傳送帶問(wèn)題類型分析

武銀根

傳送帶問(wèn)題的本質(zhì)是摩擦力的問(wèn)題，物體與傳送帶之間的摩擦從性質(zhì)上看有兩種情況，一是滑動(dòng)摩擦力，二是靜摩擦力，從效果上看，一是動(dòng)力，二是阻力，因此，對(duì)與傳送帶接觸的物體，摩擦力的作用決定物體的運(yùn)動(dòng)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是摩擦力的分析.傳送帶問(wèn)題主要有以下兩種類型.

類型一傳送帶和物塊在一條直線上運(yùn)動(dòng)

例題1如圖1示，質(zhì)量m=1 kg的物體從傳送帶A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，物體和皮帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，傳送帶與水平面夾角為α=37°，傳送帶AB之間的距離為L(zhǎng)=12.8 m，傳送帶一直以v=4 m/s的速度逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)，求物體從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間.

上題中物塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中摩擦力發(fā)生了變化，速度相等是轉(zhuǎn)折點(diǎn).

例2如圖2所示，一水平方向足夠長(zhǎng)的傳送帶以恒定的速度v1沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，傳送帶右端有一與傳送帶等高的光滑水平面，一物體以恒定的速度v2沿直同一直線向左滑上傳送帶后，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后又返回光滑水平面上，其速度為v2'，下列說(shuō)法中正確的是

A.若v1

B.若v1>v2，則v2'=v2

C.不管v2多大，總有v2'=v2

D.若v1=v2，才有v2'=v1

解析物體向左滑上傳送帶，由示意圖可知傳送帶上表面向右轉(zhuǎn)動(dòng)，因而在滑動(dòng)摩擦力的作用下，物塊先勻減速向左運(yùn)動(dòng)，速度減為零以后又在滑動(dòng)摩擦力作用下勻加速向右運(yùn)動(dòng).由于向左減速運(yùn)動(dòng)及向右加速運(yùn)動(dòng)時(shí)物塊均在滑動(dòng)摩擦力作用下產(chǎn)生加速度，因而在這兩個(gè)階段內(nèi)物塊加速度a的大小，方向均不變.

當(dāng)v1>v2時(shí)，物體向左的最大位移s=v222a，物體速度減速為零后返回原點(diǎn)時(shí)v2'=v2；

若v1

該物塊減速至最左端速度為零后又向右加速，加速至速度v1時(shí)位移s′=v212a

綜上所述，該題選項(xiàng)A、B正確.

例3一水平的淺色長(zhǎng)傳送帶上放置一煤塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），煤塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.初始時(shí)，傳送帶與煤塊都是靜止的.現(xiàn)讓傳送帶以恒定的加速度a0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其速度達(dá)到v0后，便以此速度做勻速運(yùn)動(dòng).經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后，煤塊相對(duì)于傳送帶不再滑動(dòng).求此黑色痕跡的長(zhǎng)度.

解析根據(jù)“傳送帶上有黑色痕跡”可知，煤塊與傳送帶之間發(fā)生了相對(duì)滑動(dòng)，煤塊的加速度a小于傳送帶的加速度a0.根據(jù)牛頓定律，可得a=μg.

設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t，傳送帶由靜止開(kāi)始加速到速度等于v0，煤塊則由靜止加速到v，有

由以上各式解得l=v20（a0-μg）2μa0g.

類型二物塊運(yùn)動(dòng)方向與傳送帶運(yùn)動(dòng)方向垂直

例4如圖3所示，水平傳送帶的皮帶以恒定的速度v運(yùn)動(dòng)，一個(gè)質(zhì)量為m小物塊以一定的水平初速度v垂直皮帶邊緣滑上皮帶，假設(shè)皮帶足夠大，物塊與皮帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.分析說(shuō)明物塊相對(duì)于皮帶上做什么運(yùn)動(dòng)？

（1）分析說(shuō)明物塊在皮帶上做什么運(yùn)動(dòng)？

（2）物塊在皮帶上運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，摩擦力對(duì)物塊做的功及生的熱.

（3）物塊在皮帶上運(yùn)動(dòng)的速度最小值.

解析以傳送帶的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閤軸、以物塊運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）以傳送帶為參考系：開(kāi)始時(shí)物塊相對(duì)于傳送帶的速度大小為2v，方向與x軸成135°.滑動(dòng)摩擦力方向總與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反，即與x軸成45°.如圖4所示.由于物塊受到的外力為恒力，它相地于傳送帶做的是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，至速度減為零，就不再受摩擦力作用，將與傳送帶保持相對(duì)靜止.以地面為參考系：物塊先做初速度為v（方向沿+y方向）、加速度為μg的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)（類似于斜拋運(yùn)動(dòng)），加速度方向始終與皮帶邊緣成45°夾角；然后物塊隨皮帶一起沿+x方向做速度為v的勻速直線運(yùn)動(dòng).

（2）以地面為參考系，對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理，得摩擦力對(duì)物塊做的功W=0.

求產(chǎn)生熱量方法一：利用能量守恒求解.以傳送帶為參考系（慣性系），整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程物塊動(dòng)能的減小即等于生的熱.

方法二：物理方法.

考慮到物塊相對(duì)于地面做類斜拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物塊速度方向與摩擦力方向垂直時(shí)速度最小，即

vmin=vcos45°=22v.

例5（2014年江蘇高考）如圖5所示，生產(chǎn)車間有兩個(gè)相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙，甲的速度為v0.小工件離開(kāi)甲前與甲的速度相同，并平穩(wěn)地傳到乙上，工件與乙之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ. 乙的寬度足夠大，重力加速度為g.

（1）若乙的速度為v0，求工件在乙上側(cè)向（垂直于乙的運(yùn)動(dòng)方向）滑過(guò)的距離s；

（2）若乙的速度為2v0，求工件在乙上剛停止側(cè)向滑動(dòng)時(shí)的速度大小v；

（3）保持乙的速度2v0不變，當(dāng)工件在乙上剛停止滑動(dòng)時(shí)， 下一只工件恰好傳到乙上，如此反復(fù).若每個(gè)工件的質(zhì)量均為m，除工件與傳送帶之間摩擦外，其他能量損耗均不計(jì)，求驅(qū)動(dòng)乙的電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率P.

解析本題是江蘇省2014年高考物理壓軸題，參考答案是以地面為參考系解的，解法比較復(fù)雜.如果我們以傳送帶乙作為參考系，解法就立即變?yōu)楹?jiǎn)單的了，因?yàn)楣ぜ倪\(yùn)動(dòng)是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的勻減速直線運(yùn)動(dòng).解法如下：

（1）工件相對(duì)傳送帶是一個(gè)初速度為2v0，加速度為μg的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，方向?yàn)榕c傳送帶夾角45°，因此相對(duì)靜止時(shí)的位移為s1=v20μg，工件在乙上側(cè)向（垂直于乙的運(yùn)動(dòng)方向）滑過(guò)的距離

總之，傳送帶的問(wèn)題的重點(diǎn)是摩擦力的問(wèn)題，通過(guò)分析摩擦力分析物體的運(yùn)動(dòng)，另外摩擦力的方向總是跟相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反，因此，無(wú)論哪種情況，物塊相對(duì)于傳送帶的運(yùn)動(dòng)一定是直線運(yùn)動(dòng)，考慮到相對(duì)傳送帶的物塊受到的摩擦力大小和方向不變，所以物塊相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)要么是直線運(yùn)動(dòng)，要么是類拋體運(yùn)動(dòng)（平拋運(yùn)動(dòng)或斜拋運(yùn)動(dòng)），所以參考系的選擇是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.