面齒輪副小輪拓?fù)湫扌卧O(shè)計(jì)及嚙合性能分析

付學(xué)中, 方宗德, 李建華, 蔣進(jìn)科

(西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，陜西 西安 710072)

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面齒輪副小輪拓?fù)湫扌卧O(shè)計(jì)及嚙合性能分析

付學(xué)中, 方宗德, 李建華, 蔣進(jìn)科

(西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，陜西 西安 710072)

為改善面齒輪嚙合性能，設(shè)計(jì)了小輪齒廓、齒向修形曲線，將3次B樣條擬合的修形曲面與小輪理論齒面疊加構(gòu)造精確的拓?fù)湫扌锡X面，建立了小輪拓?fù)湫扌蚊纨X輪副TCA、LTCA計(jì)算模型，并試驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的正確性。算例分析表明：小輪拓?fù)湫扌文塬@得開口向下2階拋物線幾何傳動(dòng)誤差，接觸路徑與齒根傾斜，較傳統(tǒng)面齒輪副，有效重合度提高了約10%，容差能力提高了400%；各載荷下承載傳動(dòng)誤差波動(dòng)幅值均減小，齒面載荷分布變化均勻，輪齒進(jìn)入和退出嚙合時(shí)承受載荷變小。

面齒輪；拓?fù)湫扌危积X面接觸分析；承載接觸分析；嚙合性能

面齒輪傳動(dòng)[1]是指圓柱齒輪與圓錐齒輪相嚙合的新型傳動(dòng)，可用于兩輪軸線相交或交錯(cuò)的場合。與錐齒輪傳動(dòng)相比，面齒輪傳動(dòng)最大優(yōu)點(diǎn)在于主動(dòng)小輪安裝位置比較自由，不需要精確定位，此外還具有結(jié)構(gòu)簡單、動(dòng)力分流效果好等諸多優(yōu)點(diǎn)[2-4]。為改善面齒輪傳動(dòng)的嚙合特性，國內(nèi)外做了大量地研究。Litvin等[5]對齒條刀具的齒廓拋物線修形，得到了傾斜的接觸路徑。為進(jìn)一步解決齒面偏載，Zanzi等[6]提出對面齒輪副中小輪進(jìn)行雙向修形。國內(nèi)彭先龍等[7]提出用給定的嚙合性能對面齒輪和小輪齒面進(jìn)行重新設(shè)計(jì)的方法，郭輝[8]則提出采用修形的蝸桿砂輪展成修形小輪的方法。但是，以上研究都未能提供精確的修形曲面和修形齒面，且需反復(fù)試湊參數(shù)才能確定合理修形量，已不能充分滿足航空領(lǐng)域高精度傳動(dòng)設(shè)計(jì)要求。另外，現(xiàn)今多軸聯(lián)動(dòng)的高性能數(shù)控機(jī)床技術(shù)[9]，則為高精度修形齒面的加工提供了條件。

本文對面齒輪副中小輪進(jìn)行拓?fù)湫扌危O(shè)計(jì)了齒廓、齒向修形曲線，將修形曲面與理論齒面疊加構(gòu)造出精確的修形齒面，對所獲得的局部共軛面齒輪副嚙合性能進(jìn)行分析，并進(jìn)行試驗(yàn)研究。為簡單起見，文中面齒輪由虛擬插齒刀展成得到。

1　小輪和虛擬插齒刀理論齒面

1.1齒條刀方程

小輪和虛擬插齒刀齒面由齒條刀具展成得到，齒條刀具的端面齒廓見圖1。

圖1　齒條刀具Fig.1　Rack-cutters

坐標(biāo)系Sbi、Sci均是在齒條刀具端截面內(nèi)，下腳標(biāo)i=s、1分別表示展成虛擬插齒刀、小輪時(shí)的相關(guān)參數(shù)。S0=πm/2是齒條刀中線上的齒槽寬，α為端面壓力角，設(shè)ui、li是曲面兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)，則齒條刀齒面Σbi在坐標(biāo)系Sbi、Sci中可以表示如下：

(1)

(2)

式中:Mcibi是坐標(biāo)系Sbi到坐標(biāo)系Sci的坐標(biāo)變換矩陣。齒條單位法矢為：

(3)

1.2小輪和虛擬插齒刀理論齒面

由齒條刀齒面Σb1、Σbs可分別包絡(luò)得到小輪和虛擬插齒刀的齒面Σ1、Σs，見圖2。

圖2　小輪和虛擬插齒刀展成坐標(biāo)系Fig.2　Coordinate systems for pinions and imaginary shaper cutters

