三維延拓Kantorovich法的迭代不收斂現象

林永靜（溫州職業技術學院 建筑工程系，浙江 溫州 325035）

三維延拓Kantorovich法的迭代不收斂現象

林永靜（溫州職業技術學院 建筑工程系，浙江 溫州 325035）

將二維延拓Kantorovich法推廣到三維延拓Kantorovich法時，通過大量數值算例發現了一個新現象，即如果采用簡單形式的三維延拓Kantorovich法，那么會遇到迭代不收斂的數值困難。對此數值現象進行定性分析，可得出結論：三維延拓Kantorovich法并不是二維延拓Kantorovich法的簡單推廣，二者有著本質的不同。

三維延拓Kantorovich法；簡單形式；迭代不收斂

0 引 言

在已有研究［1-4］的數值算例中，二維延拓Kantorovich法表現出顯著的計算優越性，既有很高的計算精度，又有很高的計算效率。一元函數乘積和的函數逼近形式帶來很高的逼近精度，往往2～3項就有足夠的精度。對兩個維度“分而治之”的迭代策略大大減少了計算量，帶來很高的計算效率。

考慮到延拓Kantorovich法具有高精度、高效率的特點，尤其是“分而治之”的迭代策略在三維問題中可能有高效率的表現，因而將二維延拓Kantorovich法推廣到三維延拓Kantorovich法。原本預計該項新研究屬于推廣性研究，后來發現這低估了研究的意義和難度。通過大量數值算例發現了一個新現象，即如果采用簡單形式的三維延拓Kantorovich法，會遇到迭代不收斂的數值困難。

1 模型方程

以三維立方體域上的Poisson方程為例，三維Poisson方程對應的能量泛函為：

其中Ω為規則區域［-a， a］×［-b， b］×［-c， c］。

仿照二維延拓Kantorovich法，取試探函數構造形式為：

這種簡單的函數構造形式在三個維度上是對稱的。

2 算法實施

2.1 積分微分方程組

將（2）式代入（1）式，通過取變分，可得到一套耦合的積分微分方程組為：

邊界條件為：

其中的各項系數為：

2.2 迭代步驟

因為在（2）式的函數逼近式中，三個維度輪換對稱，所以算法的迭代過程將按三個維度輪換迭代求解。一個循環過程由（a）→（b）→（c）共三步組成（不失一般性地，假定在第一步（a）中已知｛X｝、｛Y｝而去求｛Z｝）：

（a）固定｛X｝、｛Y｝，則積分微分方程組簡化為常微分方程組（3c）、（4c），求解常微分方程組（3c）、（4c）得｛Z｝；

（b）固定｛Y｝、｛Z｝，則積分微分方程組簡化為常微分方程組（3a）、（4a），求解常微分方程組（3a）、（4a）得｛X｝；

（c）固定｛X｝、｛Z｝，則積分微分方程組簡化為常微分方程組（3b）、（4b），求解常微分方程組（3b）、（4b）得｛Y｝。

至此已完成了一個循環過程，檢驗數值解的誤差是否已小于誤差限，若是則結束迭代，否則返回（a）進入新一輪的循環。

3 數值算例

數值算例中的常微分方程組采用常微分方程求解器COLSYS［5-6］來求解。

算例 三維Poisson方程。

設定邊界條件為：u=0， on x=±a， y=±b， z=±c，給定數據為：a=b=c=1，f=2，如圖1所示。取初始試探函數為：

計算結果由圖2～圖3給出。需要說明的是，輪數與次數不同，輪數是指大的循環過程的個數，而次數是指小的迭代步驟的個數。對于簡單形式，每一輪循環里包含三次迭代。

3.1 取兩項試探函數

（1）前20輪循環的中心點位移。由圖2可知，在前10輪循環內，迭代比較快地趨向于一個數值。但需要注意的是，迭代過程并不收斂，由局部放大圖可看出，后1 0輪循環的變化比較均勻，并不趨于收斂。

圖1 三維Poisson方程

（2）前1 000輪循環的后10輪循環的中心點位移。由圖3可知，在后10輪循環內，迭代變化均勻。均勻的迭代變化趨勢顯示，這個迭代過程并不收斂。

3.2 取三項試探函數

限于篇幅，這里不再列出具體數據。取三項試探函數與取兩項試探函數相比，其迭代變化情況相似，后

10 輪循環的迭代變化也均勻，迭代過程也并不收斂。

以上數值試驗表明，簡單形式的三維延拓Kantorovich法，當取多項時將遇到迭代不收斂的數值困難。盡管開始階段能較快地（在10輪循環內）趨于某個固定值，但迭代過程仍不收斂，后面的迭代過程都在均勻地變化，沒有收斂的趨勢。

