特定條件下相對動點的動量矩定理的簡潔形式及其應用

任述光吳明亮謝方平

（1湖南農(nóng)業(yè)大學工學院，湖南長沙 410128；2湖南省現(xiàn)代農(nóng)業(yè)裝備工程技術研究中心，湖南長沙 410128；3南方糧油作物協(xié)同創(chuàng)新中心，湖南長沙 410128）

特定條件下相對動點的動量矩定理的簡潔形式及其應用

任述光1吳明亮2謝方平3

（1湖南農(nóng)業(yè)大學工學院，湖南長沙 410128；2湖南省現(xiàn)代農(nóng)業(yè)裝備工程技術研究中心，湖南長沙 410128；3南方糧油作物協(xié)同創(chuàng)新中心，湖南長沙 410128）

理論力學教材中，剛體平面運動微分方程是利用質(zhì)心運動定理結(jié)合相對質(zhì)心的動量矩定理導出的，其對于解決剛體平面運動動力學問題提供了普遍的方法，但在有些情況下，采用其他形式的平面運動方程可以更為簡潔.為提高特定條件下應用平面運動微分方程解題的效率，給出了質(zhì)點系相對動點的動量矩定理的一般形式，結(jié)合質(zhì)心運動定理，得到平面運動微分方程的其他形式.討論了特殊情況下定理的簡化條件及簡化形式，舉例說明了簡化形式的動量矩定理結(jié)合質(zhì)心運動定理在解題中的應用，與一般形式的平面運動微分方程相比，可以使解題過程大為簡化.

理論力學；動量矩定理；剛體平面運動；教學研究

1 相對動點的動量矩定理的一般形式

目前國內(nèi)的經(jīng)典理論力學教材［1-5］及筆者主編的理論力學教材中［6］，一般只給出了對固定點或固定軸的動量矩定理，定理及）應用的前提是矩心O或矩軸z必須是慣性參考系中的固定點或固定軸.該定理有著廣泛應用，但在有些情形下，往往感到不便，特別在研究復雜的動力學問題時，如果能用對動點的動量矩定理，則解題過程可以大為簡化.關于對動點的動量矩定理的應用，一些學者作過專題研討［7-9］，這些研討對于提升教學效果是十分有益的.筆者通過對該定理的研討，系統(tǒng)分析了該定理可以簡化的條件和簡潔形式.限于篇幅，下面簡單地給出質(zhì)點系相對動點的動量矩定理，然后討論它能夠簡化的條件.

設有作任意運動的由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，任選其中一動點O′為基點，取隨同O′平動的動參考系O′x′y′z′.將質(zhì)點系的絕對運動分解為隨同基點O′的平動和相對于基點O′（即相對于平動的動參考系O′x′y′z′）的相對運動.設任一瞬時，O′的加速度（亦即平動動參考系O′x′y′z′）的加速度為ao′，在各個質(zhì)點上虛加牽連慣性力FIi= -miao′后，將慣性力系向質(zhì)心簡化，得作用于質(zhì)心的主矢F′IR，慣性力偶矩為零.虛加慣性力后，可將平動動參考系O′x′y′z′視作慣性參考系，并對O′點應用質(zhì)點系對固定點的動量矩定理

上式還可寫成

2 定理簡化的條件及形式

由上式可以明顯看出，在下述3種情況下，等式右端第二項等于零.

1）取質(zhì)心C為基點.這時r′C為零矢量，因此不論質(zhì)心的加速度如何，右端第二項恒為零，因此有

這就是相對質(zhì)心的動量矩定理，即質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導數(shù)，等于外力系對質(zhì)心的主矩.一般的理論力學教材中，剛體平面運動微分方程給出的就是相對質(zhì)心的動量矩定理與質(zhì)心運動定理的兩個投影方程的組合.

2）取加速度為零的點A為基點，這時F′IR= -m aA=0，因此

3）取加速度矢量通過質(zhì)心的Q點為基點，這時r′C與ao′共線，即有r′C×m ao′=0，因此

以上3種情況，質(zhì)點系相對于動點的動量矩定理表達式中，都消去了包含牽連慣性力的附加項，從而形式上與對定點的動量矩定理相同.顯而易見，在這些情況下應用相對動點的動量矩定理，可以方便計算.