圖中Si、Sci分別與齒輪、齒條刀固聯(lián)，Sdi為固定坐標(biāo)系。ψi、rpi分別為齒輪轉(zhuǎn)角及分度圓的半徑，ψirpi為齒條刀位移。小輪和虛擬插齒刀在Si中的理論齒面可由下式表示：

(4)

理論齒面法矢為：

(5)

式中:Lici為將矩陣Mici刪除最后一行及最后一列得到。

2　小輪拓?fù)湫扌锡X面

設(shè)計(jì)的修形曲線由2段拋物線與1段直線組成，見圖3，l1、l3與l2、l4為單獨(dú)齒廓修形時(shí)齒廓兩端最大修形量與對應(yīng)修形長度，l5、l7與l6為單獨(dú)齒向修形時(shí)齒向兩端最大修形量與不修形長度，h、b為旋轉(zhuǎn)投影面上的齒高、齒長，修形曲線用旋轉(zhuǎn)投影面數(shù)據(jù)表示。旋轉(zhuǎn)投影面表示為：

通過2016年同德縣1∶5萬地質(zhì)災(zāi)害詳細(xì)調(diào)查工作，統(tǒng)計(jì)出同德縣境內(nèi)共發(fā)育地質(zhì)災(zāi)害點(diǎn)262個(gè)，其中滑坡70處，崩塌27個(gè)，泥石流143條，不穩(wěn)定斜坡22段(圖1)。地質(zhì)災(zāi)害在各鄉(xiāng)鎮(zhèn)的分布很不均勻。巴溝鄉(xiāng)及河北鄉(xiāng)地質(zhì)災(zāi)害點(diǎn)最多，其次是曲尕巴松多鎮(zhèn)和秀麻鄉(xiāng)；災(zāi)害點(diǎn)最少的是唐谷鎮(zhèn)(表1)。

(6)

式中：Rx、Ry、Rz是理論齒面位矢的坐標(biāo)分量。

將旋轉(zhuǎn)投影面沿輪齒齒高、齒長方向均勻劃分成m×n個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)陣，根據(jù)修形曲線計(jì)算網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的修形量δij(x,y)，再由3次B樣條對齒面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合獲得光滑的修形曲面。單獨(dú)的齒廓、齒向修形為二維修形，拓?fù)湫扌慰梢暈槎叩寞B加。將修形曲面與小輪理論齒面疊加，構(gòu)造精確的拓?fù)湫扌锡X面，其位矢和法矢表示如下：

(7)

(8)

圖3　設(shè)計(jì)修形曲線Fig.3　Design curves of profile and longitudinal modification

3　面齒輪理論齒面

圖4所示為面齒輪的展成坐標(biāo)系，坐標(biāo)系Ss(Os, xs, ys, zs)、S2(O2, x2, y2, z2)分別與虛擬插齒刀和面齒輪固聯(lián)，坐標(biāo)系Sm(Om, xm, ym, zm)、Sp(Op, xp, yp, zp)與機(jī)架固聯(lián)，為輔助坐標(biāo)系，γm是面齒輪軸線z2與虛擬插齒刀軸線zs間的夾角，L0是面齒輪中徑，ψs、ψ2分別是虛擬插齒刀和面齒輪的轉(zhuǎn)角，兩轉(zhuǎn)角的關(guān)系為ψ2=ψsm2s。面齒輪齒面Σ2s是曲面族R2s的包絡(luò)，齒面方程由下式表示：

(9)

(10)

式中:L2s為刪除M2s的最后一行和最后一列得到。

圖4　面齒輪展成坐標(biāo)系Fig.4　Coordinate systems for face gear

4　齒面接觸分析(TCA)

齒面接觸分析時(shí)采用的坐標(biāo)系見圖5，坐標(biāo)系S1、S2分別固聯(lián)小輪、面齒輪，Φ1、Φ2為轉(zhuǎn)角，齒面在固定坐標(biāo)系Sf中切觸。坐標(biāo)系Sq、Se、Sd分別用來模擬軸向位移誤差△q、偏置誤差△E、軸夾角誤差△γ，B為小輪與虛擬插齒刀分度圓半徑之差，γf是實(shí)際安裝軸夾角，γf=γm+△γ。面齒輪齒面位矢和法矢在Sf中表示為R2f和n2f，小輪拓?fù)湫扌锡X面位矢和法矢在Sf中表示為R1f和n1f，則齒輪副在Sf中切觸方程可表示為：

(11)

當(dāng)以一定步長取Φ1為輸入量求解上式，即可得到齒面嚙合跡線、幾何傳遞誤差。

圖5　面齒輪副嚙合坐標(biāo)系Fig.5　Coordinate systems for gear meshing

5　承載接觸分析(LTCA)

