A-調和方程與微分形式關系

顧志華,陳亞婷

(河北農業大學理學院，河北保定　071001)

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A-調和方程與微分形式關系

顧志華,陳亞婷

(河北農業大學理學院，河北保定071001)

A-調和方程和微分形式在電磁學與流體力學中占有重要的地位，研究他們之間的關系尤為重要.介紹了2類加權微分形式，并證明了微分形式與A-調和方程之間的關系.

A-調和方程；黎曼流形； 微分形式；算子

MSC2010:43A15；35J60

A-調和方程理論在偏微分方程、位勢理論和擬共形分析等領域發揮著非常重要的作用.求解調和方程是電磁學、流體力學和天文學等領域經常遇到的一類重要的數學問題,其中A-調和方程解的性質為研究的重點[1-6].而流形上的微分形式在物理學科也有著特殊的意義,所以研究調和方程與微分形式之間的關系也顯得尤為重要.近幾年中，A-調和形式理論的研究已經取得了顯著的進步.該理論的結論以及它們的應用已經被發現[7-9].在本文中，引入了2類微分形式，這2類微分表達式與擬線性橢圓方程之間有著密切的關系.本文中用到的符號、表述都可以在文獻[9]中見到.

設M和N是C3類的黎曼流形，算子*：∧k(M)→∧n-k(M)稱為Hodge星算子，具有以下性質：對于任意的α，β∈∧k(M)，a,b∈R,*(aα+bβ)=a*α+b*β,對于任意的γ∈∧k(M)，有*(*γ)=(-1)k(n-k)γ.對于任意的α，β∈∧k(M)，內積〈α,β〉=*-1〈α,*β〉=*(α∧*β),Hodge星算子的逆算子記為*-1，滿足*-1(*γ)=*(*-1γ)=γ.

E-mail:guzhihuahbu@163.com

設ω(x)為權函數，若ω(x)∈Lloc(M)，ω(x)>0，則μ(E)=∫Eω(x)dx.

1　黎曼流形上的微分形式

(1)

則稱α是弱閉的微分形式.

定義2設γ是黎曼流形M上弱閉的微分形式，

(2)

若存在弱閉的微分形式θ，

(3)

使得幾乎處處有

v0|θ|q≤ωq-1〈γ，*θ〉+v1ωq|θ|,

(4)

其中v0、v1是常數,則稱γ是黎曼流形M上的DF1類.

定義3設γ是黎曼流形M上滿足(2)的弱閉的微分形式，若存在弱閉的微分形式(3)，使得幾乎處處有

(5)

和

|θ|≤v3ω|γ|p-1,

(6)

其中v2、v3是常數，則稱γ是黎曼流形M上的DF2類.

定理1DF1和DF2滿足DF2?DF1.

2　擬線性橢圓方程

設A:Λk(T(M))→Λk(T(M))是定義在k維切向量空間的Λk(T(M))的映射，即對于幾乎處處的點m∈M，映射A(m,·):ξ∈Λk(T(M))→Λk(T(M)).假設對于幾乎處處的點m∈M和任意ξ∈Λk(T(M))，

(7)

其中常數q>1,v0、v1>0.

(8)

(9)

證明：設微分形式γ，degγ=k-1是式(8)的弱解，即滿足式(9)，微分形式α(m)在點m處等于A(m,dγ)，且θ=*-1α.由POINCARE′引理知dγ是弱閉的微分形式，且θ滿足下式

滿足式(4).證畢.

假設A(m,ξ)滿足

(10)

(11)

其中v1、v2、v3是常數.

證明：θ、dγ的假設如同定理2，由式(10)和式(11)可得

相反，若dγ∈DF2，則存在弱閉的微分形式θ(滿足式(5)和式(6)).

定義

其中α=*θ，則由弱閉的微分形式θ可得到γ是式(8)的弱解，且由式(5)、(6)得式(10)、(11)成立.

[1]IWANIECT,MARTING.Geometricfunctiontheoryandnonlinearanalysis[M].Oxford:ClarendonPress，2001.

[2]佟玉霞,徐秀娟,朱新華，等.A-調和方程弱解的雙權Caccioppoli型不等式[J].數學的實踐與認識,2007,37(03):130-134.DOI:10.3969/j.issn.1000-0984.2007.03.023.TONGYuxia,XUXiujuan,ZHUXinhua,etal.Two-weightCaccioppolitypeinequalityforweaksolutionstoA-harmonicequation[J].MathematicsinPracticeandTheory2007,37(03):130-134.DOI:10.3969/j.issn.1000-0984.2007.03.023.

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(責任編輯：王蘭英)

RelationshipbetweenA-harmonicequationanddifferentialform

GUZhihua,CHENYating

(CollegeofScience,AgriculturalUniversityofHebei,Baoding071001,China)

A-Harmonicequationanddifferentialformsareveryimportantinelectromagneticandfluidmechanics,andtheirrelationshipisparticularlyimportant.Thispaperintroducestwotypesofweighteddifferentialforms,andprovestherelationshipbetweendifferentialformandA-harmonicequation.

A-harmonicequation;Riemannianmanifold;differentialform;operator

10.3969/j.issn.1000-1565.2016.03.002

2015-04-18

保定市科學技術研究與發展計劃指導項目(12ZS005；12ZS006；14ZN001)；河北省高等學校科學技術研究青年基金項目(QN2016243)

顧志華(1981-)，女，河北邯鄲人，河北農業大學講師，主要從事偏微分方程的研究.

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