基于自回歸與最小均方理論的振動環境下光纖陀螺儀濾波方法

張　峰，黃繼勛，王頌邦

（北京航天時代光電科技有限公司，北京100094）

基于自回歸與最小均方理論的振動環境下光纖陀螺儀濾波方法

張峰，黃繼勛，王頌邦

（北京航天時代光電科技有限公司，北京100094）

針對振動應力下光纖陀螺產生測量誤差增大的問題，從振動對光纖環的影響機理出發，分析了振動應力下光纖陀螺干涉信號的表現形式，提出了基于自回歸最小均方濾波理論的光纖陀螺濾波方法，將AR模型的平穩性和最小均方根濾波的自適應性相結合，提取平穩數據的特性參數，對高頻信號進行濾波，降低非互易相移產生陀螺角速度誤差值的干擾。試驗表明，該方法簡單可行，有效地降低了振動應力下光纖陀螺輸出信息的噪聲，抑制了由振動引起的陀螺漂移。

振動；光纖陀螺；自回歸；最小均方

0 引言

振動應力對光纖陀螺的影響主要表現為振動應力對光纖陀螺光路部分的影響［1］，試驗表明振動應力對光路部分的影響主要表現在對光纖環的影響，表現為引起光纖長度、折射率和損耗的改變而產生測量誤差。目前，針對光纖陀螺易受振動應力的影響，主要采取的方法有加裝減震器和對光纖環固膠。文獻［2］提出加裝減震裝置來隔離環境振動對光纖陀螺的影響，但光纖陀螺作為實時敏感姿態的核心部件，需要與載體進行剛性連接，以確保測量的實時性，加裝減震裝置，會使其變為彈性連接，導致測量的實時性受到影響。文獻［3］則采用固膠的方式，對膠體的熱脹冷縮的溫度特性和彈性模量要求較高，會導致光纖環產生附加應力影響陀螺儀輸出性能。文獻［4］～文獻［6］提出的光纖環的四極對稱繞法嚴格保證關于光纖長度中點對稱的點要處于相同位置，使其所受振動影響相同，就能抑制振動誤差，但實際操作非常困難，目前陀螺儀使用的光纖環長度少則幾百米多則幾千米，無法嚴格使對稱位置的光纖處于相同位置。針對上述文獻不足，本文提出了光纖陀螺自回歸最小均方濾波技術，通過數學濾波算法，降低非互易相移產生陀螺角速度誤差值的干擾，抑制了由振動引起的陀螺漂移，提高陀螺儀抗振性能。

1 振動對光纖陀螺的影響

1.1振動應力對光纖環影響

振動應力對光纖環的作用可分為軸向應力與橫向應力［7-9］。軸向應力能導致光纖長度的變化；橫向應力一方面導致光纖的微彎損耗，另一方面可以引起偏振態的變化。

干涉式數字閉環光纖陀螺中反向傳播的兩束光分別從各自入射端同時入射光纖后，經過光纖環中同一點的時間不同，即光程差不同，如圖1所示。

圖1　兩束光到達同一點所經歷的光程Fig.1 The light path that reached by two beams of light

由圖1分別得到正反兩束光在振動情況下經過M點附近的微小長度Δl時產生的附加相移，如式（1）所示。

式中，F為所受的應力；φv0為應力變化的初始相位；K為比例系數。

K可由下列公式計算得出:

式中，L為光纖環長度；P11、P12為光纖材料的彈光系數；n為光纖材料的折射率；μ為波導的泊松比；E為波導的楊氏彈性模量；λ為光波波長。

對于石英，有:n=1.456；P11=0.121；P12= 0.270；E=7×1010Pa；μ=0.17。

兩束光都經過M點后，由振動帶來的非互易相移為:

1.2振動對與光纖環敏感軸平行方向的影響

在振動應力下，光纖環水平放置，光纖環敏感軸與振動方向平行，光纖環圓周各部分受到的應力相同，如圖2所示。

圖2　光纖環水平面各部分受到的應力示意圖Fig.2 The strain distribution of horizon parts of fiber coil

在光纖環圓周上各個位置處的光纖所受的應力與光纖在圓周上所處的位置無關，可近似認為大小相等。設在振動條件下，光纖環所受的應力fi為:

