基于直覺模糊熵的證據沖突度量方法

馬飛

（無錫工藝職業技術學院 電子信息系，江蘇 宜興214206）

基于直覺模糊熵的證據沖突度量方法

馬飛

（無錫工藝職業技術學院 電子信息系，江蘇 宜興214206）

針對證據理論中證據沖突度量這一關鍵問題，提出了一種基于模糊熵的沖突度量方法，首先引入直覺模糊熵表示證據間的差異性，然后對傳統的沖突系數進行了修正，使其能夠反映由于概率指派函數對焦元支持的差異性所引起的沖突，最后結合修正后的傳統沖突系數與模糊熵對兩兩證據間的沖突進行度量。通過對Zadeh悖論擴展、完全一致性證據、完全沖突性證據和焦元為嵌套子集等多種情況進行對比實驗，實驗結果表明本文算法是較為理想的證據沖突度量算法，能夠正確預測證據集的沖突程度。

直覺模糊熵；證據理論；沖突度量；差異性度量

證據理論又稱Dempster-Shafer Theory（DST），首先由Dempster于1967年提出［1］，后經由Shafer于1976年加以完善并推廣［2］。經過幾十年的發展，在理論與應用方面都取得了較大的成果，被廣泛應用在信息融合、目標識別等實際系統中［3-4］。但是證據理論［5-9］的進一步應用受到自身缺陷的限制，其主要原因是證據理論的組合規則不能組合高沖突證據，如果繼續采用證據組合規則對沖突證據進行組合，會出現違背直觀的結論，如Zadeh悖論等。針對證據組合規則與現實應用中所出現的矛盾，很多學者對其進行了研究與改進，主要集中在兩個方面：沖突證據源的修改與證據組合規則的修改。

文中從兩個方面考察了證據間的沖突程度，引入直覺模糊熵公式［10］刻畫證據間的差異性，該公式可以反映焦元的微小變化對證據間差異性的影響，不會陷入局部極值；同時對證據間的傳統沖突系數進行了修正，使得能夠反映焦元支持度的差異性對證據不相容性的影響，然后結合差異性與不相容性對證據間的沖突進行了重新定義，最后的實驗數據說明，新的方法可以有效表征證據間的沖突程度，并且不會出現有悖主觀的結果。

1 證據理論與沖突度量方法

證據理論是建立在一個非空集合U上的理論，U稱為是辨識框架，由一些互斥且窮舉的元素組成，對于U中的元素A，都應該屬于冪集2U，關于證據理論的更多論述參照文獻［1］和文獻［2］，這里只給出傳統的證據沖突系數定義如下所示：

由k的定義可以看出，該度量反映了證據間的不相容性，不能度量不同證據對同一元的支持度差異性，所以導致了沖突系數k不能有效度量證據間沖突問題。但是在證據進行合成前，進行沖突檢測和度量是必要步驟，并且可以根據證據間沖突的不同，選擇不同的證據合成方法，實現證據的有效組合，避免合成失效甚至出現悖論的情況。下面對目前比較有效的證據沖突度量方法進行介紹。

1）基于Jousselme證據距離的沖突度量方法，證據BPA向量mi、mj的距離定義為：

其中D為一個2N@2N矩陣，矩陣中的元素為：

則證據在證據中的距離為：

該距離可以描述證據間的沖突程度，距離越大，則該證據與其它證據間的沖突越大；反之，該證據與其他證據間的沖突越小。但是該度量只能度量證據間的差異性，對于一致性證據，該度量方法就會失效。

