、非線性環節等。為了避免對精準數學模型的依賴，本文將模糊控制思想與分數階PID控制相結合，設計了模糊分數階PID控制器。

分數階PID是傳統PID的廣義化形式，它包含一個積分階次λ和微分階次μ，λ和μ可以取(0,2)范圍內的任意實數，通過合理選擇控制參數，可以更好的調節控制器的動態特性。其傳遞函數為[8]：

(9)

分數階PID在時域內的輸出表達式為：

(10)

對式(10)進行離散化處理，分數階PID的離散化形式為：

(11)

式(11)中，h為采樣周期，qn和dn為積分算子和微分算子，可用遞推公式(12)和(13)計算。

(12)

(13)

在分數階PID的基礎上，增加模糊規則，設計模糊分數階PID控制器，如圖4所示。以誤差eij和誤差變化率ecij作為輸入，對分數階PID控制器的五個參數進行在線自整定，使分數階PID獲得新的參數，進而對輸入誤差eij進行控制。

定義描述輸入變量與輸出變量的語言模糊子集{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}={負大，負中，負小，零，正小，正中，正大}，各變量的隸屬度函數均取三角形分布，如圖5所示。通過總結專家經驗[9]，制定模糊控制規則表如表1所示。

根據公式(14)，完成分數階PID的參數整定：

(14)

式(14)中，KP0、KI0、KD0、λ0、μ0為控制器的初始值，ΔKP、ΔKI、ΔKD、Δλ0和Δμ0為由模糊算法得到的輸出變量。

將整定后的參數代入公式(11)中，就可以得到單個控制器的輸出量uij，根據公式(8)進一步計算，對每個通道的控制器進行綜合，可以得到各個通道閥控缸信號輸入量ui。

4　實驗驗證

Stewart機構單通道性能是機構整體控制性能的重要保證，因此首先對單通道的性能及控制方法進行實驗研究。

圖6為單通道階躍信號的實驗曲線，從圖中可以看出，分數階PID與傳統PID控制相比，超調量略有減小，且系統很快進入穩定狀態，模糊分數階PID與分數階PID相比，超調量明顯減小，雖然對系統的上升時間產生一定影響，但影響程度有限。整體而言，在模糊分數階PID控制器的作用下，單通道系統具有良好的控制性能。

表1模糊規則表

ΔKP/ΔKI/ΔKD/λ/μeijNBNMNSZOPSPMPBecijNBPB/NB/PS/PB/NSPB/NB/NS/PB/PSPM/NM/NB/PB/ZOPM/NM/NB/PM/ZOPS/NS/NB/PM/ZOZO/ZO/NM/ZO/NBZO/ZO/PS/ZO/NBNMPB/NB/PS/PB/PSPB/NB/NS/PB/PSPM/NM/NB/PM/PSPS/NS/NM/PM/PSPS/NS/NM/PS/ZOZO/ZO/NS/ZO/NSNS/ZO/ZO/ZO/NMNSPM/NM/ZO/PM/PBPM/NM/NS/PM/PBPM/NS/NM/PS/PMPM/NS/NM/PS/PSZO/ZO/NS/ZO/ZONS/PS/NS/NS/NSNS/PS/ZO/NS/NMZOPM/NM/ZO/PM/PBPM/NM/NS/PS/PMPS/NS/NS/PS/PMZO/ZO/NS/ZO/PSNS/PS/NS/NS/ZONM/PM/NS/NS/NSNM/PM/ZO/NM/NMPSPS/NM/ZO/PS/PBPS/NS/ZO/PS/PMZO/ZO/ZO/ZO/PSNS/PS/ZO/NS/PSNS/PS/ZO/NS/ZONM/PM/ZO/NM/NSNM/PB/ZO/NM/NSPMPS/ZO/PB/ZO/PMZO/ZO/PS/ZO/PSNS/PS/PS/NS/PSNM/PS/PS/NM/PSNM/PM/PS/NM/ZONM/PB/PS/NB/NSNB/PB/PB/NB/NSPBZO/ZO/PB/ZO/NSZO/ZO/PM/ZO/ZONM/PS/PM/NS/ZONM/PM/PM/NM/ZONM/PM/PS/NB/ZONB/PB/PN/NB/NBNB/PB/PB/NB/NB

Stewart機構動平臺的六自由度運動中，在繞o′x′軸做旋轉運動工況下，6個通道的控制信號與運動軌跡各不相同，耦合最為嚴重。本文針對該自由度運動進行實驗,令動平臺以幅值為5°、周期為10 s的正弦運動為目標軌跡，即動平臺的方向余弦矩陣為：

(15)

Stewart機構樣機初始位置(0,0,1900)，機構參數如表2所示，結合公式(15)與公式(1)～(4)，可以完成Stewart機構的反解，進行機構的協同控制。

表2機構參數表

參數數值Stewart機構下平臺半徑R/mm1050Stewart機構上平臺半徑r/mm1020Stewart通道間夾角ψ/radπ/12

圖7為基于不同控制結構的模糊分數階PID控制器作用下的機構動平臺響應曲線，從圖中可以看出，系統在跟蹤目標軌跡的過程中，在主從結構控制器下的響應曲線與在交叉耦合結構控制器下的響應曲線有明顯區別。

圖7a、b表明，采用交叉耦合控制結構，系統運動過程中的相位滯后與峰值處的誤差有明顯的改善。此外，由圖7c～f可以看出，由于機構瞬間耦合所造成的其他自由度方向的牽連運動也明顯減小。因此，基于交叉耦合結構的模糊分數階PID控制器可以很好地協調機構復雜的耦合關系。

5　結語

針對電液驅動Stewart機構，根據并聯機構反解方法，將機構動平臺運動的控制問題分解成為機構6個通道的協同控制問題。采用同步誤差與跟蹤誤差相結合的方法描述機構的協同控制精度，從Stewart機構各通道運動的同步性出發，提出了相鄰交叉耦合控制結構，并在此結構的基礎上，采用模糊分數階PID控制器對各通道的誤差進行補償。實現了對機構上平臺運動的跟蹤控制。通過實驗與其它幾種控制策略比較，該控制策略更適用于具有強力耦合與精確模型難以確定的復雜系統。

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Cooperative control for Stewart mechanism based on fuzzy fractional order PID

TU Zhaohui①②, GAO Yingjie①②, WU Fenghe①②, LIU KaiLei①②

(①Hebei Provincial Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control, Yanshan University,Qinhuangdao 066004, CHN; ②Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science(Yanshan University), Ministry of Education of China, Qinhuangdao 066004, CHN)

As to the coordination control of electro-hydraulic Stewart mechanism, it applies minimum correlative axis theory and adjacent cross coupling structure, in order to meet the requirements of the mechanism’s multichannel coordination control. Meanwhile, considering the features such as alteration over time and nonlinearity of system parameters of the single channel valve-controlled cylinder, it designs a PID controller of obscure fractional order. It makes the obscure fractional order PID controlling strategy based on adjacent cross coupling structure. Besides, it carries out experimental studies, and the results show that the controlling method has fine tracking effects and coordination controls of the mechanism.

Stewart mechanism; inverse kinematic solution; cross coupling; fuzzy control; fractional order PID

TP242

A

10.19287/j.cnki.1005-2402.2016.10.011

涂朝輝，男，1984年生，博士研究生，主要研究方向為電液系統的智能控制。

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2016-07-05)

161015

*國家自然科學基金資助項目(50875228)