遞歸分形插值曲面的變差

張文景,馮志剛

(江蘇大學 理學院,江蘇 鎮江　212013)

?

遞歸分形插值曲面的變差

張文景,馮志剛

(江蘇大學 理學院,江蘇 鎮江212013)

在求解函數圖像維數過程中，分形插值函數的變差可以代替盒維數公式中最少盒子數,從另一個角度得到函數圖像的盒維數公式.從研究二元連續函數的變差性質入手,給出了矩形區域上遞歸分形插值曲面(RFIS)的變差估計,為遞歸分形圖形維數的研究提供一種新方法.

二元遞歸分形插值函數;二元連續函數;分形插值曲面;變差

MSC 2010：37C45;28A80;41A05

分形插值是分形幾何理論及其應用研究中的一個重要內容,由美國數學家Barnsley[1]首先提出,在圖像壓縮、非光滑曲線和曲面的擬合等研究領域中顯示出了獨特的優越性.1989年,在原分形插值的基礎上Barnsley[2]首先介紹遞歸分形插值函數并給出平面上遞歸分形插值函數圖像的計盒維數公式.和傳統的插值函數相比,遞歸分形插值函數是發展起來的一種更靈活、更優越的分形插值函數,更能刻畫出自然界中復雜的隨機性和不確定性.沙震等[3]對Barnsley的遞歸FIF(分形差值函數)分形維數加以改進,去掉關聯矩陣不可約的限制條件,得出新的維數公式.

變差是刻畫粗糙程度的一種重要參數,用來研究各種尺度下函數的粗糙度,而粗糙度在材料學、力學等學科領域中有著非常廣泛的應用[4-7].求分形圖像的維數是分形理論研究的重要內容,計算盒維數一般都是按照它的定義來證明的,即找出覆蓋圖像的最少盒子數.而引入變差的概念,通過研究平面上連續分形函數的變差性質,可以得到平面上連續函數圖像的計盒維數計算公式,為計算函數圖像的計盒維數提供了新的工具.

文志英[8]研究了平面上連續函數變差的性質,并給出平面上連續函數圖像的計盒維數計算公式.馮志剛等[9]研究了一類分形插值函數δ-變差的性質,用δ變差代替維數定義中的最少盒子數,得到了一種證明分形圖形維數的新方法.Feng[10]介紹了矩形區域上分形插值曲面的構造方法,并給出了二元連續函數的振幅以及變差的定義,證明了二元分形插值函數變差的一些性質,并運用連續函數圖像的盒維數與變差的關系,得出了分形曲面的維數公式.徐惠等[11]討論了一類網格上二元連續分形插值曲面,研究二元連續函數的振幅與變差性質,給出變差估計從而得到分形插值曲面計盒維數的準確值.王偉從連續函數的變差性質入手,得到了一元遞歸分形插值函數的變差性質,運用變差階的估計得到遞歸分形插值曲線的維數定理.

本文在上述文獻基礎上討論二元連續函數的變差性質,研究矩形區域上二元遞歸分形插值函數(δ,γ)變差的估計,為遞歸分形插值曲面的維數計算進一步提供理論基礎.

1　二元遞歸分形插值函數

考慮矩形區域上的二元遞歸分形插值函數.給定閉區間I=J=[0,1],0=x0

(1)

其中sij為給定的常數,φij(x,y)為D上的二元連續函數.可得一個遞歸迭代函數系(RIFS)

(2)

(3)

其中對任意i,j=1,2,…,MN,規定

(4)

2　二元連續函數的變差

根據連續函數(δ,γ)-變差定義,Feng[10]證明了下面的引理.

引理1[10]令z=f1(x,y),z=f2(x,y)分別為D上的二元連續函數,C1,C2為給定的任意常數,有

1)Vc1f1+c2;δ,γ(D)=|c1|Vf1;δ,γ(D),

2)Vf1;δ,γ(D)-Vf2;δ,γ(D)≤Vf1+f2;δ,γ(D)≤Vf1;δ,γ(D)+Vf2;δ,γ(D).

引理2[10]令D=[a,b]×[c,d],z=f(x,y)為D上二元連續函數,a

(5)

其中Vf(D)=supDf(x,y)-infDf(x,y).

