基于PH分布的兩部件并聯系統可靠性模型分析

尹東亮，黎 放，陳 童

（海軍工程大學管理工程系，湖北武漢　430033）

基于PH分布的兩部件并聯系統可靠性模型分析

尹東亮，黎 放，陳 童

（海軍工程大學管理工程系，湖北武漢430033）

在系統可靠性建模過程中，通常假設部件壽命和維修時間等服從指數分布等典型分布，這樣做會導致模型的約束條件過于嚴格，縮小了所研究模型的適用范圍.采用Phase-type（PH）分布來構建模型，研究了包含2個不同部件的并聯系統，考慮系統具有單一維修臺，假設部件壽命和維修時間分別服從不同的PH分布，構建了描述能力更強的系統可靠性模型，得出了明確的系統穩態可用度、首次故障前平均工作時間、穩態故障頻度等一系列相關可靠性參數的解析式.最后，通過算例分析證明了該方法的正確性和適用性.

并聯系統；可靠性；Phase-type分布

含有2個不同部件的并聯系統作為一種常用結構，其可靠性模型已經被深入研究［1-2］.該類系統在艦艇中應用廣泛，比如艦艇聯合動力裝置等，而在對該類系統的建模過程中，通常假設系統各部件的壽命和維修時間服從指數分布、威布爾分布等典型分布.曹晉華、程侃［3］利用指數分布對并聯可修系統進行了研究，得出了一系列相關可靠性指標；Rakesh等［4］針對各部件維修時間分別服從指數分布和Lindley分布的包含兩部件的并聯系統進行了研究，系統具有兩維修臺，對系統可靠性進行了分析；Ram等［5］研究了維修時間服從威布爾分布的兩部件并聯系統，利用貝葉斯決策理論對系統可靠性特點進行了分析.在實際應用中，這些可靠性模型中的隨機變量比如維修時間是不具備無后效性的，一般卻假設其服從指數分布，這樣顯然是不夠合理的.然而為了保持模型較好的求解計算特性，假設條件往往過于嚴格，導致這類模型的適用范圍過窄.

為了保留這類典型分布所構建模型易于求解的特性，同時改善模型的適用性，Erlang［6］最早利用負指數隨機變量的算術和構造了位相型的Erlang分布.此后，很多學者對混合型分布不斷嘗試［7］，發展了超指數分布、廣義Erlang分布以及廣義Erlang分布的混合等.這些分布的描述能力較指數分布有很大提高，但失去了其易于求解的特性，直到Neuts［8］發展了PH分布的矩陣表示和解析方法，使得該類分布既保持了指數分布易于處理的優良特性，又具有較強的描述能力，被迅速廣泛應用于系統可靠性模型研究中.Gururajan等［9］研究了具有單一維修臺的兩部件溫貯備系統，貯備部件壽命服從PH分布，建立了可靠性模型，給出了可靠度、可用度等可靠性指標；趙丹［10］以修理工單重休假的并行可修系統為研究對象，假設修理時間服從PH分布，部件壽命服從指數分布，得出了系統可靠性模型，并給出了可靠性指標；Montoro-Cazorla等［11］研究了具有單一維修臺的兩部件冷貯備系統，系統工作時間和維修時間均服從PH分布，得出了更換備件時間等指標.

從PH分布的數學特性中，可得出該分布具有以下優點［12］：1）適用性強，PH分布具有很好的稠密性，可以較好地擬合可靠性模型的試驗數據，達到所需的精確度，使得其能更好地替代各類復雜分布進行建模；2）運算封閉性好，易于進行矩陣建立與解析運算，且運算結果也有相應的PH分布表示；3）PH分布將數值參數轉換為矩陣參數，以矩陣形式包含了大量的數據，更易于通過計算機等輔助工具進行計算.

基于上述分析，本文以并聯可修系統為研究對象，考慮系統具有兩不同部件和單個維修臺，假設各部件壽命和維修時間服從不同的PH分布，建立了通用性更強的可靠性模型，得出了系統穩態可用度、首次故障前平均工作時間、穩態故障頻度等一系列可靠性指標的解析表達式.