其中第1種情況應用較多，比如剛體平面運動微分方程就是質(zhì)心運動定理與相對質(zhì)心的動量矩定理的結(jié)合，在此不再贅述.現(xiàn)在分析第2種和第3種情形的應用.

第二種情形下，取加速度為零的點也即加速度瞬心為矩心.一般情況下，平面運動剛體加速度瞬心的位置不易分析出，但在一些特殊情形下可以簡單確定加速度瞬心的位置［10］.

第三種情形下，取加速度恒通過質(zhì)心的點為矩心.可以證明，如果平面運動剛體速度瞬心到質(zhì)心的距離恒保持不變，則速度瞬心的加速度是通過質(zhì)心的［11］.

3 應用示例

例1 長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB，A端放在光滑的水平面上，B端系在BD繩索上，如圖1（a）所示，當繩索鉛垂而桿靜止時，桿與地面的夾角φ=45°，當繩索突然斷掉，求繩斷后的瞬時桿A端的約束力.

圖1 均質(zhì)桿受力圖

解 研究AB桿，BD繩剪斷后作平面運動，初瞬時AB桿的角速度ωAB=0.其受力分析如圖1（a）所示，由于水平方向沒有力的作用，根據(jù)質(zhì)心運動定理可知AB桿質(zhì)心C的加速度鉛垂，而A點加速度方向水平，分別作兩點加速度垂線相交于P點，如圖1（b），可以證明P點即為加速度瞬心，由相對加速度瞬心的動量矩定理

利用轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理

再由相對質(zhì)心的動量矩定理

解得

這里只用了兩個方程就得到了結(jié)果.如果應用平面運動微分方程按常規(guī)解法求解可列出兩個動力學的方程（因為水平方向無外力），還必須按運動學列補充方程，求解過程就要復雜些.

例2 圖2（a）示圓柱體A的質(zhì)量為m，在其中部繞以細繩，繩的一端B固定.圓柱體沿繩子解開而降落，其初速為零.求當圓柱體下落時其中心A的加速度aA和繩子的拉力FT.

圖2 圓柱體受力分析

解 圓輪作平面運動，受力如圖2（b）所示.由于運動過程中速度瞬心C與輪的質(zhì)心A距離保持不變，其加速度通過質(zhì)心A，故可對瞬心C用動量矩定理，有

又

再由質(zhì)心運動定理

例3 圖3（a）示勻質(zhì)細桿AB質(zhì)量為m，長為l，在圖示位置由靜止開始運動.若水平和鉛垂面的摩擦均略去不計，試求桿的初始角加速度及A、B兩處的約束力.

圖3 均質(zhì)桿受力分析

解 初瞬時桿的角速度為零，A、B兩點的加速度分別為水平和鉛直，因此P為AB桿加速度瞬心，.由相對加速度瞬心的動量矩定理，有

C點加速度垂直PC連線，由質(zhì)心運動定理

取加速度瞬心P為基點，由加速度合成定理

上式分別向水平和鉛錘方向投影可得

此題如果用一般形式的平面運動微分方程求解，需列3個方程，另外還需補充兩個運動學方程，這兩個運動學方程的補充較之這里的解法復雜.此題若是求運動過程中任意位置桿的角加速度，式（3-1）仍然成立，因為此時P雖然不是加速度瞬心，但它是速度瞬心，且它到質(zhì)心的距離保持不變，符合第三種情形，只需方程（3-1）就可求解.如果用微分方程一般形式，就復雜多了.但若求兩處約束力時，方程（3-2）、（3-3）仍然成立，而（*）式不成立，因為這時P不是加速度瞬心，因此方程（3-4）（3-5）不再成立，需另外分析得到.

例4 均質(zhì)細桿AB的質(zhì)量為m，桿長為l，下端A擱在光滑水平面上，上端B用繩索BD系在固定點D上，繩長h，如圖4（a）所示.當繩子鉛直時，桿的傾角θ=30°，桿端以速度vA向左作勻速運動.求此時桿的角加速度α，繩子的拉力FB和A端需加的水平力F的大小.

