用于可壓縮自由剪切流動的湍流混合長度

徐晶磊， 宋友富， 張揚， 白俊強

1.北京航空航天大學 能源與動力工程學院， 北京　100083 2.西北工業大學 航空學院， 西安　710072

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用于可壓縮自由剪切流動的湍流混合長度

徐晶磊1,*， 宋友富1， 張揚2， 白俊強2

1.北京航空航天大學 能源與動力工程學院， 北京100083 2.西北工業大學 航空學院， 西安710072

抓住可壓縮流動變密度特性，構造出基于有效渦量的三維von Karman混合長度。湍流模型采用僅依賴湍動能k的單方程KDO(Kinetic Dependent Only)模型，引入新構造的混合長度替換舊尺度得到CKDO模型。為了驗證其描述可壓縮自由剪切湍流的能力，選擇無壁面束縛、密度梯度大和可壓縮效應強的自由剪切混合層為算例，其對流馬赫數Mac=0.8。計算結果表明，KDO模型對混合層的速度分布有著良好的控制和模擬，而經可壓縮修正后的CKDO模型與原模型及其他可壓縮修正模型相比，所計算的速度分布、主雷諾剪切力和混合層厚度與試驗結果更加接近，說明了該混合長度對可壓縮混合層這種自由剪切湍流有著良好的刻畫能力。

湍流模型； 混合層； 超聲速流動； 可壓縮性； 數值模擬

早期湍流模式從理論推導到經驗參數的標定都是基于不可壓縮湍流，目前對不可壓縮湍流模式研究已經較為深入，發展也比較成熟。隨著社會發展和科學技術的日益成熟，現代飛行器對速度的要求進一步提升，超聲速流動甚至是高超聲速流動研究變得重要和迫切。當流動馬赫數逐漸增加，通常認為馬赫數Ma>0.3時，流動不能再作為不可壓縮流動處理，而應該作為更為復雜的可壓縮流動來分析。以可壓縮湍流混合層為代表的自由剪切湍流流動，在很多工程應用當中都有出現，被認為是研究可壓縮性對湍流結構影響的典型例子。可壓縮自由剪切流動的湍流混合層試驗較為普遍，早期Birch和Eggers[1]就對它進行過試驗研究，試驗結果表明可壓縮混合層區別于不可壓縮混合層的一個明顯特征就是混合層發展緩慢，混合層厚度增長受到抑制。同時，通過Gruber等[2]的試驗研究發現，混合層厚度的增長率和平均速度分布曲線可以描述該流動的主要特征，并且在一定區間平均速度分布呈現相似性。

為了進一步研究可壓縮自由剪切湍流混合層，本文通過采用傳統湍流模型對其進行數值計算來驗證各湍流模型對可壓縮混合層中流動特性的捕捉能力。Wilcox[3-4]提出的k-ω模型方程，其湍動能方程可以從雷諾平均Navier-Stokes(RANS)框架內精確推導出來，但是對于不封閉的ω是以類比于k方程推導過程來構造輸運方程進行封閉，缺乏科學的理論推導，在求解超聲速的可壓縮湍流問題上不能完整反映其典型的物理特性，即使加入Wilcox可壓縮修正的k-ω(W)模型方程[5-6]也不能有很好的普適性。Menter[7]提出的剪切應力輸運(SST)模型融合了k-ε和k-ω的所有優點，在求解精度和魯棒性上都有很好的表現，但是其在平衡湍流中依然保持著經典關系式，在模擬可壓縮湍流流動時引入Sarkar等[8]可壓縮修正，修正后用SST(S)表示該模型。

本文采用文獻[9-12]構造的單方程KDO (Kinetic Dependent Only)模型來研究可壓縮湍流混合層，KDO模型是一種代數封閉ε，只求解k方程的一方程湍流模型，它只含有兩個可調參數。為了進一步提高其模擬可壓縮自由剪切湍流流動的能力，在KDO模型方程的基礎上作適當可壓縮性修正，構造了一種新的湍流模型方程，把它稱之為CKDO模型，并且通過可壓縮自由剪切流動的湍流混合層來驗證該模型的計算精度。

