一類基因調控模型的穩定性與Hopf分支分析

曹建智，鮑俊艷，周檬

(1.河北大學 數學與信息科學學院，河北 保定　071002；2.河北軟件職業技術學院 信息工程系，河北 保定　071000)

?

一類基因調控模型的穩定性與Hopf分支分析

曹建智1，鮑俊艷1，周檬2

(1.河北大學 數學與信息科學學院，河北 保定071002；2.河北軟件職業技術學院 信息工程系，河北 保定071000)

利用中心流形和正規型理論研究了一類由常微分方程組來刻畫的基因調控模型，得到該系統局部穩定性和出現Hopf分支的一些充分條件，通過數值模擬驗證了所得結論的正確性.

基因調控模型；平衡點；穩定性；Hopf分支

MSC 2010:34C11；34K35

基因調控網絡是當今生物數學研究的前沿，主要以孟德爾遺傳法則為依據，以基因之間相互作用關系為研究內容，從微觀角度揭示復雜的生命現象．基因的表達是相互影響的，一個基因的表達會受另一個基因表達的影響，同時此基因的表達也會影響到另一個基因的表達.基因調控網絡模型是把網絡中相互作用元素的實驗結果和假設轉換為數學問題，并利用模型分析、求解等過程得到的理論來幫助了解細胞的動態行為，甚至為了解生物機體的分化和演變提供思路．

迄今為止，用于研究基因調控網絡的模型很多，如離散的Boolean網絡模型、基于微分方程的連續模型，隨機模型等.Boolean等網絡模型把基因的表達離散成單一的2個數值0和1，實際上基因表達是連續的，整個網絡是這些連續表達值來推動調控的，從而利用微分方程能更加精確地刻畫所研究的調控系統,另一方面，大量關于常微分方程與動力系統理論知識可以直接應用到所研究的模型．國內外的學者對于基因調控模型的分析和研究都是高度重視的，研究成果也層出不窮[1-5]，但是到目前為止大部分工作都是針對時滯微分方程的，而完全由常微分方程來刻畫的2個基因相互調控的模型還不常見.

本文主要研究的是一類由常微分方程組來刻畫的基因調控模型，通過對系統在正平衡點特征方程的分析，得到該系統局部穩定性和出現Hopf分支的一些充分條件，最后通過數值模擬驗證了所得結論的正確性.

1　預備知識

考慮如下含參數μ的二維系統

(1)

其中f1,f2∈Cr(r≥1),f1(0,0,μ)=f2(0,0,μ)≡0.

上述定理通常稱為Hopf分支定理. 把平面系統(1)在原點Taylor展開至三次項，則令

b102(a11a02+2a02b02)-2a10b10(b022-a20a02)-2a10a01(a202-b20b02)-

(2)

a012(2a20b20+b11b20)+(a01b10-2a102)(b11b02-a11a20)]-

(a102+a01b10)[3(b10b03-a01a30)+2a10(a21+b12)+(b10a12-a01b21)]},

其中aij、bij(i=0,1,2,3;j=0,1,2,3)為相應的系數.則當σ>0時，分支周期解是不穩定的，當σ<0時，分支周期解是穩定的(詳見文獻[7]).

2　一類基因調控模型的局部穩定性與Hopf分支分析

本節要討論的基因調控模型如下：

(3)

其中x和y分別表示基因1和2調控因子的濃度，r表示基因在沒有調控因子時的基本合成率，l1和l2表示降解率，p是x的分解常數，q是y的分解常數，k1為x的最大轉錄率，k2為x的最大合成率，以上參數均為正數(模型的詳細介紹見文獻[8]).

2.1模型正平衡點的存在性

要求出這個方程組所有可能的平衡點，需令式(3)的右端2個方程都等于0，即

(4)

把式(4)的2個方程移項后相除并用x表示y，有

(5)

將表達式(5)代入式(4)的第1個方程中，得

(6)

進一步推導得

x3+Ux2+Vx+R=0,

(7)

其中

方程(7)兩端對x求導得

3x2+2Ux+V=0.

考慮到模型的生物意義，本文僅對系統(3)的正平衡點進行研究.下面的引理保證了在一定條件下系統(3)存在唯一的正平衡點.

1)Δ=U2-3V≤0；

注：從數學的觀點來看，系統(3)的平衡點在不同條件下存在的個數也不相同，引理1為存在唯一正平衡點的一種特殊情況.如，當式(7)有2個或3個正根時，系統(3)正平衡點的個數分別為2個或3個，此時系統(3)的穩定性及分支情況較為復雜，這是未來研究的重點.