在TCA求得的準(zhǔn)確齒面接觸幾何條件的基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步確定兩齒面接觸間隙、沿接觸橢圓長軸方向離散點(diǎn)的柔度矩陣，算法見文獻(xiàn)[10-12]，據(jù)此建立面齒輪副小輪拓?fù)湫扌魏筝嘄X承載接觸問題的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型：

(12)

式中:Xj(j=1,2,…2n+1)為人工變量，X=[X1X2…X2n]T，n維列向量，e的各元素均為1，w為弧線齒面齒輪齒面間n維初始間距矢量，p是齒面上的集中載荷，Z是輪齒變形后的法向位移。求解數(shù)學(xué)規(guī)劃(12)，由此可得承載傳動(dòng)誤差、齒面載荷分布、齒間載荷分配系數(shù)等。

6　實(shí)例分析

由上述推導(dǎo)編寫MATLAB程序并設(shè)計(jì)了兩組面齒輪傳動(dòng)，設(shè)計(jì)參數(shù)見表1。實(shí)例1為傳統(tǒng)面齒輪副，通過虛擬插齒刀與小輪齒數(shù)差實(shí)現(xiàn)局部共軛；實(shí)例2中虛擬插齒刀與小輪齒數(shù)相同，面齒輪副完全共軛，對安裝誤差非常敏感，需進(jìn)行修形。

設(shè)計(jì)小輪齒廓、齒向修形曲線見圖6，齒廓修形參數(shù)為l1=7.4 μm、l3=5 μm、l2=l4=m，齒向修形參數(shù)為l5=l7=20.8 μm、l6=0。通過擬合得到小輪修形曲面見圖7，疊加齒廓、齒向修形可得拓?fù)湫扌锡X根處最大修形量為28.2 μm，齒頂處最大修形量為25.8 μm。

表1　設(shè)計(jì)參數(shù)

圖6　修形曲線Fig.6　Deviation curves

圖7　拓?fù)湫扌吻鍲ig.7　Deviation surface of topologically modified

由圖8可知，無載時(shí)對準(zhǔn)安裝條件下，傳統(tǒng)面齒輪副接觸路徑與齒根垂直，小輪拓?fù)湫扌泻蠼佑|路

徑與齒根成一定角度傾斜，兩者的接觸印痕均大致位于輪齒的中部。經(jīng)計(jì)算前者有效重合度為1.375，后者為1.5，提高了約10%，可見小輪拓?fù)湫扌文苡行г龃竺纨X輪副的有效重合度。

圖8　無載時(shí)對準(zhǔn)安裝接觸印痕Fig.8　Contact patch without torque in case of 　no misalignment

圖9表明無載對準(zhǔn)安裝時(shí)，傳統(tǒng)面齒輪副幾何傳動(dòng)誤差為0，小輪拓?fù)湫扌蝎@得了開口向下2階對稱拋物線幾何傳動(dòng)誤差，降低了安裝誤差敏感性，故允許最大安裝誤差變大，見表2(由TCA獲得)，容差能力提高400%。圖9中Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ分別對應(yīng)載荷2 000、4 000、5 000 N·m時(shí)承載傳動(dòng)誤差，可見小輪拓?fù)湫扌魏螳@得了近似拋物線承載傳動(dòng)誤差，誤差波動(dòng)幅值比傳統(tǒng)面齒輪副明顯減小，幅值分別由0.96"、1.82"、2.27"降到0.16"、1.03"、1.48"，最大降幅83%，從而達(dá)到減振降噪的目的。

表2　允許最大安裝誤差

圖10表明傳統(tǒng)面齒輪副在承載5 000 N·m時(shí)，每條接觸橢圓長軸上的載荷都有較大突變，且齒輪副存在較嚴(yán)重邊緣接觸，而小輪拓?fù)湫扌魏筝d荷從輪齒中部沿接觸橢圓長軸向兩端逐漸減小為零，僅齒根處接觸橢圓長軸上的載荷有輕微突變，齒面載荷分布變化較均勻、平緩。

圖9　對準(zhǔn)安裝時(shí)傳動(dòng)誤差Fig.9　Tansmission errors in case of no misalignment

圖10　承載5 000 N·m時(shí)對準(zhǔn)安裝載荷分布Fig.10　Load distribution with a torque of 5 000 N·m in case of no misalignment

面齒輪副承載時(shí)存在單、雙齒嚙合，因承載齒數(shù)變化導(dǎo)致齒間載荷分配系數(shù)有突變，見圖11，系數(shù)等于1時(shí)為單齒嚙合，小于1為雙齒嚙合，小輪拓?fù)湫扌魏箅p齒嚙合時(shí)長比重增加，且輪齒進(jìn)入和退出嚙合時(shí)承受載荷減小50%，傳動(dòng)更加平穩(wěn)。

