Knight不確定下基于無窮純跳Levy過程的一般風險資產的動態最小定價

劉悅瑩+王向榮+黃虹

摘 要 研究了具有Knight不確定性的金融市場下的一般風險資產的動態最小定價，利用倒向隨機微分方程（BSDE）理論以及時間-風險折現方法，推導出了基于無窮純跳Levy過程的一般風險資產在實際概率測度下的動態定價公式及其在Knight不確定性控制集合上的動態最小定價.最后給出了一個歐式看漲期權動態最小定價的例子，并導出期權價格的顯示表達式.在Knight不確定環境下， 引入Levy過程來描述股票價格的動態走勢，更加符合實際市場，可廣泛地應用于一般風險資產的定價過程，這為投資分析提供一定的理論依據.

關鍵詞 金融數學；最小定價；風險市場價格；BSDE；Levy過程；Knight不確定性

中圖分類號 F272 文獻標識碼 A

Abstract By using the theories of backward stochastic differential equation and time-risk discount method， dynamic minimal pricing of general risk assets was studied under the financial market with Knight uncertainty. Dynamic pricing formula of general risk assets was deduced based on infinite pure jump Levy process under real probability measure. Moreover， dynamic minimal pricing formula was calculated in a set of Knight uncertainty. Finally， a case of dynamic minimal pricing of European call option was presented and the explicit solutions of the price of the option was obtained. The Levy process was introduced to describe dynamic movements of stock prices under Knight uncertain environment， which was more in line with actual market and could be widely used in general risk assets pricing， because it provided the theoretical basis for investment analysis.

Key words financial mathematics； minimal pricing； market prices of risk； backwardstochastic differential equation； Levy process； Knight uncertainty

1 引 言

Black和Scholes（1973）在股票價格遵循幾何布朗運動的假設下，獲得了著名的B-S期權定價公式[1]，隨后鞅方法和偏微分方程方法也開始被普遍用于各種風險資產的定價.但是，B-S 理論主要用于解決與市場風險相關的資產定價問題，而對于套利行為一旦離開了資產的可交易性就失去了意義.類似于死亡風險等的保險風險相關的資產是不可交易的，因此，借用等價鞅測度方法或 B-S 理論來做保險合同的定價問題是缺乏根據的.于是在理論上提出這樣一個問題：能否以及如何發展一般風險資產定價？目前有不少學者進行了相關研究.陳典法（2003）提出時間風險折現（Time-Risk discount）方法， 并運用于人壽保單定價問題[2].馮建芬（2006）在陳典法的思想基礎上給出了一般風險資產的定價模型[3].張慧（2010）明確給出了Knight不確定環境下一般風險資產的動態定價公式[4]. 但是，上述文獻在研究風險資產定價時，均假設股票的價格變化過程是幾何布朗運動，從而可以推斷出股票價格是關于時間的連續函數.但在實際市場中，由于外界及內部大大小小的偶然事件的干擾，股票價格往往會呈現出復雜的跳躍現象，同時股票收益率曲線服從正態分布的假設也與市場所呈現的尖峰厚尾的特征相違背， 因而需要引入新的過程來描述股票價格動態走勢.已有大量文獻對股票價格的波動規律進行了研究，提出了多種資產價格模型，如：Chan（1999）提出的的幾何Levy過程模型[5]，Jan（2000）提出的的指數Levy過程模型[6].為了更好地刻畫股票價格走勢，引入Levy過程來描述股票價格的動態走勢.

Knight（1921）把未來的不確定性分成兩種情況：風險（risk）和Knight不確定性（uncertainty， ambiguity）[7].這表明，現實金融市場上的Knight不確定性是不容忽視的普遍現象.Ellsberg（1961）提出了著名的Ellsberg悖論，表明當事人的選擇行為會受Knight不確定性的影響，單一概率測度的觀點無法解釋這種行為[8].Basili M（2001）表明資產定價研究考慮Knight不確定性，可以較好地解釋像經紀商的買賣差價、價格突變以及期權平價公式的背離等金融現象[9].Chen Zengjing和Larry Epstein（2002）利用BSDE的有關理論第一次建立起數學模型，研究了連續時間的資產定價模型，既體現了風險，也體現了Knight不確定性[10].因此，資產定價研究也需要考慮Knight不確定性.

為了更好地刻畫股票價格的市場特征，在帶有漂移項和 Brown 擴散項的基礎上，加入Levy過程刻畫的無窮純跳項，從而更好地反映金融市場的實際狀況，并進而推導出了在 Knight不確定環境下一般風險資產的動態定價公式，給出了一般風險資產在實際概率測度下的動態價格表達形式（定理1）.Knight不確定性可以通過一個參數可行控制集合Θ來刻畫，而由于 Knight 不確定性的干擾，投資者難以選擇用哪個概率測度來對風險資產進行定價，因此進一步給出了風險資產在這個參數控制集合Θ上的動態最小定價公式（定理2）.最后，給出了一個在Knight不確定環境下基于無窮純跳Levy過程的歐式看漲期權的動態最小定價的例子（定理3），獲得了期權買入價格的顯示表達式.endprint

5 結 論

假設股票價格過程遵循Levy過程，在BSDE 經典相關理論的基礎上，假定無風險利率、波動率及預期收益率均為時間t的函數，推導出了在 Knight不確定環境下一般風險資產在實際概率測度下的動態價格表達式.由于Knight不確定的存在，推導了風險資產的動態最小定價公式.最后，給出了一個在Knight不確定環境下基于無窮純跳Levy過程的歐式看漲期權的動態最小定價的例子，并導出了期權價格的顯示表達式.本文的結論完全包含文獻[4]的結論.

參考文獻

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