弦橫振動方程推導中常用近似的教學改進

鄭 勇

（黔南民族師范學院物理與電子科學學院，貴州都勻 558000）

弦橫振動方程推導中常用近似的教學改進

鄭 勇

（黔南民族師范學院物理與電子科學學院，貴州都勻 558000）

數學物理方法課程中弦橫振動方程的常見推導方法都是在“橫振動假定”基礎上進行，為得到振動方程的形式，往往需要引入較為復雜的三角函數近似和弦中張力不變等近似處理.本文通過分析發現，若充分利用由“橫振動假定”得到的弦中張力縱向分量處處平衡的結論，不對這一結論做近似處理，反而能夠更簡單地完成推導.進一步分析比較了兩種推導方法的合理性，發現兩種推導方法，甚至“橫振動假定”，都只在小幅橫振動條件下成立.

弦；振動方程；近似

推導輕弦橫振動方程往往是數學物理方法課程教學中必不可少的一個教學內容，但是教學難度并不低.究其原因，主要在于推導過程中用到一些很難讓初學者信服的近似，比如，在各種版本的數學物理方法教材［1-5］中，在建立方程時都要假定弦內張力在振動過程中保持不變，還要用到諸如“sinα≈tanα”的近似，以便引入導數建立方程.雖然在小幅振動時這些近似都是合理的，但是初學者接受起來往往并不容易.尋求更適合課堂教學的推導方法是必要的.

為此，我們對該部分教學內容作了仔細分析，發現其實只需要對教科書中常見的推導過程稍加改進，就可以極大地改善推導過程的嚴密程度，而且還更為簡潔明了.值得注意的是，我們這里所說的“改進”主要是教學層面的；事實上，在后面部分我們將看到，本文給出的推導方法與教材中常用的推導方法都只有在微小振幅時才成立，二者并無本質區別.為方便說明，先將各種教科書中常用的推導方法列出，再在此基礎上作進一步闡述.

1 弦橫振動方程教材常見推導

一般來講，弦橫振動方程的推導過程都是采用微分的思想基于質點動力學進行的，最基本近似是認為“弦上各點只做橫向運動，無縱向運動”，這是導出橫振動方程的基礎.對于一根振動前沿x方向繃緊放置的輕弦，靜止狀態時其中張力記為T0；作微小橫振動時各處的橫位移為u（x，t）.

如圖1所示，取出位于區間（x，x+ d x）內的一小段弦元進行分析，其兩端張力分別為T1、T2，與x軸方向夾角分別為成α1、α2.根據其在x軸方向（縱向方向）和橫向方向受力情況，利用牛頓第二定律有:

圖1 振動弦元受力分析

縱向方向:

橫向方向:

其中ρ為弦靜止時的線密度.

接下來的步驟就是近似處理.

一般都會用到兩個近似［1-5］:一是將式（1）中cosα近似用1代替，相當于認為振動過程中弦中的張力處處相等，記為T；二是將式（2）中的sinα近似地用sinα≈tanα=ux（x，t）代替，最終得到

稍加整理就得到振動方程的形式

與和振動方程的一般形式utt-a2uxx=0（a為常數）比較，我們需要將振動過程中弦中張力T視為常數或保持不變.

縱觀上述整個推導，將sinα≈ux（x，t）最不易讓初學者接受；另外認為振動過程中弦中張力處處相等或保持不變也往往讓初學者費解，畢竟振動時弦上各處的拉伸程度是有差別的，根據“弦上各點只做橫向運動，無縱向運動”的“橫振動假定”或式（1），也只能得到張力縱向分量處處相等的結論.那么有沒有更好的辦法呢？稍加分析就可用如下思路進行改進.

2 嚴格基于橫振動假定的推導

事實上，如果不對式（1）作近似處理，直接從張力在縱向方向分量處處平衡，即T2cosα2= T1cosα1=T縱出發，易知:T2=T縱/cosα2，T1= T縱/cosα1，式（2）變為

即:

最終也得到弦振動方程形式為

唯一區別在于式（3）中的張力在這里是其縱向分量T縱.與振動方程的一般形式utt-a2uxx=0（a為常數）比較，需要將張力的縱向分量視為常數，這也與由“橫振動”假定或式（1）推知的T縱與x無關的結論相符.因此，與一般推導中將弦中張力T視為常數比較，顯然將張力的縱向分量視為常數更為“合理”；不過在后面討論部分將看到，將T或T視為常數都只有在微小橫振動時成立，兩種做法并無本質區別.