圖11　承載5 000 N·m時(shí)對準(zhǔn)安裝載荷分配系數(shù)Fig.11　Gear transverse load distribution factors with a torque of 5 000 N·m in case of no misalignment

7　試驗(yàn)

圖12為加工的面齒輪局部輪齒，參數(shù)見表1中實(shí)例2。輪齒外端齒頂處無變尖，內(nèi)端齒根處無根切，表明參數(shù)選取合理。

圖12　面齒輪輪齒Fig.12　The teeth of face gear

根據(jù)圖6修形曲線，編制數(shù)控程序并完成小輪拓?fù)湫扌巍L檢見圖13，涂有紅丹粉的小輪輪齒區(qū)域與面齒輪充分嚙合，獲得的接觸印痕見圖14、15，紅丹粉被磨掉的部分即為接觸區(qū)域。對準(zhǔn)安裝時(shí)齒面接觸印痕位于齒寬中部，與對準(zhǔn)安裝TCA結(jié)果圖8(b)吻合，當(dāng)軸向位移誤差△q、偏置誤差△E取正值時(shí)印痕向面齒輪外端移動(dòng)，與未對準(zhǔn)安裝TCA結(jié)果圖16吻合，但存在一定誤差，可能是由于修形量較小，齒頂、齒根沒有完全脫開，另外，面齒輪加工精度和齒面質(zhì)量不高也是造成誤差的重要原因。

圖13　滾檢Fig.13　The rolling tests

圖14　對準(zhǔn)安裝接觸印痕Fig.14　Contact patch in case of no misalignment

圖15　未對準(zhǔn)安裝接觸印痕Fig.15　Contact patch in case of misalignment

圖16　無載時(shí)未對準(zhǔn)安裝TCA接觸印痕Fig.16　Contact patch of TCA without torque in case of misalignment

8　結(jié)論

1)設(shè)計(jì)了小輪齒廓、齒向修形曲線，將修形曲面與小輪理論齒面疊加構(gòu)造精確的拓?fù)湫扌锡X面，建立了修形后面齒輪副傳動(dòng)的TCA、LTCA計(jì)算模型。

2)TCA表明小輪拓?fù)湫扌文塬@得開口向下2階對稱拋物線幾何傳動(dòng)誤差，接觸路徑與齒根傾斜，降低了安裝誤差敏感性，提高了面齒輪副的有效重合度及容差能力。

3)LTCA表明小輪拓?fù)湫扌屋^傳統(tǒng)面齒輪副在優(yōu)化承載傳遞誤差、改善齒面載荷分布及避免邊緣接觸方面都具有優(yōu)勢。

4)試驗(yàn)結(jié)果與TCA結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了TCA計(jì)算模型的正確性，但存在一定誤差，須進(jìn)一步完善試驗(yàn)條件并驗(yàn)證LTCA結(jié)果。

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本文引用格式：

付學(xué)中, 方宗德, 李建華, 等. 面齒輪副小輪拓?fù)湫扌卧O(shè)計(jì)及嚙合性能分析[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)， 2016, 37(9): 1281-1285.

FU Xuezhong, FANG Zongde, LI Jianhua，et al. Design of topological shape modification of auxiliary pinion of face gears and analysis of meshing performance [J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(9): 1281-1285.

Design of topological shape modification of auxiliary pinion of face gears and analysis of meshing performance

FU Xuezhong, FANG Zongde, LI Jianhua, JIANG Jinke

(School of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

To improve the meshing performance of face gears, in this study, we designed a tooth profile and a direction modification curve on a pinion. A topologically modified tooth surface was represented accurately by the sum of two vector functions that determined the theoretical tooth surface and the deviation surface, and the latter was fitting three B-splines on the tooth surface grid. We then established computational models for the tooth contact analysis (TCA) and loaded tooth contact analysis (LTCA) of face gear pairs with the topologically modified pinion. To verify our theoretical analysis results, we then conducted an experiment. The results show that the proposed design enables the transmission error to form a second-order parabolic function by opening downward and tilting the tooth contact path. Compared with traditional face gear pairs, the effective overlap ratio increas by about 10% and tolerance ability increases by 400%. Under different degrees of torque, the fluctuation amplitudes of the loaded transmission errors all decrease significantly. The load distribution changes gently on the flank of the tooth, and the load is reduced when gear tooth enters and withdraws.

face gear; topological shape modification; tooth contact analysis (TCA); loaded tooth contact analysis (LTCA); meshing performance

2015-06-25.

時(shí)間：2016-08-29.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51375384).

付學(xué)中(1986- )，男，博士研究生；

付學(xué)中，E-mail：fxznwpu@163.com.

10.11990/jheu.201506074

TH132.41

A

1006-7043(2016)09-1281-06

方宗德(1948- )，男，教授，博士生導(dǎo)師.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160829.0827.002.html