2）基于賭博距離的證據沖突度量方法［11］，其具體形式如下所示：

式（6）將對應子集的差值最大值作為沖突度量，該度量不僅具有式（4）度量方式的缺陷，而且容易陷入局部極值，不會反映焦元支持度的微小變化對證據間沖突的影響。

3）基于歐式距離的沖突度量方法［12］，其具體形式如下所示：

式（7）的實質是將基本概率賦值函數之間的歐式距離作為證據間的沖突，與式（6）具有同樣的缺陷。

4）綜合空集BPA與向量距離的沖突度量方法［13］，蔣雯將傳統的沖突系數與證據間的距離進行聯合考慮，使得新的衡量標準能夠反映證據的不相容性和差異性。定義式為：

5）基于最小奇異值的證據沖突度量方法［14］，將BPA矩陣的最小奇異值作為證據的沖突度量，定義式為：

其中D與式（3）的定義相同，該度量方式也只是單一考慮了證據的差異性。

2 基于直覺模糊熵的證據沖突度量方法

2.1 直覺模糊熵

定義1［15］設X是一個給定的論域，稱A=｛＜x，uA（x），vA（x）＞|x∈X｝為X上的直覺模糊集，記為IFS。其中：uA：X→［0，1］，vA：X→［0，1］且滿足條件0≤uA（x）+vA（x）≤1，x∈X，uA（x）和vA（x）分別為X中元素，x屬于A的隸屬度和非隸屬度。

X上所有IFS記為IFS（X），稱πA（x）=1-uA（x）-vA（x）為x屬于A的猶豫度。特別地，若πA（x）=0，則A退化為傳統模糊集。直覺模糊集A的補集定義為：

則對于任意一個直覺模糊集A∈IFS（X），其直覺模糊熵定義如下：

2.2 新的沖突度量方法

下面給出基于直覺模糊熵的證據差異性度量方法，首先對證據進行簡單的變換，如下所示：

定義2假設m為識別空間U上的BPA函數，U=｛A1，A2，A3），與之對應的單點集為｛A1｝，｛A2｝，｛A3｝，根據給定的BPA函數，單點集的基本概率指派為：

顯然，經過式（11）的變換，將對冪集的基本概率指派轉換到對單點集的基本概率指派，但依然滿足證據理論的基本公理。引入直覺模糊熵公式對證據間的差異性進行度量，其定義如下：

定義3假設m1，m2為識別空間U上的BPA函數，U=｛A1，A2，A3），與之對應的單點集為｛A1｝，｛A2｝，｛A3｝。獲得證據的基本概率指派函數后，并且通過式（12）的變換，其證據間的相似性定義如下：

規定：當m1（Ai）=m2（Ai）=0時，E（Ai）=0。

定義4則基于式（13）的證據差異性度量為：

其直觀意義解釋為：在第二組證據中，增加了B和C的概率指派，從而更大程度上引起了決策的困難，不利于作出決策。

在經過式（12）的變換后，修正后的傳統沖突系數定義如下。定義5證據i和證據j之間的不相容系數定義為：

定義6證據i和證據j之間的沖突系數定義為：

3 算法驗證及結果分析

3.1 Zadeh悖論及擴展形式的沖突度

Zadeh悖論及擴展形式如下例所示：

例1設辨識框架為：U=｛θ1，θ2，θ3｝，其證據的BPA如下：

m1：m1（θ1）=0.99，m1（θ2）=0.01，m1（θ3）=0

m2：m2（θ1）=0，m2（θ2）=0.001，m2（θ3）=0.99

mi：mi（θ1）=0，mi（θ2）=0.001，mi（θ3）=0.99

i=1，2，…，N

即假設獲得N條證據，從第三條證據開始，和第二條證據的形式完全相同，不斷增加第二條證據的信度。需要說明的是，對于Jousselme的證據距離、賭博信任距離、向量歐式距離以及最小奇異值證據沖突度量，采用求均值的方法來作為證據全集的沖突量，本文方法也采用上述方法獲得證據全集的沖突度量。針對例1，各個度量方法的度量結果如表1所示。

表1 Zadeh悖論及其擴展的證據沖突度量

從表1可以看出，證據1和證據2并不是完全沖突性證據，所以其沖突度量不應該為1，但確實是高度沖突的。為作出更加準確的判斷，應等待更多證據的加入，這也是設計此例子的目的。隨著證據2的不斷加入，證據的一致性不斷增加，證據間的沖突應該減小，在以上算法中，能夠表征該特性的算法是dBPA、R、Kd、mdBPA、CSVD，因為Kd、mdBPA是dBPA的改進算法。

K受到“一票否決”弊端的影響，所以使得沖突度量始終為一個常數；difBetP將兩個證據中的最大差異度作為證據全集的沖突度量，不隨證據一致性的變化而變化。而最小奇異值和difBetP有著同樣的缺陷，不能反映證據變化所帶來證據奇異值的變化情況，顯然與實際情況不符。