3　遞歸分形插值曲面的變差

(6)

其中s=A-1(x)∈Ik,t=B-1(x)∈Jl.在區間D′上,有

(7)

證由式(1)得

(8)

由式(8)和引理1 得

(9)

由定理1得

(10)

(11)

φij為D上的連續可微函數且φij?Pr,令Mij=max(x,y)∈I×J|φij(x,y)|,則

(12)

由引理2

(13)

由式(9-13)得不等式(7)左邊可證.

由引理2得

(14)

類似地，由式(9-12)和式(14),可證不等式(7)右邊.

[1]BARNSLEY M F.Fractal everywhere[M].New York:Academic Press,1988.

[2]BARNSLEY M F,ELTON J H,HARDIN D P.Recurrent iterated function systems[J].Constr Approx,1989,5:3-31.

[3]沙震,阮火軍.Bamsley-Elton Hantin的一個定理的修正[J].高校應用數學學報A輯,2000,15(2):157-162.

SHA Z,RUAN H J.A revision of the theorem of the Bamsley-Elton Hantin[J].Appl Math J Chinese Univ Ser A,2000,15(2):157-162.

[4]TRICOT C.Curves and fractal dimension[M].New York:Spinger,1995.

[5]DUBUC B,TRICOT C.Variation d’une Function et Dimension de son graph[J].C R Math Acad Sci ParisSer I,1998,306:531-533.

[6]TRICOT C .Funtion norms and fractal dimension[J].Siam J Math Anal,1997,28(1):189-212.

[7]DUBUC B,ZUKER S W,TRICOT C,et al.Evaluating the fractal dimension of surfaces[J].Proc R Soc Lond Ser A,1989,425:113-127.

[8]文志英.分形幾何的數學基礎[M].上海：科學出版社,2000.

WEN Z Y.The mathematical basis of fractal geometry[M].Shanghai:Science Press,2000.

[9]馮志剛,王磊.分形差值函數的變差的性質[J].江蘇大學學報(自然科學版),2005,26(1):49-52.

FENG Z G,WANG L.Properties of variation of fractal interpolation function[J].Journal of Jiangsu University(Natural Science),2005,26(1):49-52.

[10]FENG Z G.Variation and Minkowski dimension of fractal interpolation surface[J].Math Anal Appl,2008,345(1):3222-344.

[11]徐惠,馮志剛.一類分形插值函數的變差和計盒維數[J]．安徽工業大學學報(自然科學版),2008,25(4)：444-447．

XU H,FENG Z G.A class of variation and box-counting dimension of fractal interpolation function[J].Journal of Anhui University of Technology(Natural Science),2008,25(4)：444-447．

[12]王偉,馮志剛.遞歸分形插值函數的計盒維數[J].安徽工業大學學報(自然科學版)，2009,26(2):187-189.

WANG W,FENG Z G.Box-counting dimension of recurrent fractal interpolation function[J].Journal of Anhui University of Technology(Natural Science),2009,26(2):187-189.

[13]BOUBOULIS P,DALLA L.A general construction of recurrent bivariate fractal interpolation surfaces and computation of their box-counting dimension[J].Japprox Theory,2006，141：99-117.

(責任編輯：王蘭英)

Variation of recurrent fractal interpolation surface

ZHANG Wenjing,FENG Zhigang

(College of Science,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China)

To calculate the dimension of grap of function, the minimum boxes can be replaced by the variation of fractal interpolation function, and the box-dimension formula can be proved from another angle.Based on the study of the properties of variation of bivariate continuous function,the variation of recurrent fractal interpolation function is estimated on the rectangular domain,which provides a new method to study dimension of recurrent fractal graph.

bivariate recurrent fractal interpolation function;bivariate continuous function;fractal interpolation surface;bivariate.

10.3969/j.issn.1000-1565.2016.04.003

2015-06-25

國家自然科學基金資助項目(51079064)

張文景(1988—)，女，江蘇徐州人，江蘇大學在讀碩士研究生.E-mail:656780786@qq.com

馮志剛(1962—)，男，江蘇常州人，江蘇大學教授，主要從事分形幾何理論的研究.E-mail:zgfeng@ujs.edu.cn

O184

A

1000-1565(2016)04-0349-04