關于矩陣和的秩等式

陳佳宏

(喀什大學數學與統計學院，新疆 喀什 844006)

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關于矩陣和的秩等式

陳佳宏

(喀什大學數學與統計學院，新疆 喀什 844006)

用矩陣打洞的方法給出了有限個矩陣和的秩等式成立等價于這些矩陣可以同時相抵對角化.此結論是對一些文獻中已有結論的進一步細化.作為應用，對一些文獻中的結論進行了簡潔、直接的證明.

秩；矩陣打洞；秩等式；同時對角化

1　預備知識

Sylvester在1851年將一個矩陣的秩定義為它的所有非零子式的最高階數.作為刻畫矩陣的數值特征，矩陣的秩是高等代數中的一個重要的基本概念，并在其他數學領域中得到廣泛應用.矩陣和的秩不等式是矩陣論中關于秩的一個重要不等式，其中等號何時成立，即矩陣和的秩等式何時成立已有不少文獻論及[1-5].本文用矩陣打洞的方法結合矩陣的相抵標準形給出了有限個矩陣和的秩等式成立的充要條件是這些矩陣可以同時相抵對角化，并給出所得結論的應用，同時指出這些結論是一些文獻中已有結論的細化.

以下論證的主要依據是矩陣打洞的方法.所謂矩陣打洞就是對分塊矩陣進行初等變換.對分塊矩陣進行初等變換后所得到的矩陣含有零子矩陣，即有“洞”.因此已故數學大師華羅庚將之形象地稱為矩陣打洞.

先引入一些記號和引理：

記F為任意數域，以下假定所有矩陣都定義在F上，In表n階單位陣，

r(A)表任意階矩陣A的秩，

在不致混淆的情形下，以下不再標出矩陣的具體階數.

引理1[6]矩陣A的任意子矩陣的秩不大于矩陣A的秩

引理3 若矩陣B∈Mp×q(F),C∈Mp×n(F),D∈Mm×q(F)，

引理4 若矩陣A,B,Ak∈Mp×q(F)，k=1,2,…,m則

如此第一個不等式得證，同理可證引理中的第二個不等式，再由數學歸納法知第三個不等式也成立.

2　主要定理及其證明

必要性：若r(A+B)=r(A)+r(B)，由r(A)=s知：在可逆矩陣F，G使

(1)

由歸納假設，存在可逆陣R，S使得

定理1和定理2是文獻[1]的主要結論，以及文獻[2]定理3與推論2的細化和推廣.

3　應用

定理1和定理2以及矩陣打洞的方法可用來處理一些與矩陣和的秩有關的問題.

例1 設A∈Mn(F)，則

A3=A成立的充要條件是對任意正整數t，r(A)+r(At-At+2)=r(At).

證明 只證明充分性，由r(A)+r(At-At+2)=r(At)有

r(At)≤r(At+2)+r(At-At+2)≤r(A)+r(At-At+2)=r(At)，即有

r(At)=r(At+2)+r(At-At+2)，r(At+2)=r(A).

由定理1知：存在可逆矩陣P,Q使得

r(A)=r(At+2)≤r(At)≤r(A)，故r=r(At+2)=r(At)=r+s，s=0.且

PAtQ=PAt+2Q，即對任意正整數t，At=At+2.特別的，A3=A.

例1是文獻[3]中主要定理3的推論，此處用定理2給出簡潔的證明.

成立的充要條件是存在可逆矩陣T使得

例2是文獻[4]中主要定理1的一個直接、簡潔的證明.

例3 若A,B∈Mn(F)，r(A2)=r(A)，AB=BA=O，則r(A+B)=r(A)+r(B).

r(A+B)=r(A)+r(B).

例3是文[5]中主要定理的另一種證法.

綜上所述，本文用矩陣打洞的方法將有限個矩陣和的秩等式成立的條件等價刻畫為這些矩陣可以同時相抵對角化，并應用所得結論給出一些文獻中原有結論的不同的證明.由此看出矩陣打洞，也即分塊矩陣的初等變作為一種純代數方法是論證相關問題的有力工具，值得熟練掌握并做進一步的探討.

[1] 馮秀紅,孫蘇亞.矩陣和的秩不等式等號成立的充要條件[J].哈爾濱理工大學學報,2011,(2):97-100.

[2] 胡志廣,張洪偉.常見矩陣秩不等式取等的充要條件[J].天津師范大學學報(自然科版),2014,(4):28-31.

[3] 楊忠鵬,陳梅香,林國欽.關于三冪等矩陣的秩特征的研究[J].數學研究,2008,(3):311-315.

[4] 唐曉文,楊忠鵬,陳梅香.關于冪等矩陣秩的討論與Cochran定理的注記[J].北華大學學報(自然科學版),2014,(1):23-27.

[5] 杜翠真,魏岳嵩.方陣和的秩等于方陣秩的和的證法探討[J].河池學院學報,2016,(2):57-59.

[6] 張賢科,許甫華.高等代數學(第2版)[M].北京:清華大學出版社,2004.

(責任編校：晴川)

Rank Equality of the Sum of Some Matrices

CHEN Jiahong

(School of Mathematics and Statistics, Kashi University, Kashi Xinjiang 844006, China)

In this paper, we prove that the condition of establishment of the rank equality about the sum of some matrices is equivalent to the simultaneous diagonalization of these matrices to the rank normal forms by using the method of digging holes in matrices. The main theorems of this paper can be considered as a refinement of some known results. As applications of the main theorems, we provide some concise and straightforward poofs of the results from some

.

rank; dig holes in a matrix; rank equality; simultaneous diagonalization

2016-08-23

喀什大學校內青年專項課題(項目編號：(15)2568).

陳佳宏(1981— )，男，寧夏銀川人，喀什大學數學與統計學院助教，碩士.研究方向：代數.

O151.21

A

1008-4681(2016)05-0001-04