快度在狹義相對論中的應用

劉 娜 李澤昊 劉楚源

（中國人民大學附屬中學，北京 100080）

快度在狹義相對論中的應用

劉 娜 李澤昊 劉楚源

（中國人民大學附屬中學，北京 100080）

雙曲函數不僅是一種數學表達形式，同時在粒子物理中也有非常廣泛的應用.快度是雙曲空間中一個虛構的角度，通過數學代換方法，可將狹義相對論中的速度變換公式表述成一個簡單的雙曲旋轉，這一旋轉角度就是快度.快度與速度變換中的β因子有關.本文詳細推導了這一代換過程，給出快度與β因子的具體關系以及快度在能量和動量的表現形式.快度有非常豐富的物理意義，它不僅能把狹義相對論在雙曲空間中表現為一種更加簡單直觀的形式，而且其本身蘊含粒子能量和動量的信息，在高能物理中也被科學家廣泛應用.

快度；雙曲函數；洛倫茲變換；粒子物理

1 狹義相對論和快度的發展

1905年，愛因斯坦在《論動體的電動力學》［1］一文中完整地提出了狹義相對論，這一理論改變了牛頓力學的時空觀念，開創了物理學新紀元. 1908年，閔可夫斯基把時間坐標作為新的一維“空間”，同三維空間一起構成閔可夫斯基時空，在這種時空形式下，狹義相對論中的洛倫茲變換方程式得以進一步簡化為雙曲旋轉［2］，即在雙曲空間中旋轉一個虛構的角度.1910年，快度一詞最早被科學家們使用［2］.

下面我們將詳細推導洛倫茲變換在雙曲空間中的形式，并解釋快度的意義.

2 洛倫茲變換在雙曲空間的形式

2.1 1+1維（1維空間和1維時間）的推導

發生在1+1維慣性系S中的事件可以用時空坐標表示為（x，i ct）.

（x，i ct）事件，在相對S以速度v運動的慣性系S′中觀測為（x′，i ct′）.我們將v和所確定的平面定義為v-i ct平面.

這一洛倫茲變換為

由此，將R定義為雙曲復空間中的一個旋轉矩陣.可見，洛倫茲變換在該空間中可以表達為將坐標系繞垂直于v-i ct平面的軸旋轉η角度，其中的η按式（4）定義，即快度.

2.2 2+1維（2維空間和1維時間）的推導

發生在2+1維慣性系S中的事件可以用時空坐標表示為（x，y，i ct）.該事件在相對S以速度v運動的慣性系S′中觀測為（x′，y′，i ct′）.

首先，旋轉S系得到S″（x″，y″，i ct″）系，使x″與速度v的方向一致，同時y″與速度v的方向垂直，這一旋轉過程如下:

2.3 3+1維（3維空間和1維時間）的推導

對于發生在3+1維S系中的事件（x，y，z，i ct），在相對S以速度v（vx，vy，vz）運動的慣性系S′中觀測為（x′，y′，z′，i ct′，），我們仍采用與2+1維相同的方法，先將S系進行兩次旋轉，第一次將x-y平面旋轉到與v（vx，vy，vz）共面，旋轉矩陣為M1，第二次將新的x軸旋轉到與v共線的位置，旋轉矩陣為M2.定義雙曲旋轉矩陣:M=M1M2變換后可以利用M-1得到S′系，于是在3+1維雙曲時空中的洛倫茲變換仍為M-1RM.

以上證明了洛倫茲變換確實等效為在雙曲空間中的角度旋轉.

3 快度的物理意義

快度η不僅是雙曲空間中一個虛構的角度，它在粒子物理中更廣泛地被用來表示能量和縱向動量［3］.

根據式（5）:

粒子的能量和縱向動量分別被定義為

故沿著z軸以速度β運動粒子的快度為

這便是粒子的快度定義［4］:

快度更普遍地用y表示，文中為了避免與坐標y混淆故用η表示.

4 結語

洛倫茲變換在雙曲空間中可以被直觀表述成坐標系的旋轉，本文詳細推導了這一過程.這一旋轉的角度稱為快度，它不僅與速度變換中的β因子有關，而且還蘊含了粒子能量和動量的信息，是粒子物理中常用的物理量.

感謝清華大學物理系阮東教授的討論和指導.

［1］范岱年，趙中立，許良英.愛因斯坦文集（第2卷）［M］.北京:商務印書館，1977.

［2］https://en.wikipedia.org/wiki/Rapidity.

［3］石亞非，莊鵬飛，劉連壽.高能核-核碰撞的快度分布和多源模型［J］.高能物理與核物理，1990（01）:56-63.

［4］高能重離子碰撞導論［M］.黃卓然，張衛寧，譯.哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社，2002.

APPLICATION OF RAPIDITY IN SPECIAL RELATIVITY

Liu Na Li Zehao Liu Chuyuan
（The high school affiliated to Ren Min University，Beijing 100080，China）

Hyperbolic function is not only a kind of mathematical expression but also widely used in Partical Physics.Rapidity is an imaginary angle in hyperbolic space，the Lorenz transformation in the special relativity can be seen as a brief hyperbolic rotation，and the rotation angle is rapidity，which is related toβin the Lorenz transformation.In this paper，we derived this substitution process，presented the relationship between rapidity andβ.The physical meaning of rapidity is very rich，it can not only express the special relativity into a simpler and more intuitive form in hyperbolic space，but also have wider and wider application in high energy physics due to the information of energy and momentum it contains.

rapidity；hyperbolic function；Lorenz transformation；partical physics

2016-01-12

劉娜，女，清華大學物理系博士，中學一級教師.liuna@rdfz.cn

劉娜，李澤昊，劉楚源.快度在狹義相對論中的應用［J］.物理與工程，2016，26（4）:55-57.