圖2 前20輪循環的中心點位移及其后10輪的局部放大

4 定性分析

4.1 與二維延拓Kantorovich法的比較

與二維延拓Kantorovich法相比，三維延拓Kantorovich法的迭代收斂更困難，其簡單形式甚至迭代不收斂。

（2）迭代效率。二維延拓Kantorovich法的迭代收斂非常迅速，一般只需2～3次迭代。簡單形式的三維延拓Kantorovich法遇到了迭代不收斂的數值困難。

4.2 迭代不收斂的原因

在三維延拓Kantorovich法中，迭代不收斂的原因，可從最小計算代價的角度給出一個定性討論。

對于簡單形式的三維延拓Kantorovich法，多項試探函數的逼近精度較高，相應地需要較高的計算代價，而每個維度的計算量卻都很小，從而導致這種高逼近精度無法通過單個維度的計算量的累加達到。可見，迭代不收斂似乎與計算代價過少有關。

從這個角度看，三維延拓Kantorovich法要想實現迭代收斂，則不能過度地節省計算量，需要考慮增加更多的計算量。文獻［7-8］證實了這個觀點：采用張量積的函數構造形式，其中一個方向上有n2個函數變量，比起簡單形式在每個方向上只有n個函數變量，函數變量的個數大大增加，相應的計算量大大增加，結果實現了迭代收斂。張量積形式的中心點位移大約經過3輪循環趨于收斂，其迭代計算結果見表1。

表1 張量積形式的中心點位移的迭代計算結果

5 結束語

根據以上數值算例和定性分析，可得出關于三維延拓Kantorovich法的以下結論：

（1）采用簡單形式的三維延拓Kantorovich法會遇到數值困難。當取多項試探函數時，函數值迭代不收斂，泛函值的單調下降也極其緩慢；當循環輪數非常高時，這種均勻變化的不收斂趨勢更加明顯。

（2）數值困難顯示，三維延拓Kantorovich法與二維延拓Kantorovich法有著本質的不同。

［1］KANTOROVICH L V，KRYLOV V L.Approximate Methods of Higher Analysis［M］.New York:Interscience，1958.

［2］KERR D.An Extension of the Kantorovich Method［J］.Quarterly of Applied Mathematics，1968（26）:219-229.

［3］KERR A D，ALEXANDER H.An Application of the Extended Kantorovich Method to the Stress Analysis of a Clamped Rectangular Plate［J］.Acta Mechanica，1968（2/3）:180-196.

［4］WEBBER J P H.On the Extension of the Kantorovich Method［J］.The Aeronautical Journal，1970，74:146-149.

［5］ASCHER U，CHRISTIANSEN J，RUSSELL R D.Collocation Software for Boundary-Value ODEs［J］.ACM Transactions on Mathematical Software，1981（2）:209-222.

［6］袁駟.介紹一個常微分方程邊值問題求解通用程序—COLSYS［J］.計算結構力學及其應用，1990（2）:104-105.

［7］林永靜，袁駟.張量積形式的三維延拓Kantorovich法［J］.工程力學，2012（5）:8-12.

［8］林永靜.張量積形式的三維延拓Kantorovich法求解彈性動力學問題［J］.現代工業經濟和信息化，2016（6）:110-112.

［責任編輯：武云鵬］

Iteration Non-Convergence Phenomenon of Three-Dimensional Extended Kantorovich Method

LIN Yongjing （Architecture Engineering Department， Wenzhou Vocational & Technical College， Wenzhou， 325035， China）

When two-dimensional extended Kantorovich method is introduced to three-dimensional extended Kantorovich method， a large number of numerical examples reveals a new phenomenon： if the simple three-dimensional extended Kantorovich method is used， the numerical difficulty of iteration non-convergence will occur.Qualitative analysis on this numerical phenomenon indicates that three-dimensional extended Kantorovich method is not a simple introduction of two-dimensional extended Kantorovich method， and they are different in nature.

Three-dimensional extended Kantorovich method； Simple form； Iteration non-convergence

10.13669/j.cnki.33-1276/z.2016.060

TU318；O343.2

A

1671-4326（2016）03-0047-04

2016-06-08

浙江省教育廳一般科研項目（Y201225911）；溫州市科技計劃項目（S20110002）

林永靜（1975—），男，浙江樂清人，溫州職業技術學院建筑工程系講師，博士.