1　相關基礎知識

定義1［13］：考慮在狀態空間上定義的一個時間連續、狀態離散馬爾科夫過程，假設狀態1，2，…，m為轉移狀態，m+1為吸收狀態，定義該馬爾科夫過程的狀態無窮小生成矩陣為其中，m階矩陣T=（Tij）滿足Tii＜0，Tij≥0，i≠j，1≤i，j≤m.Tij表示相位i至相位j的轉移率，（，…）T是非負列向量，由各瞬態分別進入吸收態的吸收率表示為矩陣T0，滿足Te+T0=0，其中e為元素均為1的m階列向量，

定義2［13］：假設一個有限狀態馬爾科夫過程以概率α從轉移狀態i開始狀態之間的轉移，則該馬爾科夫過程進入吸收狀態的時間分布定義為PH型（Phase-type）概率分布.其概率分布函數為

［0，+∞）上的概率分布F（·）稱為連續PH分布，α=（α1，α2，…，αm）表示過程的初始概率向量，（α，T）稱為它的m階PH表示.

定義3［13］：一個m×n階矩陣A和一個p×q階矩陣B的Kronecker積被定義為

根據式（3），可得出Kronecker積有如下性質：

定義4［14］：一個m階矩陣A和一個n階矩陣B的Kronecker和被定義為

其中Im和In分別表示m和n階的單位矩陣.

2　問題描述與假設

設該并聯可修系統具有單一維修臺，包含兩不同部件.2個不同部件分別稱為部件1和部件2.下面對問題作進一步深入描述.

1）部件1的壽命服從PH分布，該分布具有m階不可約表示（α，T）.

2）部件2的壽命服從PH分布，該分布具有n階不可約表示（β，S）.

3）系統是單維修臺可修系統，按先到先維修的原則對故障件進行維修，且修復如新.其中，部件1的維修時間服從PH分布，該分布具有l1階不可約表示（δ，U），部件2的維修時間也服從PH分布，該分布具有l2階不可約表示（ξ，R）.

4）當系統中2個部件均發生故障時，系統故障；待某部件維修完畢后，系統再次投入運轉.

5）維修完畢的故障件進入系統開始工作的更換時間可以忽略，不進行考慮；

6）部件1、部件2的壽命和維修時間均相互獨立.

3　模型構建

令Z（t），I（t）=｛i1（t），i2（t）｝和J=｛j1（t），j2（t）｝分別表示在某一時刻t系統內故障件數量、完好部件1和完好部件2各自所處的相位以及部件1和部件2的維修工作所處相位.那么，｛Z（t），I（t），J（t）｝是多維連續時間馬爾科夫鏈.

由于兩部件是不同的，以Z（t）為狀態空間的宏狀態，則狀態空間可以表示為狀態集Ω=H0∪H1∪H2∪H3∪H4，其中：

H0=｛0，（i1（t），i2（t））｝表示系統完好無故障，處于工作狀態，完好部件1和完好部件2分別處于相位i1（t），i2（t），其中1≤i1（t）≤m，1≤i2（t）≤n；

H1=｛1，i1（t），j2（t）｝表示系統部件2發生故障，完好部件1處于狀態i1（t），維修臺維修工作處于狀態j2（t），其中1≤i1（t）≤m，1≤j2（t）≤l2；

H2=｛1，i2（t），j1（t）｝表示系統部件1發生故障，完好部件2處于狀態i2（t），維修臺維修工作處于狀態j1（t），其中1≤i2（t）≤n，1≤j1（t）≤l1；

H3=｛2，j1（t）｝表示系統故障停機，部件1在維修，部件2待修，維修臺維修工作處于狀態j1（t），其中1≤j1（t）≤l1；

H4=｛2，j2（t）｝表示系統故障停機，部件2在維修，部件1待修，維修臺維修工作處于狀態j2（t），其中1≤j2（t）≤l2.

由上述劃分可見，對于整個系統而言，W=H0∪H1∪H2是運行狀態，E=H3∪H4是停機狀態.

下面對狀態轉移進行分析.

