Banach空間中的廣義光滑模

趙亮

張興

摘要：介于凸性模與廣義凸性模具有對偶關系以及廣義凸性模有許多優良性質，為了研究是否存在與廣義凸性模具有對偶性質的模、若存在這種模那么該模具有什么樣的性質等問題，作者從構造與廣義凸性模具有對偶性質的模入手，通過應用Hahn，Banach定理找到光滑模的推廣形式并給出相應的定義，在給出定義后，作者證明了作為光滑模推廣形式的廣義光滑模，其能夠精確的刻畫Banach空間的一致光滑性，并研究了廣義光滑模的單調性、奇偶性等性質，最后作為應用給出了Banach空間具有一直正規結構的用廣義光滑模刻畫的一個充分條件，

關鍵詞：一致光滑；廣義光滑模；Lindenstrauss公式；一致正規結構

DOI：10.15938/j.jhust.2016.04.021

中圖分類號：0177.7

文獻標志碼：A

文章編號：1007-2683（2016）04-0112-05

0引言關于Banach空間凸性的研究是Banach空間理論研究的一個重要的部分，對Banach空間單位球的凸性的研究起始于J，Clarkson在1936年對向量值測度的Radon-Nikodym定理的研究，之后，數學工作者們討論了各種凸性，它們在最佳逼近理論以及不動點理論中有著重要的應用，J，Clarkson的論文奠定了由模和常數來描述空間的幾何結構和拓撲結構的基礎，1936年J.Clarkson在文中定義了刻畫一致凸性的凸性模，光滑性是作為凸性的對偶性質提出來的，文對凸性模做了推廣，就是下面要介紹的廣義凸性模，通過分析文獻中關于凸性模、光滑模等的研究方法，本文對光滑模進行推廣，廣義光滑模的幾何意義在于描述一個Banach空間的光滑性，廣義光滑模與t的比值在t—o時的極限值相當于我們熟悉的切線的斜率，與光滑模比較起來，在對具體的Banach空間的光滑性進行分析時，在廣義光滑模中可選擇適當的α（而非局限于光滑模中的2/1）進行計算分析，本文又通過對光滑模與廣義光滑模之間的關系的研究，給出了光滑模的一些應用。