1　KDO模型介紹

1.1Bradshaw假設的擴展

在邊界層區域，湍流主應力τ與湍動能k成正比(Rb=τ/k)，其比值接近于一個常數[13]，在很多剪切流動[14]中也常常將該比值設置為0.3左右。但是隨著計算機的發展和直接數值模擬(DNS)數據的完善，該比值已不再是一個恒量，在文曉慶[15]和劉景源[16]等的研究中就指出該比值要根據不同的算例情況應該做適當調整。通過白俊強等[10]的研究表明，在湍流充分發展區域該比值的最大值小于0.29。根據對平板邊界層DNS數據的研究，它在截面雷諾數Reθ=4 060上的極值為0.283，那么對于非常遠離壁面的自由剪切流動，設置Rb=0.283是合理的。則新的主剪切應力公式定義為

τ=ρ Rbk

(1)

結合兩方程模型中剪切應力的計算形式：

τ=μtS

(2)

以此推導出本文采用的渦黏性系數計算公式為

(3)

1.2KDO模型[9]形式

Pk-ρε

(4)

Pk=μtS2

(5)

ε=ε1+ε2

(6)

(7)

(8)

μt=ρ Rbk/S

(9)

(10)

式中：ε為湍動能耗散率；L為湍流混合長度；對于無壁面束縛的混合層Rb=0.283； 湍流耗散系數Cd=0.8。

1.3可壓縮KDO模型的形式

精確的可壓縮湍動能控制方程[18]為

(11)

對于KDO模型，方程右端各項依次分別模化為

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

渦黏性系數：

(18)

1.4KDO模型的可壓縮修正

(19)

2　評估算例

Gruber[19]和Goebel[20]等都曾展開過對可壓縮湍流混合層流動的試驗研究，本文在二維條件下模擬與試驗[19]相同的流動情況，主要抓住該流動在混合過程中的一些典型特性。

將試驗流動區域簡化為如圖1所示，上下兩股不同來流參數的流體流過一個小的分隔板后相遇混合，上層流體記為1為超聲速來流，其參數分別為馬赫數Ma1、靜壓p1、密度ρ1、溫度T1、氣流速度U1和聲速c1；下層流體記為2為亞聲速來流，其參數分別為Ma2、p2、ρ2、T2、U2和c2。為了與試驗[19]的值對比，本文采用和試驗相同的來流參數，具體參數如表1所示。計算生成網格規模為101×401，法向在混合中心線兩側都進行了網格加密處理，網格法向增長率為1.1。

圖1　混合層流動示意圖Fig.1　Schematic of mixing layer flow

ParameterUpflowDownflowptotal/kPa552．043．4Ttotal/K279289p/kPa40．340．3T/K132285u/(m·s-1)543．091．2c/(m·s-1)230338Ma2．360．27ρ/(kg·m-3)1．060．49μ/(106Pa·s)9．117．7

2.1新舊兩種混合長度在混合層內分布規律

圖2所示為新舊兩種混合長度在混合層內的分布規律，考慮到充分發展情況，截面選取x=120 mm處，混合長度尺度在混合區域與幾何流域尺度是一個量級，說明該區域充分發展，具有代表性。從圖中可以發現，KDO模型中的不可壓縮混合長度在相同的區域始終比新的混合長度的面積范圍要大很多，并且波動比較大。而新的混合長度在混合中心處稍大，這是由于此處剪切最嚴重，兩端逐漸趨于穩定，并且總體上比舊尺度小很多。混合長度越大，流動的湍流黏性也就越大，就會影響到流場中的速度分布，從而使湍流模型無法準確捕捉到流場中的流動情況。所以，從圖中可知新的長度尺度對應于更小的湍流黏性系數，與可壓縮效應引起的湍流度抑制相呼應。

圖2　充分發展區域的湍流長度尺度分布 (x=120 mm)Fig.2　Turbulence length scale distributions at fully developed region (x=120 mm)

2.2平均流向速度在混合層厚度上的相似性

對于高雷諾數可壓縮自由剪切混合層流動，流動沿主流x方向參數變化遠小于y方向，可以采用邊界層近似，同時混合層為自由剪切流動，遠離壁面，分子黏性項相對于黏性項很小，可以忽略[21]。這里選用Wilcox的k-ω模型以及Menter的SST模型，關于可壓縮修正分別引入Wilcox[5-6]和Sarkar等[8]的模化形式。