3 比較分析

比較兩種推導不難發現，兩種推導最大不同在于對式（1）的處理:將弦中張力T視為常數，還是將張力的縱向分量視為常數.教材中一般的推導相當于是從描述弦上“張力縱分量處處相等”的式（1）出發，利用“cosα=1”得出“弦振動時張力處處相等”的結論，而后面處理式（2）不得不將sinα≈tanα才能得到導數ux，以便進一步得到振動方程形式.而我們的推導相當于未對式（1）作近似處理，處理式（2）自動得到tanα或ux，反而更簡單.這樣，通過細小的改進，使得通常推導中需要認為弦中張力處處相等，以及需要將sinα近似為tanα的兩處讓初學者費解的近似都不再需要，自然更適合教學.

4 討論

顯然，得到式（4）的推導在“弦上各點只做橫向運動，無縱向運動”的基本假定下是嚴格的.因此，可以更好地去分析這一假定的合理性.

仍以位于區間（x，x+d x）內的一小段弦元為例，若其原長為d x0，靜止時張力其中Y和S分別為材料的楊氏模量和弦的橫截面積.振動過程中弦元長度變為

張力變為

若將該弦元與x軸夾角記為α，則易知

張力的縱向分量為

由于橫振動時ux與x有關，弦上各處的張力以及其縱向分量顯然都與x有關.我們看到，弦作橫振動時，張力縱向分量在弦上各處并不完全相等；此時弦上各點除了橫振動必定還會出現縱向運動.換句話講，純粹的橫振動是不存在的.但是在小幅橫振動時，ux是小量，1+u2x≈1，T縱≈T0，縱向運動可以不作考慮.同時看到，此時，T≈T0.即，小幅橫振動時，弦中各處張力以及張力的縱向分量的確都可視為常數.

因此，弦橫振動假定［或式（1）］本身就是一個近似，只有在小幅橫振動時才成立.就弦橫振動方程的推導而言，無論是一般教材中的推導還是本文給出的推導過程，都是在該假定基礎上進行的，顯然也只適用于小幅橫振動情形——此時，弦中各處張力、張力的縱向分量都可近似視為常數，兩種推導方法并無本質區別.對振幅較大情形，弦縱向方向運動不可忽略，橫振動假定不再合理，兩種推導方法都不再適用.關于作橫振動的弦其縱向運動情況文獻［5］中已有討論，我們不再多述.

［1］梁昆淼.數學物理方法［M］.4版.北京:高等教育出版社，2010:109-110.

［2］吳崇試.數學物理方法［M］.北京:北京大學出版社，1999: 254-256.

［3］姚端正，梁家寶.數學物理方法［M］.2版.武漢:武漢大學出版社，1997:124-126.

［4］胡嗣柱，倪光炯.數學物理方法［M］.2版.北京:高等教育出版社，2002:177-179.

［5］徐小樹，王海燕.對建立弦的橫振動方程時的一個近似條件的分析［J］.大學物理，1998（7）:23-25.

IMPROVEMENT OF THE COMMONLY USED APPROXIMATION IN DERIVING THE TRANSVERSE VIBRATION EQUATION OF A STRING

Zheng Yong
（College of Physics and Electronics，Qiannan Normal College for Nationalities，Duyun，Guizhou 558000）

In the math-physical method course，the transverse vibration equation of a string is commonly derived on the basis of the“transverse vibration assumption”.In order to get the form of the vibration equation，people generally needs an approximately treating of the involved trigonometric function and tension force.In this paper，a new deviation is given with the balance of the longitudinal component of tension force in a string and the fully used“transverse vibration assumption”.Through analysis，we find the derivation procedure can be more simpler if any other approximations are not used.Further analysis shows that these two kinds of deviations，along with the“transverse vibration assumption”are valid only when the vibration amplitude is small.

string；vibration equation；approximation

2016-01-04

基金課題:貴州省教育規劃青年課題（2014C031）.

鄭勇，男，講師，主要從事基礎物理教學及研究工作.zhengyongyb@163.com

鄭勇.弦橫振動方程推導中常用近似的教學改進［J］.物理與工程，2016，26（4）:89-91.