衛星變軌在轉移軌道近地點的動力學分析

耿偉

同步衛星發射通常先發射到停泊軌道，調整穩定成圓軌道后，再在預定地點啟動火箭助推發動機，使衛星加速.這一過程時間較短，當速度增大到一個預設值，即關閉發動機.衛星將做離心運動，軌道半徑不斷變大.由于引力性質，衛星之后的運動軌道將是一橢圓，稱之為轉移軌道，關閉發動機后的衛星位置將是橢圓軌道的近地點，遠地點在設計的衛星運行的圓形軌道上，關閉發動機時衛星速度的預設值即是滿足遠地點的要求.再經調控穩定后，在遠地點再次開啟發動機，使衛星加速到運行軌道所要求的速度.示意圖如圖1所示.

以下簡稱停泊軌道為1，轉移軌道為2，運行軌道為3.

在變軌問題中有一個概念容易混淆，即衛星由軌道1上的A點，經短時加速后而轉為沿軌道2運動，通常認為衛星經加速后，向心力增大，衛星在該點受到的萬有引力不滿足要求，因而做離心運動.另一觀點認為衛星在該點仍能滿足向心力，只是該向心力不是軌道1的半徑，而是橢圓頂點的曲率圓半徑，該半徑要比軌道1的半徑大.現就這一問題做一探討，以及進一步討論橢圓的其它位置的向心力問題.

1橢圓長短軸頂點處的曲率半徑

設橢圓的半長軸為a，半短軸為b.由數學知識可求，橢圓在長軸交點處的曲率半徑為R1=b2a，該半徑是橢圓中最小的半徑；與半短軸交點的曲率半徑R2最大，R2=a2b.

由于數學求解較為復雜，現從物理的途徑加以證明.

如圖2，設一質點在一與水平面成α的斜面上，沿半徑為R的圓做勻速圓周運動，速度大小為v，圓在水平面上的投影即為一橢圓，橢圓長軸平行于斜面底邊，半長軸大小a=R，短軸與斜面底邊垂直，大小b=Rcosα.質點投影在橢圓上的動點做變速率運動.在與長軸交點處的速率為va=vcosα，方向垂直于底邊，即認為被壓縮；在與短軸交點處的速度平行底邊，速率仍為vb=v0.同理，在與長軸交點處的向心加速度與底邊平行，不被壓縮，跟沿斜面圓運動的向心加速度相同，

由此看出a、b、c和e都是僅與L和R有關的量，一旦L給定，各量均唯一確定.用圖來說明，即圖5中不可能是離心率更大的虛線軌道1和離心率更小的軌道2.

這一點與從物理角度論證是吻合的，在接下來的論述中可以看到.

3衛星所受地球引力與各點所需向心力關系

回到文首，討論衛星開始沿橢圓軌道所受引力與所需向心力問題.按第一種觀點是顯而易見的，衛星不再沿原軌道1運動，是因為加速后所需向心力增大，引力不滿足要求，所以做離心運動.而第二種觀點認為，在近地點，引力恰滿足衛星所需的向心力，只是該處的曲率半徑由橢圓的數學性質決定的，即上面給出的r長=b2a.將a、b分別代入得r長=2LRL+R.

衛星在長軸頂點需要的向心力

F向1=mv21r長=m·L+R2LR·2GM·L（L+R）R

=GMmR2，

這恰好等于衛星在近地點受的地球引力.因而，第二種觀點也是正確的.其實由數學給出橢圓各點的曲率半徑，與物理動力學理論的高度統一并非偶然，而是一種必然的結果.這一點還可以從其它各點的動力學分析得驗證.

3.1遠地點衛星受到的引力恰滿足需要的向心力

（由上面推導知b2a=2RL（L+R）），這一結果恰是衛星所受引力沿短軸方向的分力，另一分力改變速度的大小.

由此不難理解，無論橢圓上的哪一點（甚至任何曲線），都有對應的相同曲率的圓，該圓的半徑就是曲

線上該點的曲率半徑.從物理的角度看，一個動質點沿曲線運動，在任何一點必須滿足實際運動所需要的向心力，這就是物理動力學理論與數學知識一致的必然性.

綜合以上分析，衛星在轉移軌道的近地點的動力學問題所給的兩種觀點，從實際效果看，無論是不滿足原來的軌跡圓做離心運動，還是沿一個半徑更大的圓運動，后一種并不能得到引力的維持，僅在近地點滿足，其結果都說明軌跡是半徑不斷增大的曲線，而這個曲線正是橢圓.