無限彈簧振子鏈的脈沖波

邱為鋼

（湖州師范學院理學院，浙江湖州 313000）

無限彈簧振子鏈的脈沖波

邱為鋼

（湖州師范學院理學院，浙江湖州 313000）

給出了一維和兩維無限長彈簧振子鏈的波動方程，這些方程可以看作數列的遞推關系式，從而用產生函數法求解.一維解是偶數和奇數階貝塞爾函數，對應于第一類和第二類脈沖波，分別取起始位移或速度離散奇異分布，兩維解也是兩種類型的脈沖波.文章還討論了它們的級數展開式，漸近展開式，波形圖及對稱性.

彈簧振子；產生函數法；脈沖波

假設這樣的物理模型:一個無限長彈簧振子鏈，每個物體（質點）質量相同，每個彈簧的彈性系數相等.給任意一點一個初始位移或者初始速度，其余點保持不動，隨著時間推移，每個質點偏離平衡位置位移量隨時間怎么變化，有無解析表達式？文獻［1］發現，給任意一點一個初始擾動（位移）同時其余點保持不動，各點離開平衡位置的偏移量可以用偶數階的貝塞爾函數表述，并把這種波形稱為脈沖波.一個簡單自然的推廣是，奇數階的貝塞爾函數描述什么樣的波形？是否對應初始速度分布的脈沖波？筆者利用數學方法發現，這個猜測正確，并把這兩種脈沖波推廣到了兩維無限彈簧振子鏈.

不管什么樣的波形，它們滿足的波動方程是一樣的，不同的是初始條件和邊界條件.先簡要推導一維無限長彈簧振子鏈的波動方程，設彈簧鏈上質點質量為m，彈簧為理想彈簧，質量為零，彈性系數為.第n個質點偏離平衡位置的位移量為un（t），左右兩邊彈簧的胡克力分別是-k（un-un-1）和-k（un-un+1），由牛頓定律，得到

為討論方便，令ω0=1.文獻［1］給出的解是un（t）= J2n（2t），注意到貝塞爾函數有這樣的產生函數式［2］

我們猜想un（t）=J2n+1（2t）也滿足波動方程式（1）.定義產生函數F±（t，z）為

它們滿足以下微分方程

對比式（5）兩邊zn的系數，就得到滿足波動方程式（1）的解為

其次，我們考慮兩維無限長彈簧振子鏈垂直鏈所在平面的運動模式，設第（m，n）個質點偏離平面的位移量為um，n（t），前后左右4個彈簧豎直方向胡克力分別是-k（um，n-um，n-1），-k（um，num，n+1），-k（um，n-um-1，n），-k（um，n-um+1，n），由牛頓定律，得到

繼續用產生函數法求解式（9），為討論方便，令ω0= 1，依照上文思路，設產生函數為

產生函數滿足以下微分方程

產生函數有以下展開式

其中，

將式（12）代入式（11），對比zmwn的展開系數，就得到波動方程式（9）.把式（10）代入式（12），展開t，得到

圖1 不同時刻兩維彈簧鏈中第一類脈沖波形圖

由圖1可以看出，隨著時間推移，原點以外的各點開始振動，整個波動圖形保持正方形對稱性.

圖2 不同時刻兩維彈簧鏈中第二類脈沖波形圖

由圖2可以看出，隨著時間推移，原點以外的各點開始振動，整個波動圖形保持正方形對稱性.

第一類脈沖波編號為（1，0）質點的振動圖像由圖3所示，其中實線由式（18）給出，虛線由式（22）給出.

圖3 第一類脈沖波編號為（1，0）質點的振動圖像

第二類脈沖波編號為（1，0）質點的振動圖像由圖4所示，其中實線由式（19）給出，虛線由式（23）給出.

PULSE WAVE OF INFINITE SPRING OSCILLATOR CHAIN

Qiu Weigang
（School of Science，Huzhou Teachers College，Huzhou，Zhejiang 313000）

The wave equations of infinite spring oscillator chain are derived in one and two dimensions.These equations can be viewed as the recursive relation sequence，and can be solved by the generating function method.The one dimensional solutions are even order and odd order Bessel functions，corresponding to the first and the second pulse wave，respectively.The initial conditions are the discrete delta distributions of displacements or velocities，respectively.The two dimensional solutions are also two type of pulse wave.The series expansions，asymptotic expansions，configurations and symmetries of these pulse waves are discussed.

spring oscillator；generating function method；pulse wave

2014-12-05；

2016-06-04

湖州師范學院中青年教師卓越教學能力培養計劃專題項目（2014ZYJH017）；國家自然科學基金（11475062，11275067）資助.

邱為鋼，男，副教授，主要從事數學物理和大學物理的教學研究.wgqiu@zihu.edu.cn

邱為鋼.無限彈簧振子鏈的脈沖波［J］.物理與工程，2016，26（4）:62-64，68.