基于CPFS結構理論下的高職數學教學

閆曉芳，尚華輝

(永城職業學院基礎部, 河南 永城 476600)

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基于CPFS結構理論下的高職數學教學

閆曉芳，尚華輝

(永城職業學院基礎部, 河南 永城 476600)

CPFS結構是優良的數學認知結構，良好的CPFS結構有助于學生對數學知識的理解、遷移，有助于學生數學能力的發展.在高等數學教學過程中，采用變式教學法、分層教學法來建構高職學生的CPFS結構.實踐表明，合理的CPFS結構能使教育資源利用率最大化，教學效果最優化，有效提升教學質量.

CPFS結構；高等數學；變式教學法；分層教學法；高職生

高等數學是高職院校的一門重要的基礎理論課和工具課，是培養高職學生綜合素質的重要載體,對培養學生的邏輯思維能力以及分析、解決問題的能力，開闊學生思路以及提高學生綜合素質等都有很大幫助.但是，通過調查顯示，很多高職生在學習高等數學時出現了對數學學習興趣不高，自信心下降，壓力大等諸多障礙.究其原因是多方面的，從學生方面來說，其中一個重要原因是學生頭腦中沒有建立一個良好的認知結構；從教師方面來說，忽視高職生認知結構的不完善，沒能很好地體現高職數學教育特有的教學方法和特點等.因此，找出一種新的有效的理論來指導教師的教和學生的學顯得尤為必要.喻平等[1]結合心理學理論和數學學科特點提出的數學學習心理的CPFS結構理論能夠在教學活動中指導學生建構網絡化知識體系，從而提升學生學習數學的能力，對高職學生學習數學有著重要的指導意義.

1　CPFS結構理論含義

由概念域、概念系、命題域、命題系形成的結構簡記為CPFS結構.它能夠幫助學生建構起完備的數學知識網絡體系，各知識點(概念、命題)在這個網絡中處于一定位置，知識點之間具有等值抽象關系、強抽象關系、弱抽象關系或廣義抽象關系.正是由于網絡中知識點之間具有某種抽象關系，而這些抽象關系本身就蘊含著思維方法，因而網絡中各知識點之間的連結包含著數學方法，即“連線集”為一個“方法系統”[1].因此，數學CPFS結構不僅表現了一種知識結構，更傳達了一種運用知識的思路.CPFS結構理論主要包含了下列兩組概念：

(1)概念域與概念系

概念C的所有等價定義的圖式，叫做概念C的概念域.簡單地說，就是盡可能多地從不同角度來理解同一概念而獲得概念的不同定義的總和.

例如“數列極限”的概念域是下面等價定義的圖式

概念系則是指： 如果一組概念C1,C2,…Cn存在關系：

C1R1C2R2…Rn-1Cn(*)

其中Ri(i=1,2,…,n-1)表示強抽象、弱抽象或廣義抽象這三種數學抽象關系中的一種，那么稱(*)為一條概念鏈，記為λ={C1,C2,…Cn}.如果兩條概念鏈的交集非空，則稱這兩條鏈相交.如果m條概念鏈中的每一條都至少與其余的一條鏈相交，那么稱這m條鏈組成的概念網絡的圖式為概念系，簡單地說概念系就是在個體頭腦中形成的概念網絡，該網絡中的概念間存在一些特定的數學關系[1].

(2)命題域與命題系

與概念域和概念系的定義類似，命題域是所有等價命題的集合，是個體頭腦中的命題網絡.命題系則是相關命題聯結而成的網絡.

2　CPFS結構的功能

2.1CPFS結構有助于數學理解

對數學概念、規則或方法的理解稱為數學理解.數學理解的水平具有層次性，個體的差異往往表現為理解水平的差異；數學理解是一個動態過程，是認知結構的建構和知識意義的建構過程[1].對數學學習而言，CPFS結構對數學陳述性知識的理解是從知識的基本單元表征，到形成命題網絡，再到獲得圖式的過程.CPFS結構刻畫了關系表征，無論是陳述性知識的命題網絡中命題間的連線，還是程序性知識的產生式系統中產生式間的連線，它們均表現為某種數學抽象關系；這種關系賦予了連線特定的意義，使學習者能從中體會蘊涵的數學思想和數學方法.因此，優良的CPFS結構能促進學習者對知識的理解.

2.2CPFS結構有助于知識遷移

遷移，即原有的知識、經驗、獲得知識的方法及過程性體驗對于新的學習的影響.那么，發生遷移現象的就不僅是單獨的某個知識點或某種學習，而是以往的多種知識、多種學習、多種方法、多種體驗共同作用的結果.若個體具有優良的CPFS結構，貯存了足夠的知識，明晰了知識之間的聯系，便很容易實現在新的學習過程中知識點之間的相互激活，找到需要提取的知識，為遷移現象的發生開辟通道[2].