EFC的度量結果和實際情況完全一致，但是在證據個數N=2時，EFC的度量結果為0.888 3，說明兩個證據間是高度沖突的，但是沖突程度弱于別的度量方法，主要是因為兩個證據對于第二個焦元的基本概率指派完全一致，兩個證據并不是完全沖突性證據，沖突度量的結果也不應該為1。

根據前述分析知，隨著證據的個數的增加，證據集的沖突應該呈現下降的趨勢，從圖1可以看出，dBPA、Kd、mdBPA、EFC能夠正確預測沖突的趨勢，與實際情況相吻合，而算法K、difBetP、diSV則是失效的。

3.2 證據完全沖突

在例1中，由于m1（θ2）=m2（θ2）=0.01，所以證據并不是完全沖突的，其沖突度量不應該為1，進行實驗驗證。

例2設辨識框架為：U=｛θi｝10i=1，其證據的BPA如下：

m1：m1（θj）=1/L， j=1，2，…，L

m2：m1（θk）=1/L， k=L+1，L+2，…，2L

兩條證據是完全沖突的，因為在證據1中不為0的焦元在證據2中必0；反之亦然，更為重要的是不為0的焦元的基本概率指派相等。當L=1，2，…5時，計算結果如表2所示。

表2 完全沖突性證據的沖突度

從上表可以看出，對于完全沖突的證據，只有CSVD、mdBPA、K以及EFC的度量方法能夠有效的表征完全沖突的情況，不會出現與直覺相悖的度量結果。當證據完全沖突時，可以認為兩個證據是正交的，其構成的BPA矩陣是滿秩矩陣，又因為矩陣的概率指派相等，所以CSVD可以給出正確的度量結果；而mdBPA是dBPA的改進算法，對其歸一化系數進行了修正，度量結果也符合主觀認識；而傳統沖突系數K在證據完全沖突情況下可以有效的表征完全沖突的情況，說明在度量證據間的沖突程度時，不能丟棄證據間的不相容信息，而只考慮證據間的差異性。而diSV、dBPA、Kd不能夠有效表征證據間的沖突，因為隨著L的變化證據間的距離是發生了變化。

EFC同時考慮了證據間的差異性和不相容性，在證據完全沖突的情況下，其差異性度量和不相容性度量都為1，所以組合后的結果也為1。圖2給出了證據沖突度量的趨勢圖。

從圖2可以看出，無論焦元取任何值，都是完全沖突的證據集合，所以沖突恒為1的算法應該正確的算法，如CSVD、mdBPA、K以及EFC的度量方法。而其余方法對沖突的度量易受向量取值的影響，即使是完全沖突的證據，算法的度量值隨L的增大而減小。

圖1 Zadeh悖論擴展形式的沖突趨勢

圖2 完全沖突證據沖突度量

3.3 完全一致性證據

在例2中，證據是完全沖突的，例3采用完全一致性證據來驗證各度量的有效性。

例3設辨識框架為：U=｛θi｝10i=1，其證據的BPA如下：

m1：m1（θj）=1/L， j=1，2，…，L

m2：m2（θj）=1/L， j=1，2，…，L

兩條證據完全一致，顯然如果只采用差異性度量，這兩條證據完全沒有沖突。當L=1時，兩個證據體都是確定性證據，在該情況下如果采用證據組合規則其組合結果也是確定的。隨著L的增大，因為每個焦元的基本概率指派都是相等的，所以不確定性會增加，使得決策更加困難，證據間的高度一致性反而對決策沒有任何幫助，其實質是基本概率指派的變化會對證據的相容性產生影響，不相容性增加，應該體現在度量方法中。各方法的計算結果如表3所示。

表3 完全一致性證據的沖突度

對于完全一致性證據，度量結果不能反映證據基本概率指派的變化對證據間沖突的影響。圖3給出了證據沖突程度隨證據的基本概率指派變化的預測曲線。

隨著L的不斷增大，兩條證據的不確定性也不斷增大，使得作出決策更加困難；并且當L增大時，證據中命題不斷增多，使得每一個命題都能獲得較小的基本概率指派，干擾決策的命題越多，證據的不相容性增加，所以證據間的沖突程度應該隨著L的增加而增加。算法EFC、Kd，K的度量結果與分析結果相吻合，是有效的度量方法，但K只考慮了證據的不相容性，過于夸大了證據的不相容性。