圖4 均質(zhì)細桿受力分析

解 可判斷圖示位置AB桿作瞬時平移，所以vB=vA.因為AB桿的角速度為零，且A點的加速度為零.

取A為基點，如圖4（a），有

又因為B點作圓周運動，所以

AB桿質(zhì)心C的加速度

垂直于AB桿，其大小為

應用相對加速度瞬心A的動量矩定理

由質(zhì)心運動定理

4 結(jié)語

本文給出了特殊情形下，對動點的動量矩定理的簡化形式.對于運動的質(zhì)點系，質(zhì)點系對質(zhì)心，對加速度瞬心及加速度恒通過質(zhì)心的點，動量矩定理有與相對固定點的動量矩定理相似的簡潔形式.對于一些復雜的動力學問題求解，可用相對加速度瞬心或相對加速度恒通過質(zhì)心的動點的動量矩定理代替相對質(zhì)心的動量矩定理，以起到簡化求解過程的目的.

一般現(xiàn)有的理論力學教材中沒有這個內(nèi)容，本文提到的這個方法對于學生快速解題有一定效果，以期作為教輔或教師教學參考之用.

［1］李俊峰，張雄.理論力學［M］.北京:清華大學出版社，2010.

［2］劉又文，彭獻.理論力學［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［3］哈爾濱工業(yè)大學理論力學教研組.理論力學Ⅰ［M］.北京:高等教育出版社，2009.

［4］梅鳳翔，尚玫.理論力學Ⅰ［M］.北京:高等教育出版社，2012.

［5］洪嘉振，楊長俊.理論力學［M］.北京:高等教育出版社，2012.

［6］任述光，王業(yè)成.理論力學［M］.北京:中國農(nóng)業(yè)出版社，2014.

［7］梅鳳翔，關于對動點的動量矩定理［J］.力學與實踐，2011，33（3），67-69.

［8］朱仁貴.對動點的動量矩定理在剛體平動中的應用［J］.力學與實踐，2013，35（3），81-82.

［9］邱支振.對速度瞬心的動量矩定理的教學與應用［J］.安徽工業(yè)大學學報，2001，18（3）:105-106，119.

［10］許政，王慶.平面運動剛體加速度瞬心的確定及應用［J］.大學物理，2004，23（4）:5-7，38.

［11］鄭權旌.工程動力學［M］.武漢:華中理工大學出版社，1987.

MOMENTUM THEOREM OF MOVING POINT IN CERTAIN CONDITIONS

Ren Shuguang1Wu Mingliang2Xie Fangping3
（1Institute of technology，Hunan Agricultural University，Changsha，Hunan 410128；2Hunan Provincial Engineering Technology Research Center for Modern Agricultural Equipment，Changsha，Hunan 410128；3Collaborative Innovation Center of Grain and Oil Crops in South China，Changsha，Hunan 410128）

In theoretical mechanics textbook，the differential equation of the plane motion of rigid body is derived from the theorem of the motion of mass center combined with the moment of momentum theorem for the relative mass center.It provides a common method for solving the dynamic problem of plane motion of rigid body.But in some cases，the use of other forms of planar motion equation can be more efficient.In order to improve the efficiency of solving problem with the application of planar motion differential equation，the general form of the moment of momentum theorem of moving point are conducted.Combing center of mass movement theorem，other forms of planar motion differential equation can be obtained.Under special circumstances，the simplified form of the theorem and relevant conditions are discussed. The simplified form of moment of momentum theorem combining center of mass movement theorem are illustrated in the application of solving problems.Comparing with the conventional planar motion differential equation，it can greatly simplify the problem solving process.

theoretical mechanics；the moment of momentum theorem；plane motion of rigid body；teachingand research

2016-02-16；

2016-03-23

湖南農(nóng)業(yè)大學力學課程教改研究項目（項目編號:9202922）.

任述光，男，副教授，主要從事力學教學科研工作，研究方向為工程力學及計算固體力學.shgren2005@aliyun.com

任述光，吳明亮，謝方平.特定條件下相對動點的動量矩定理的簡潔形式及其應用［J］.物理與工程，2016，26（4）:92-95.