模型水輪機折射窗結構及算法研究

劉永新

(哈爾濱電機廠有限責任公司,哈爾濱 150040)

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模型水輪機折射窗結構及算法研究

劉永新

(哈爾濱電機廠有限責任公司,哈爾濱 150040)

為了解決水輪機模型試驗中轉輪空化現象觀測不準確的問題,筆者根據費馬原理建立了模型水輪機折射窗的數學模型,并基于拉格朗日插值算法,利用MATLAB開發平臺求解折射窗觀察板與錐管壁夾角的最優解,得到折射窗的結構尺寸。試驗結果表明:水輪機模型試驗采用拉格朗日插值算法得到的模型水輪機折射窗結構,便于測試人員準確觀測,可以提高水輪機轉輪空化試驗判定的準確性。

模型水輪機;空化;折射窗;插值算法

在水輪機模型試驗中,當流道中水流局部壓力降至臨界壓力時,將會發生空化現象[1],空穴周圍的介質要填充空穴潰滅后的空間而形成高速微射流,這種微射流作用到金屬表面會產生疲勞破壞,造成水力機械的效率和出力降低,引起機械裝置的劇烈振動[2-3],影響機組的安全運行[4]。目前,預測水輪機內部空化流動的試驗方法是用閃頻儀以轉速頻率相近的頻率向觀測部位打光,當發現3個或3個以上葉片開始出現氣泡時,就定義當時的空化系數為初生空化系數[5]。由于轉輪位于透明錐管上部,因此測試人員需要大角度仰視才能觀察到,而且觀測角度的不同將導致觀測結果偏差,從而直接影響到水輪機空化性能的判定結果。為此,本文根據費馬原理提出一種便于觀測轉輪空化現象的折射窗結構及其求解方法,有效地解決了模型水輪機轉輪空化現象判定不準確的問題。

1　折射窗結構分析

根據費馬原理,光在均勻介質中傳播時遵從直線傳播定律、反射和折射定律。不論光線正向傳播還是逆向傳播,必沿同一路徑。費馬原理是幾何光學的基本原理,本文根據費馬原理研究光線在模型裝置中的傳播軌跡。錐管折射窗的原理圖如圖1所示。

圖1　錐管折射窗原理圖

由圖1可知,折射窗由觀察板和兩塊側板組成。在轉輪空化試驗觀測時,折射窗內充滿水,利用光線在不同介質間的折射作用,測試人員通過平視觀察板即可看清透明有機玻璃錐管上部轉輪的圖像。在錐管折射窗設計過程中,最重要的就是折射窗觀察板與錐管壁夾角r的確定。在圖1中,光線在傳播過程中共發生4次折射,分別在錐管壁和錐管內水溶液間、錐管壁和折射窗內水溶液間、折射窗內水溶液和折射窗觀察板間、折射窗觀察板和空氣間。有機玻璃錐管壁厚、折射窗觀察板壁厚與光線傳播距離相比,在工程應用上可以忽略不計;同時,光線進出玻璃錐管兩側均穿過相同介質,此時光線的傳播方向沒有變化,僅發生小范圍的平移。為簡化計算過程,在滿足工程應用前提下,僅保留折射窗觀察板前后的折射。錐管折射窗原理簡圖如圖2所示。

圖2　錐管折射窗原理簡圖

在圖2中,B處水平線為觀測者視線,A點為被觀測點。D為轉輪上被觀測點A的直徑,mm;h為轉輪上被觀測點A到觀測者視線的垂直距離,mm;L為轉輪上被觀測點A到觀察板與透明錐管外壁交點C的豎直方向距離,mm;M為觀察板上觀測點距離錐管壁的水平距離,mm;β為透明有機玻璃錐管壁與水平面夾角,∠a為折射角,∠b為入射角,r為折射窗觀察板與錐管壁的夾角。由此可得到如下計算公式:

1.33=sin∠a/sin∠b

(1)

90°-∠a+γ+β=180°

(2)

tan(∠a-∠b)=h/(D+M)

(3)

sinr/M=sin(β+γ)/[(L-h)/sinβ]

(4)

由式(1)～(4)可得,折射窗觀察板與錐管壁夾角r的關系為:tan{β+γ-90°-arcsin[sin(γ+β-90°)/1.33]}=h×sinβ×sin(γ+β)/[D×sinβ×sin(γ+β)+

(L-h)×sinr]

(5)