2.3CPFS結構有助于學生數學能力的發展

數學能力分為元認知能力、共通任務的能力和特定任務的能力.共通任務的能力是數學能力的基礎，它的形成和發展依賴于學習者長期學習經驗和知識的積累，依賴于學習者對知識整體結構的把握，依賴于自身的認知結構.特定任務的能力更多地依賴于學習者對特定領域內知識結構的把握，依賴于特定的認知結構.例如，在解決一個數學問題時，解題者必須具備該問題相關的、特定的知識，從與該問題相關的概念域、概念系、命題域、命題系中提取相關知識解決問題；另一方面，解題者又必須選擇解題策略，利用一些解決數學問題的共通法則.這就需要在一個更廣的認知結構中搜索和提取相關信息，因此，CPFS結構是數學能力發展的基礎.

3　建構高職生CPFS結構的方法

基于CPFS結構以上功能，在高職數學教學中如何建構優良CPFS結構是高職生能否學好高等數學的一個重要的判別標準.近年來，關于完善中學生CPFS結構的研究很多，但是對于CPFS結構在高職學生學習數學的理論研究和教學實踐研究還不成熟.本文嘗試從教授高等數學實際出發，初步探討了建構高職學生優良CPFS結構的教學策略.

3.1變式教學法

變式的本質，是使學習者在頭腦中建構某一概念的概念域和概念系，建構某一命題的命題域和命題系.變式教學，是指“在教學過程中，教師采用變式教學法使學生辨別數學知識的不同表達形式或者錯誤表達形式，從而多角度地理解掌握數學概念、命題或數學思想方法，以及多角度地尋求解決問題的方法渠道，從而鞏固學生的CPFS結構中起固定作用的觀念”[3].在連續及導數概念的教學過程中，可以做如下引導：

例1. 函數y=f(x)在點x0處的連續概念應從下面的等價定義中建立學生的概念域.

函數f(x)在點x0左連續且右連續，則f(x)在點x0連續.

例2. 對函數在某一點處可導的概念，應在下列多種背景下揭示概念的內涵.

① 已知曲線y=f(x)過點P(x0,y0)，如何求曲線y=f(x)在 點P(x0,y0)處的切線方程？

② 已知物體做變速直線運動，其運動方程為S=s(t)，求物體在t0∈[0,t]的瞬時速度.

③ 帶電粒子(電子、離子等)在[0,t]時間段內通過導線橫截面的電荷為Q=Q(t)，求在時刻t0處的電流強度.

讓學生通過觀察、比較、概括的過程獲得函數y=f(x)在點x0處的導數概念.

3.2分層教學法

不同的學生所具有的認知結構也會不同，再加上高職學生數學基礎薄弱，學生成績參差不齊，怎樣讓學生在數學學習中都能夠完善自己的認知結構，達到共同進步，是我們教師需要解決的一個問題.而分層教學[4]正是從學生認知能力實際水平出發，找到學生學習知識和教師傳授知識的“最近發展區”，使任何層次的學生均有自我效能感，得到均衡健康的發展[5].

為了提高高等數學教學質量，我院自2010年以來，對每年的理工類大一新生的高等數學進行分層教學改革，按照學生的學習狀況以及知識基礎、接受能力與認識水平等方面的差異分成A和B兩個層次的教學班.并分別制定出各層次的教學目標、教學內容、和教學方法，使教育資源得到最大利用，教學效果得到最優化.同時在教學過程中，按照教學目標應做到起步低層、面向中層、顧及高層，讓不同層面的學生在原有基礎上得到不同的提高，使其各有所得，在其“最近發展區”內得到充分的發展.

不同層次的學生認知結構不同，因此，在高職數學教學過程中，借助變式教學法和分層教學法來建構高職生實用、精煉的CPFS結構是提高數學教學質量的有效途徑.

[1]喻平.數學學習心理的CPFS結構理論與實踐[M].南寧:廣西教育出版社,2008.

[2]周大眾.CPFS結構理論視域下的初中數學教學[J].中學數學教學,2012,(5):17-20.

[3]鮑紅梅.完善中學生CPFS結構的生長教學策略研究[D]. 南京:南京師范大學碩士學位論文,2004.

[4]王敬童.分層教學視角下《微積分》課堂教學滿意度的實證研究[J].湖南商學院學報，2015，(4)：124-128.

[5]趙英娜.高職數學分層教學的實驗研究[D].吉林:東北師范大學碩士學位論文,2009.

(責任編校：晴川)

Mathematics Teaching in Vocational Colleges Based on CPFS structure

YAN Xiaofang, SHANG Huahui

(Department of Basic Education, Yongcheng Vocational College, Yongcheng Henan 476600, China)

CPFS Structure is a unique and excellent cognitive structure in learning mathematics. Good CPFS structure is not only beneficial to students’ understanding and migration of mathematical knowledge, but also contributable to the development of students’ mathematics skills. We use variant approach and delamination approach to construct CPFS structure of higher vocational students in the teaching of higher mathematics. The practice shows that reasonable CPFS structure could make the maximum usage of education resources and the optimal teaching effects, and promote the teaching quality effectively.

CPFS structure; higher mathematics; variant approach; layered approach; vocational college students

2016-05-25

河南省教育科學“十二五“規劃課題(批準號：〔2015〕-JKGHYB-0718).

閆曉芳(1980— )，女，河南永城人，永城職業學院基礎部講師，碩士.研究方向：非線性振動理論及應用.

G712

A

1008-4681(2016)05-0120-03