帶有l(wèi)ogistic源的生物趨化模型解的全局有界性

李 丹，穆春來

（重慶大學　數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 401331）

帶有l(wèi)ogistic源的生物趨化模型解的全局有界性

李 丹，穆春來

（重慶大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 401331）

研究了一個關于兩個物種趨化模型的初邊值問題

其中Ω?Rn（n≥1）是邊界光滑的有界區(qū)域，χi（w）（i=1，2）為趨化敏感函數(shù)且滿足，初值 u0，v0∈C0（）和w0∈W1，∞（Ω）且，αi，μ1和μ2為正，δi＞1。則當參數(shù)和μ1+μ2滿足一定條件時，表明此模型的初邊值問題有唯一的經典解且一致有界。

趨化性；全局有界；logistic源

0 引 言

在自然界中，所有生命體的生存都依賴于其在復雜環(huán)境中組織和處理各種內部及外部信息的能力。例如，好氧細菌會朝著氧氣濃度高的地方游去，細菌會遠離苯酚以免被殺死等等。此現(xiàn)象為趨化行為，是生物的本能反應。在1970年，Keller和Segel在文獻［1］中首次提出了趨化模型，該模型是為了研究基網柄菌的黏菌的聚合現(xiàn)象。在最近幾十年引起了廣大生物學家和數(shù)學家的關注，相應地也做了很多結果。一個典型的模型如下

其中Ω?Rn是一個有界光滑區(qū)域，u=u（x，t）代表細胞的密度，v=v（x，t）代表化學信號物質的濃度，χ∈R代表趨化敏感度系數(shù)，△u和△v分別代表細胞自擴散項和化學物質的自擴散，-χ▽·（u▽v）代表趨化敏感度項，表示在區(qū)域邊界?Ω的外法方向上的方向導數(shù)。在數(shù)學領域中模型解的適定性、漸進行為、爆破成為了研究的重點。當n=1時，Yagi和Osaki在文獻［2］中證明了模型（1）對任意充分光滑的初值是整體存在且有界的。當n=2時，有條件‖u0‖L1（Ω）＜4π成立時，Nagai在文獻［3］中證明了模型的非徑向對稱解無解。當n≥3時，W inkler［4］證明了對任意的δ＞0，存在ε＞0使得有條件和‖▽v0‖Ln+δ（Ω）＜ε成立，則模型的解都存在且一致有界。然而，在最近，此結果得到了進一步地發(fā)展，Cao在文獻［5］中證明了如果條件和‖v0‖Ln（Ω）＜ε成立，則解整體有界。W ink ler在文獻［6］中通過構造 Lyapunov泛函證明了解在有限時刻爆破。

以上模型考慮的是化學物質由細胞產生而非消耗，接下來的模型考慮的是一種化學信號物質被消耗的情況

其中u=u（x，t）代表細胞的密度，v=v（x，t）代表的是氧氣的濃度。當n≥2時，Tao在文獻［7］中通過構造權函數(shù)證明了當‖v0（x）‖L∞（Ω）充分小時，模型的解整體存在且一致有界。當n=3時，Tao和W inkler證明了模型（2）解的漸進行為。然而，以下關于兩種生物的趨化模型最近也有了些進展

其中u（x，t）和v（x，t）分別代表兩個物種的密度，w（x，t）代表化學信號的濃度。同樣地，Ω?Rn是一個有界光滑區(qū)域，此模型表示化學物質w（x，t）被物種v（x，t）消耗而不被u（x，t）消耗。特別地，Li在文獻［8］中研究了模型（3）不帶logistic源的情況（即μ1=μ2=0），得到了在二維情況下的全局有界性且在條件‖u0‖L1（Ω）＜ε和‖▽w0‖L1（Ω）＜ε（ε充分?。┫?，當t→∞ 時模型（3）的解（u，v，w）趨于穩(wěn)態(tài)解（z1，z2，），其中。在此文章中，我們對一般的情況進行了研究。為了簡化問題，首

先令m∶=u+v，由模型（3）直接計算可得

其中對所有的 w≥0和 χi∈C1+δi（［0，∞］）趨化敏感函數(shù)χi（w）滿足

定理1 假設Ω?Rn是一個有界光滑區(qū)域，初始值（u0，v0，w0）滿足（6）且趨化敏感函數(shù)χi（w）滿足（5），則當參數(shù)，i=1，2和μ1+μ2分別滿足和時，模型（3）有唯一經典解且關于時間是一致有界的，其中

論文安排如下：在下面一節(jié)中將主要給出一些相關引理；主要結果定理1的證明在第三部分，首先證明u（x，t）在空間L2（n+1）（Ω）上是有界的，最后利用Moser迭代法得到定理1。

1 預備知識

為了證明定理1，我們先給出一些相關的引理。

引理 1 假設非負初值（u0，v0，w0）滿足（6），Ω?Rn（n≥1）是一個有界且具有光滑邊界?Ω的區(qū)域。則存在Tmax∈［0，∞）和非負函數(shù)（u，v，w）滿足

證明 模型（3）經典解的局部存在可利用不動點定理得到，詳見文獻［9-11］。

引理2［12］取z（t）≥0滿足

其中常數(shù)a＞0，p＞0，b＞0，則我們有

引理3 假設（6）成立，則模型（1）的解（u，v，w）滿足

證明對模型（3）中的第一個方程在Ω上積分，我們得到

和

根據(jù)常微分方程比較原理可以得到結果。

接下來，我們將引進一個有用的不等式，詳見參考文獻［3，11，13-14］。

其中ψ∈W1，2（Ω）且

2 定理1的證明

接下來，結合W ink ler關于構造權函數(shù)的思想來證明定理1。我們首先通過尋找一個既具有上界又具有下界的函數(shù)去證明u（x，t）在空間L2（n+1）（Ω）上是有界的。然后再通過Moser迭代法得到最終結果。

引理5 假設定理1的條件成立，則存在常數(shù)C＞0使得對所有的t∈（0，Tmax）有

證明首先令p∶=2（n+1）并且對所有的s≥0有ψ（s）∶=e（1+βs）-κ

我們可以選取充分小的κ＞0使得

由此可得我們需要的結果。

定理1的證明 利用引理5和Moser-A likakos迭代法可以直接得到u（x，t）在（0，Tmax）上有界，詳細過程可參考文獻［4，15］。所以結合引理5可得到定理1的證明。

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G lobal Boundedness of a Two-species Chemotaxis System

LIDan，MU Chunlai
（College of Mathematical and Statistics，Chongqing University，Chongqing 401331，China）

This paper deals with the global boundedness of the two-species chemotaxis system under homogeneous Neumann boundary condition in a smoothly bounded domainΩ?Rn（n≥1），with nonnegative intial data u0，v0∈C0（）and w0∈W1，∞（Ω）.，αi，μ1has a chemotactic sensitivity function and satisfiesχi（w）≤，where the parameters，αi，μ1andμ2are positiveδi＞1.Under the condition thatandμ1+μ2satisfy some specified conditions，the corresponding initial-boundary value problem possesses a unique global classical solution and is uniform ly bounded.

chemotaxis；global boundedness；logistic source

O175.26

A

10.16246/j.issn.1673-5072.2016.01.003

1673-5072（2016）01-0017-08

2016-01-17

國家自然科學基金項目（11371384）；重慶市自然科學基金項目（cstc2015 jcyjBX0007）

李 丹（1991—），女，重慶潼南人，碩士研究生，主要從事偏微分方程的研究。

穆春來（1967—），男，四川雅安人，教授，主要從事偏微分方程的研究。E-mail：clmu2005@163.com