2.2平衡點的穩定性與Hopf分支

(8)

其中

導算子矩陣為

系統(8)的特征方程為

(9)

眾所周知，β0和β1的符號在研究式(3)的局部性質時起著決定性作用.對于β0，可以證明它是大于0的.事實上，將式(5)代入式(4)中的第1個方程得

(10)

定理2在β0>0的情況下，如下結論成立:

下面討論系統(3)是否出現Hopf分支.

下面研究分支周期解的一些性質.首先需要把系統(3)的平衡點平移到原點，并在原點處進行Taylor展開得

o(u3,v3)為u3、v3的高階無窮小.把aij(i=0，1，2，3；j=0,1,2,3)中的k1換成k2即為bij(i=0，1，2，3；j=0,1,2,3).

由預備知識，理論上可以計算出決定分支周期解穩定性的第一Lyapunov指數σ，但本文中σ的表達式太復雜，很難判斷σ的符號，在下邊的例子中將給出具體參數σ的符號.

3　數值例子

用與文獻[4]相同的參數對所得結論進行數值模擬.令l1=1，l2=0.2，k2=0.4，p=10，q=5，r=0.4，則基因調控模型(3)變為

(11)

另外，根據公式(2)可計算出系統(11)的第一Lyapunov指數為σ=-349 2.234 5π<0，所以分支周期解是穩定的.

a.x(t)和y(t)的時間序列圖；b.x(t)和y(t)的相圖.

a.x(t)和y(t)的時間序列圖；b.x(t)和y(t)的相圖.

a.x(t)和y(t)的時間序列圖；b.x(t)和y(t)的相圖.

[1]SMOLEN P，BAXTER D A，BYRNE J H． Frequency selectivity，multistability，and oscillations emerge from models of genetic regulatory systems[J]．Amer J Phys，1998，274：C531-C542．

[2]WAN A Y，ZOU X F．Hopf bifurcation analysis for a model of genetic regulatory system with delay[J]．J Math Anal Appl，2009，365：464-476.DOI:10.1016/j.jmaa.2009.03.037．

[3]CAO J Z，JIANG H J．Stability and Hopf bifurcation analysis on Goodwin model with three delays[J]． Chaos Solitons Fractals，2011，44：613-618.DOI:10.1016/j.chaos.2011.05.010．

[4]CAO J Z，JIANG H J．Hopf bifurcation analysis for a model of single genetic negative feedback autoregulatory system with delay[J]．Neurocomputing，2013，99：381-389.DOI:10.1016/j.neucom.2012.07.021．

[5]YU T T，ZHANG X，ZHANG G D，et al．Hopf bifurcation analysis for genetic regulatory networks with two delays[J]．Neurocomputing，2015，164：190-200.DOI:10.1016/j.neucom.2015.02.070．

[6]陸啟韶．分岔與奇異性[M]．上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?995．

[7]WIGGINS S．Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos[M]．New York：Springer，2003．

[8]唐三一，肖燕妮．單種群生物動力系統[M]．北京：科學出版社，2008．

(責任編輯：王蘭英)

Stability and Hopf bifurcation analysis for a class of genetic regulator model

CAO Jianzhi1,BAO Junyan1，ZHOU Meng2

(1.College of Mathematics and Information Science,Hebei University,Baoding 071002,China;2.Department of Information Engineering, Hebei Software Institue, Baoding 071000,China)

The main purpose of this paper is to investigate a class of genetic regulator model which was described by ordinary differential equations using center manifold theory and normal form theorem. Some sufficient conditions which guarantee the local stability and Hopf bifurcation are obtained,and some numerical simulation for justifying the theoretical results is also provided.

genetic regular model;equilibrium;stability;Hopf bifurcation

10.3969/j.issn.1000-1565.2016.04.001

2015-05-01

河北大學自然科學基金青年項目(2014-295)；保定市科學技術研究與發展指導計劃項目(15ZG022)；河北省高等學?？茖W技術研究項目(QN2016030)；河北省自然科學基金資助項目(A2016201206)

曹建智(1981—)，男，河北靈壽人，河北大學講師，博士，主要從事常微分方程與動力系統理論與應用研究．

E-mail：jzcao@hbu.edu.cn

O175.1

A

1000-1565(2016)04-0337-06