式中，F為光纖環所受應力的幅值；ω為應力變化的頻率，即振動頻率；φv0為應力變化的初始相角。

從光纖兩端同時入射的兩束光到達M點時，分別經歷了l和L-l的光程，對式（4）在整個光纖長度L上進行積分，可得到與振動方向平行軸光纖環中由振動引起的非互易相移Φh_error為:

1.3振動對與光纖環敏感軸垂直方向的影響

對于振動方向與光纖環敏感軸垂直方向來說，受力分布如圖3所示。

圖3　光纖環垂直面各部分受到的應力示意圖Fig.3 The strain distribution of vertical parts of fiber coil

圖3中，R為光纖環半徑；l為受力點距離光纖某一端口的距離；fh為光纖所受的橫向應力。

當光纖陀螺受到振動時，設其所受到的應力關系為:

則由振動引起的非互易相移為:

對式（6）在整個光纖長度L上進行積分，得到與振動方向垂直軸光纖環中由振動引起的非互易相移Φv_error為:

1.4振動引起的角速度誤差

由上述相位差的變化引起角速度誤差計算如下:

為了降低非互易相移產生陀螺角速度誤差值的干擾，提高陀螺儀抗振性能，本文對光纖陀螺進行了數字濾波，提出了自回歸最小均方算法（LMS）濾波算法。

2 最小均方（LMS）自適應濾波

LMS算法是一種自適應濾波算法，它的理論基礎是最陡下降法［10-11］。LMS算法的主要特點是能自適應調整濾波系數，從而更好地濾除噪聲［12-14］。算法的原理，如圖4所示。

圖4　LMS算法原理框圖Fig.4 Block diagram of LMS algorithm principle

其中，參考信號為d（n），輸出信號為y（n），將參考信號d（n）與輸入信號x（n）進行比較，形成誤差信號e（n）。設濾波系數為ω（n），則誤差信號可以表為:

定義f（ω）為均方誤差性能函數，f（ω）表達式如下:

根據最陡下降法，n+1時刻的濾波系數ω（n+1）可以用簡單遞歸關系來計算:

式中，u是一個正實數，通常稱為自適應收斂系數或步長，Δ（n）為梯度矢量，可寫為:

LMS算法是一種用瞬時值估計梯度矢量的方法，即:

由于瞬時估計梯度矢量的均值EΔ（n）［］等于梯度矢量Δ（n），所以這種瞬時估計是無偏估計，則濾波更新公式為:

LMS算法穩定性的充要條件為:

λmax為輸入信號x（n）的自相關矩陣R的最大特征值。

3 AR模型

3.1AR模型介紹

在一定的近似程度上，任何廣義平穩隨機過程都可以用一階適當的ARMA（n，m）過程來描述。設有一平穩、正態、零均值的時間序列為則它的ARMA模型有以下形式:

式中，xk為時間序列；φn為模型系數（自回歸系數）；θm為模型系數（滑動平均系數）；ak為殘差（白噪聲）；n、m為ARMA（n，m）模型階次數；n為時間序列長度。

式（17）表示時間序列xk｛｝在k時間的取值xk可以用這個時間序列在過去n個時期的觀測量xk-1，xk-2，…，xk-n來估計，其誤差:

模型參數估計采用長自回歸模型法，基于觀測時序建立起來的AR模型、MA模型、ARMA模型均為等價的數學模型。因此，可先估計出AR模型，再根據傳遞函數相等的關系估計出ARMA模型的參數與φn、θm。

3.2建模過程

首先對光纖陀螺的漂移數據進行功率譜估計，用濾波方法消除確定頻率分量的噪聲，然后進行平穩性檢驗，在建立光纖陀螺儀的自回歸參數模型。取光纖陀螺儀實測一段振動數據進行分析，如圖5所示，數據包含振動前、振動中和振動后的數據。

圖5　光纖陀螺儀輸出Fig.5 The output of the fiber optical gyroscope

對振動前的一段平穩數據進行分析，結果如圖6所示。

圖6　陀螺儀輸出平穩數據的功率譜圖Fig.6 The output of the filter based on LMS theory

由圖6可知，光纖陀螺漂移的噪聲能量比較均勻地分布在頻率軸上，僅在低頻段能量較大，說明陀螺儀使用了低通濾波，陀螺儀漂移信號接近于白噪聲，從方框圖分布來看，該陀螺儀的噪聲符合高斯分布的白噪聲。