1）H0內部轉移：Z（t）=0時，表示系統完好，該狀態轉移包括部件1和部件2的各自相位轉移，轉移矩陣可以表示為T⊕S；

2）H1內部轉移：Z（t）=1時，表示部件2故障、部件1工作.在同一時刻，完好部件1與維修工作不可能同時進行相位轉移，故轉移矩陣可以表示為T⊕R；

3）H2內部轉移：Z（t）=1時，表示部件1故障、部件2工作.在同一時刻，完好部件2與維修工作不可能同時進行相位轉移，故轉移矩陣可以表示為U⊕S；

4）H3內部轉移：Z（t）=2時，表示部件1正在修理、部件2等待，系統故障.這時只有部件1維修工作狀態的內部轉移，可以表示為U；

5）H4內部轉移：Z（t）=2時，表示部件2正在修理、部件1等待，系統故障.這時只有部件2維修工作狀態的內部轉移，可以表示為R.

同理，可以得到宏狀態k向k+1，k-1轉移的表達式（k=0，1，2）.系統各狀態之間的轉移如圖1所示.

圖1　系統狀態空間轉移示意圖Fig.1 Schematic diagram of state transition of system

根據上述分析，可以給出該馬式鏈的無窮小生成元Q為

上述矩陣Q中，各元素分別表示為：A0，0=T⊕S，C0，1=I?S0ξ，C0，2=T0δ?I，B1，0=I?R0β，A1，1=T⊕R，C1，4=T0?I，B2，0=U0α?I，A2，2=U⊕S，C2，3=I?S0，B3，1=U0α?ξ，A3，3=U，B4，2=δ?R0β，A4，4=R.

其中：T0，S0表示部件1和部件2由工作狀態中各瞬態轉移至其相應吸收態的吸收率；U0，R0表示部件1和部件2由維修狀態中各瞬態轉移至其相應吸收態的吸收率.

4　系統穩態概率向量

系統處于穩態時，其無窮小生成元矩陣中各狀態所對應的概率構成穩態概率向量π，與系統狀態空間Ω=H0∪H1∪H2∪H3∪H4相對應可表示為π=（π0，π1，π2，π3，π4），且滿足下列條件：

根據上述展開式（9）至（14）即可求出穩態概率向量π，下面介紹具體求解方法.

由上述計算解析式（14）、（15）、（16）、（23）、（24）即可計算出π的各元素，即系統穩態概率向量.由于計算過程和計算式過于復雜，這里不再一一列出.

5　系統可靠性指標

5.1系統穩態可用度

已知系統穩態概率向量，則系統穩態可用度O可直接用系統處于狀態空間W=H0∪H1∪H2的穩態概率之和來表示：

5.2系統首次故障前工作時間

系統t0=0時開始運行，在運行過程中首次由工作狀態W=H0∪H1∪H2進入故障狀態E=H3∪H4的時刻點t為系統首次故障前工作時間［15］.

定理1：系統首次故障前工作時間服從PH分布，有（mn+ml2+nl1）階的表示（γ，G），其中

證明：根據系統首次故障前工作時間的定義，令H3，H4合并為E=H3∪H4，由于系統首次停機，系統停機狀態可根據PH分布定義表示為系統首次故障前工作時間的吸收態，則此時系統狀態轉移矩陣可表示為

將該矩陣Q＊去除第4行與第4列可得矩陣G，其中由系統首次故障前的工作狀態中各瞬態轉移至吸收態的吸收率G0=-Ge=（0，C1，4，C2，3）T.

由PH分布的定義和其良好的運算封閉性，可以得出系統首次故障前工作時間服從PH分布，有（mn+ml2+nl1）階的PH表示（γ，G）.

推論1：當給定系統初始狀態概率向量γ，系統首次故障前平均工作時間（mean time to first failure，MTTFF）為

5.3系統穩態故障頻度

由于系統可修，則系統運行始終是系統工作狀態和停機狀態不斷來回出現的過程.

定理2：系統穩態故障頻度用以描述系統在（0，t］時間內停機的頻率，可表示為

其中e1，e2分別表示與π1C1，4，π2C2，3同階的元素為1的列向量.