通過式(5)求得夾角r后,折射窗的其它尺寸可根據錐管尺寸確定,同時還應避開錐管上布置的測點及其它附屬結構。

2　模型水輪機折射窗算法

在科學計算中,經常遇到所需資料的空白或缺少,為補全缺少的資料,統計分析常采用插值估計法[6]。本文針對夾角r,亦采用插值法求解,利用函數f(r)在區間[10,60]中插入若干點的函數值,得出適當的特定函數,在這些點上取已知值,在區間的其它點上用這特定函數的值作為函數f(r)的近似值,以此來求得r的近似最優值。本文以拉格朗日算法為例,簡述夾角r的求解過程。

2.1插值問題的數學模型

在r∈[10,60]取n+1個點r0,ri,…,rn。通過方程式(5)的h=f(r),,可以得到對應的n+1個函數值hi=f(ri);i=0,1,2,…,n。構造一個簡單插值函數h=P(r),該函數滿足:hi=P(ri);i=0,1,2,…,n。也就是說,函數y=P(x)構造的曲線要經過h=f(r)上已知的這n+1個點:(r0,h0),(r1,h1),…,(rn,hn),此時P(r)為r∈[10,60]上次數不超過n的多項式。

2.2拉格朗日插值算法

已知函數h=f(r)在n+1個不同點r0,ri,…,rn上的函數值分別為h0,h1,…,hn,求一個次數不超過n的多項式Pn(ri)=hi;i=0,1,2,…,n,即n+1個不同的點可以唯一確定一個n次多項式。

通過n+1個不同的點分別確定n+1個n次插值基函數K0(r),K1(r),…,Kn(r),每個插值多項式Ki(ri)是n次多項式:Ki(ri)=1,而在其它n個Ki(rj)=0,j≠i。由于Ki(rj)=0,故有因子(r-r0)…(r-ri-1)(r-ri+1)…(r-rn)。因其已經是n次多項式,故僅相差一個常數因子。令K1(r)=a(r-r0)…(r-ri-1)(r-ri+1)…(r-rn);由于Ki(ri)=1,可以求出a,然后得出:

(6)

由于Pn(r)是n+1個n次插值基本多項式K0(r),K1(r),…,Kn(r)的線性組合,相應的組合系數是h0,h1,…,hn。由此可以得到Pn(r)=h0K0(r)+h1K1(r)+…+hnKn(r),即Pn(r)是一個次數不超過n的多項式,且滿足Pn(ri)=hi,i=0,1,2,…,n。再通過求解簡單插值函數h=P(r),即可得到夾角r的近似最優解。

2.3MATLAB軟件在折射窗上的應用

MATLAB是美國Math Works公司研發的數學工具軟件,與Mathematic、Maple并列為三大數學軟件[7],用于算法開發、數據可視化、數據分析及數值計算的高級計算機語言。本文采用MATLAB軟件展開拉格朗日多項式,具體算法流程如圖3所示。應用MATLAB軟件在本文提及的算法中可以使用很少的代碼實現簡單插值函數h=P(r)的求解,最終實現對近似最優夾角r的求解。

圖3　MATLAB算法流程圖

3　結　論

1) 在預測水輪機內部空化流動試驗時,基于費馬原理建立模型水輪機折射窗數學模型,采用拉格

朗日插值算法,將MATLAB軟件應用于折射窗計算,可以求解得到模型水輪機折射窗的結構尺寸。

2) 該水輪機模型試驗得到的模型水輪機折射窗結構,具有結構簡單、安裝方便等優點,能降低測試人員的工作強度,并避免因為觀測角度不同導致的觀測偏差,提高了水輪機測試技術水平。

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(責任編輯侯世春)

Research on model turbine refraction window structure and algorithm

LIU Yongxin

(Harbin Electric Machinery Company Limited, Harbin 150040, China)

In order to avoid the inaccurate observation of runner cavitation in turbine model test, the author established the mathematical model of turbine refraction window according to Fermats principle, and worked out the structure size of refraction window according to the optimal solution of the angle between refraction window observation plate and conical tube wall through MATLAB by Lagrange interpolation algorithm. The test result shows that the model turbine refraction window structure calculated by lagrange interpolation algorithm is convenient for accurate observation and is able to enhance the judgment accuracy of turbine runner cavitation test.

model turbine; cavitation; refraction window; interpolation algorithm

2016-01-06;

2016-02-19。

劉永新(1985—),男,工程師,主要從事水輪機結構設計工作。

TK730.7

A

2095-6843(2016)04-0371-03