圖3 完全一致性證據沖突度量

4 結 論

模糊熵能夠度量模糊集的隸屬度與非隸屬度間的不確定性。而EFC采用了模糊熵表征證據間的差異性，并且結合修正的傳統沖突系數對證據間的關系進行了度量，對于嚴重性沖突證據、完全沖突性證據、完全一致性證據以及焦元嵌套情況下的證據，算法都可以正確預測證據的沖突程度，其沖突度量值也與直觀相符合；特別對于焦元嵌套的多證據情況下，對證據沖突的趨勢預測以及度量結果都比現有算法有效。

［1］Dempster A P.Upper and lower probabilities induced by a multi-valued mapping ［J］.Ann Mathematical Statistics，1967，38:325-339.

［2］Shafer G.A mathematical theory of evidence［M］.Princeton：Princeton University Press，1976.

［3］鄒偉，朱智平，李園，等.一種基于粒子濾波的任意姿態頭部橢圓輪廓跟蹤方法［J］.高技術通訊，2009，19（12）：1288-1293.

［4］王紅亮，張美仙，丁海飛.D-S證據理論在目標識別中的應用［J］.自動化與儀表，2011（7）：14-17.

［5］張燕君，龍呈.一種改進的沖突表示方法［J］.計算機應用研究，2013，30（6）:1716-1730.

［6］胡昌華，司小勝，周志杰，等.新的沖突衡量標準下的D-S改進算法［J］.電子學報，2009，37（7）:1578-1583.

［7］宋亞飛，王曉丹，雷蕾等.基于相關系數的證據沖突度量方法［J］.通信學報，2014，35（5）:95-100.

［8］王保云，王桂林，王婷等.基于矩陣奇異值分解的證據沖突度量算法［J］.云南大學學報：自然科學版，2014，37（1）:43-51.

［9］彭穎，胡增輝，沈懷榮.一種修正證據距離［J］.電子與信息學報，2013，35（7）:1624-1629．

［10］魏翠萍，高志海，郭婷婷.一個基于三角函數的直覺模糊熵公式［J］.控制與決策，2012，27（4）:571-574.

［11］LIUW.Analtzing the degree of conflictamong belief function［J］.Aritificial intelligence 2006，170（11）:909-924

［12］王壯。C4ISR系統目標綜合識別理論與技術研究［D］.長沙：國防科技大學，2001.

［13］蔣雯，張安，鄧勇.基于新的證據沖突表示的信息融合方法研究［J］.西北工業大學學報，2010，28（10）:27-32.

［14］柯小路，馬荔瑤，王永.奇異值衡量證據沖突的新方法［J］.電子學報，2013，41（10）:2109-2112．

［15］Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986，20（1）:87-96.

Evidence conflictmeasure based on intuitionistic fuzzy entropymeasures

MA Fei
（Department of Electronic Information，Wuxi Institute of Arts and Technology，Yixing 214206，China）

The conflictmeasure ofevidence is the key issue for the evidence theory.A newmethod for conflictmeasure based on intuitionistic fuzzy entropy measures.The new method firstly show the difference between the evidence by using intuitionistic fuzzy entropy.Then theamended tradition conflict coefficient is used tomeasure the conflictwhich is caused by the difference of supportby the basic probability assignment function.Finally，combing the amended traditional conflict and intuitionistic fuzzy entropymeasure the conflictbetween the evidence.Experiments of the Zadeh paradox，completely conflict evidences set，completely consistency and nesting sequence of focal elements showed the new method could measure the conflictofevidenceswith a good performance.

intuitionistic fuzzy set；evidence theory；conflictmeasure；differencemeasure

TN 91

A

1674－6236（2016）20-0121-04

2015-11-16 稿件編號：201511143

2015年江蘇省高等學校大學生創新創業訓練計劃項目（15012Y）

馬 飛（1985—），男，山西太原人，碩士研究生，助教。研究方向：智能信息處理、RFID系統、智能交通系統、服務型移動機器人控制。