推論2：在系統進入穩態后，系統平均開工時間（mean up-time，MUT）、平均停工時間（mean downtime，MDT）和平均周期（mean cycle time，MCT）分別為：

6　算 例

本文算例由兩方面的驗證組成：1）假設部件1、部件2壽命和維修時間分別服從不同的指數分布，構建模型，得出相應結果，與文獻［3］中的結果進行對比，驗證模型的正確性；2）假設部件1、部件2壽命和維修時間分別服從不同的PH分布，驗證模型對復雜分布的適用性.

6.1 模型正確性驗證

假設有某包含2個部件的并聯可修系統，部件i的壽命分布為1-e-λit，維修時間分布為1-e-μit，其中t≥0，λi＞0，μi＞0，i=1，2.

根據本文中模型構建的條件，T，S，U，R可分別表示為-λ1，-λ2，-μ1，-μ2，α=β=δ=ξ=1.由式（7）可得Q表示如下：

該式即為系統的無窮小生成元.假設運行過程中處于各狀態的瞬時概率分別為P0（t），P1（t），P2（t），P3（t），P4（t），則其狀態轉移的微分方程組表示如下：

當系統進入穩態，即方程組（31）中t→∞時，可得其穩態概率方程組如下：

將上述狀態轉移矩陣（30）代入方程（8）所得結果與方程（32）相同，故本文模型計算所得的穩態概率必然與文獻［3］相同，充分驗證了當系統部件壽命和維修時間分別服從不同的指數分布時該模型的正確性.利用文獻［3］中模型參數數值，令λ1=0.5，λ2=0.8，μ1=10，μ2=12，采用PH分布的解析方法求解，得出以下相同結果：

6.2模型適用性驗證

假設有某包含2個部件的并聯可修系統，則：

1）部件1壽命分布，

對模型進行求解，可以得出：O=0.996 3，MTTFF=29.272 7，k=0.033 4，MUT=29.857 1，MDT=0.110 9，MCT=29.967 9.

通過對該算例結果進行分析，所得結果均符合系統可靠性模型相關指標要求，驗證了模型對各種類型分布的適用性，且具有優良的解析計算性.

7　結束語

本文將PH分布應用于包含2個不同部件的并聯可修系統中，考慮系統具有單一維修臺，建立了適用性更強的可靠性模型，得出了系統穩態可用度、首次故障前工作時間、穩態故障頻度等一系列可靠性指標的解析式，較好地彌補了指數分布等典型分布所建模型的不足，可操作性更強.同時，利用算例分析驗證了PH分布的正確性和較好的適用性，較傳統典型分布有更高的實際應用價值.

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Analysis of parallel system reliability model withtwo unitsbased on Phase-type distribution

YIN Dong-liang，LI Fang，CHEN Tong
（Department of Management Science，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

In the modeling of system reliability，the lifetime and repair time of units are usually assumed to follow exponential distribution or other typical distributions.These models have many constraint conditions，and the applicability of models is not extensive.Therefore，Phase-type distribution was utilized to modeling，parallel repairable system consisting of two dissimilar units and a single repair facility in which the lifetime and repair time of units were assumed to obey different PH distributions was investigated.An analytic reliability model that was more appropriate to characterize the real situation was provided.Some important reliability features，such as the system stationary availability，mean time to first failure and stationary fault frequency，were obtained for certain.Finally，the validity and applicability of the model were verified by numerical applications.

parallel system；reliability；Phase-type distribution

F 253.4

A

1006-754X（2016）02-0130-06

10.3785/j.issn.1006-754X.2016.02.005

2015-09-29.本刊網址·在線期刊：http：//www.journals.zju.edu.cn/gcsjxb

國家自然科學基金資助項目（71501183）.

尹東亮（1992—），男，河南駐馬店人，碩士生，從事系統可靠性和艦船裝備綜合保障研究，E-mail：zeronavy@163. com.http：//orcid.org/0000-0002-8848-3582

黎放，教授，博士生導師，E-mail：lifang600@126.com.