3.3AR模型參數估計

本文采用由赤池弘治提出的BIC準則，這一準則是赤池弘治于1976年提出，其準則函數為:其中，p為模型的階次，N為數據的個數。為模型的殘差。各模型的參數如表1所示。

表1　各模型的參數表Table 1 Model parameters

4 基于自回歸AR模型的LMS算法

LMS算法實際上是通過將輸入信號d（n）與目標參考信號x（n）進行比較，自適應條件濾波系數ω（n），使得輸出輸出信號y（n）無限逼近目標參考信號x（n），因此，參考信號x（n）結果直接影響了輸出信號y（n）的性能和大小。作為一種實時濾波更新算法，參考信號x（n）只能通過先驗信息獲取或者借助外界信息，本文針對上述問題，采用了自回歸理論獲取參考信號x（n），提出了基于自回歸AR模型的LMS算法。

依據上述各模型參數對應的BIC值，選擇4階AR（4）模型最合適，建立如下方程:

其中，φ1、φ2、φ3、φ4為表1中的參數值。則改進后的LMS算法框圖如圖7所示。

圖7　改進LMS算法原理框圖Fig.7 Block diagram of improved LMS algorithm principle

算法如下:

分析結果如下:

選擇調節參數μ=0.005，經過改進型LMS自適應濾波后輸出結果如圖8所示。

圖8　基于AR和LMS理論的濾波輸出Fig.8 The output of the filter based on AR and LMS theory

濾波前后陀螺儀輸出均值如表2所示。

表2　濾波前后陀螺儀輸出Table 2 The output of gyro before and after filtering

從圖8所示結果分析，濾波后的噪聲水平比濾波前的噪聲水平下降了10倍左右，濾波效果較為明顯，對振中零位誤差的抑制有一定的作用，采用該濾波方法能夠降低噪聲水平，有效地抑制振動引起的誤差。

對于不同調節參數μ，算法穩定速度不同，分別以μ=0.005，μ=0.01，μ=0.015，μ=0.02四種不同參數值作仿真，結果如圖9所示。

仿真過程中，通過改變調節參數μ可以改變穩定時間:當調節參數μ變小時，穩定速度變慢，但穩定后的波動較小，信號的穩定性變好；相反，當調節參數μ變大時，穩定速度變快，但穩定性變差，若μ變得過大，則算法不收斂，容易發散，不能解調出信號。因此，需要根據實際使用情況具體選用參數。

圖9　不同調節參數下誤差隨時間輸出Fig.9 The output of error with different parameters

5 結論

本文針對目前在振動環境下，光纖陀螺組合輸出噪聲較大的問題，提出了一種自回歸最小均方自適應濾波方法，該方法是通過構造較為簡單的自適應濾波器，濾除高頻振動導致的非互易相移信號。通過試驗證明了該方法的可行性和有效性，可以在很大程度上抑制振動引起的陀螺儀測量誤差，該方法計算簡單，為工程化奠定理論基礎。

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Study on Self-regress and Least Mean Square Filter of Fiber Optic Gyroscope Based on Vibration Stress

ZHANG Feng，HUANG Ji-xun，WANG Song-bang
（Beijing Aerospace Times Optical-electronic Technology Co.，Ltd.，Beijing 100094）

Aimed at the problem of vibration can cause measure error and make the signal noise increases.From the mechanism of the impact on the light path which caused by vibration，the signal form of the light path under the influence of vibration is analyzed，a principle that could inhibit the light path signal noise base on least mean square filter algorithm，reducing interference from non-reciprocal phase shift gyro angular velocity error value.The simulation shows that the method is effective，by using this method can effectively restrain the error and noise caused by vibration.

vibration；fiber optical gyroscope；auto-regress；least mean square

U666.1

A

1674-5558（2016）02-01173

10.3969/j.issn.1674-5558.2016.05.011

張峰，男，工程師，博士，研究方向為捷聯慣導系統技術。

2015-08-02

光纖陀螺姿態測量系統技術（編號:51309030106）