圖3(a)中給出了試驗結果[19]，該結果是整個混合層完全混合區(50～170 mm)的平均結果。圖中變量b為混合層厚度，定義為速度值U1-0.1(U1-U2)和U2+0.1(U1-U2)在y方向上的距離；y0為混合層中心線位置；U為來流平均速度。從圖中可以看到，k-ω模型和k-ω(W)模型的計算結果幾乎一致，它們在整個分布上與試驗結果符合較好，但是在混合層的兩端與試驗結果有一定的差別，特別是在混合層靠近低速端，整個曲線較試驗值有一個右移。SST模型的計算結果在混合層兩端基本能與試驗結果吻合，但是在混合層過渡段偏離試驗較多，始終在試驗曲線值下方。SST(S)模型的計算結果精度在SST模型基礎上不但沒有改進反而有所下降，遺留了SST模型在混合層過渡段的不準確性，而且在混合層低速端的計算結果質量下降嚴重。

圖3　標準化平均流向速度的相似性Fig.3　Similarity of normalized mean streamwise velocity

圖3(b)所示是KDO模型結果和經修正后CKDO模型結果與試驗結果的比較，KDO模型的計算結果在混合層低速端以及過渡段與試驗結果貼合都比較好，但是其在進入混合層高速端不能很好地過渡，究其原因認為是由于密度變化劇烈而引起的偏差。CKDO模型的計算結果不僅在混合層高低速兩端與試驗結果吻合得較好，而且在混合層的過段階段都基本上吻合，可見CKDO模型在可壓縮自由剪切湍流流動中對于速度分布有著更好的刻畫力。

圖3(c)中是不同模型經可壓縮性修正后的計算結果與試驗值的比較，總體上CKDO的計算結果與試驗結果吻合得最好，其次是k-ω(W)模型結果。SST(S)模型較前兩者與試驗結果誤差較大，主要是在混合層過渡階段偏離試驗嚴重。三者大致上能反映出可壓縮自由剪切湍流混合層流動過程中的相似性，某些程度上達到一定的效果，但是這只是一個能反映在流動中各模型平均流向速度對其各自混合層厚度的自我相似程度，并不足以說明其整個流動過程的真實情況，故除此之外，還分析了x=50 mm截面上流向速度的分布。

2.3流向速度在x=50 mm截面上的分布

圖4　標準化流向速度x=50 mm截面上的相似性Fig.4　Similarity of normalized streamwise velocity at x=50 mm

由圖4(a)可以明顯看到，采用SST模型和k-ω模型計算所得結果已經嚴重偏離試驗值，無論是在混合層兩端還是整個過渡階段都已經不能反映出試驗[19,22]真實值，這是由于SST模型和k-ω模型的尺度方程是為不可壓縮流動設計的，所以在可壓縮湍流流動中計算結果不會太好。SST(S)模型和k-ω(W)模型雖然在原模型基礎上有所改進，但也基本與試驗相差甚遠。KDO模型計算結果較上述4種結果都有所改進，在混合層過渡階段KDO模型的計算結果與試驗結果偏離的已經不算嚴重，大致上已經能模擬出流向速度的分布情況。

圖4(b)所示是CKDO模型與KDO模型及試驗值的對比，從圖中可以看到CKDO模型計算結果可以說與試驗值十分貼合了，特別是在整個混合層過渡階段始終與試驗吻合，這相比于其他模型結果是極大改進。主要不足是在混合層兩端，較試驗結果都偏小，這是由于客觀事實導致的，因為試驗裝置[19]在x=50 mm處上下兩壁面有一個擴張，導致氣流膨脹加速，由于無法得知其壁面擴張率以及為了簡化計算模擬條件，故本文采用上下都是直壁條件，從而導致在該截面處最大速度和最小速度比試驗結果都偏小。但是刨除試驗裝置因素分析可得，兩股氣流在等截面管道中混合，在某截面處其最大速度必將等于流速較快的那股氣流速度值，同理于最小速度。從圖中可以發現，CKDO模型計算結果中混合層低速端逐漸趨于0，高速端逐漸趨于1，這也是十分合理的，并且對于湍流混合層主要關注混合區域，從結果看說明CKDO模型能夠很好地模擬出流向速度在在x方向上的分布。

2.4平均雷諾應力在混合層厚度上的相似性

圖5　標準化流向雷諾應力的相似性Fig.5　Similarity of normalized streamwise Reynolds stress

圖5給出了標準化流向雷諾應力的相似性，u和v分別為流向和法向脈動速度。圖5(a)為流向平均(50～170 mm)雷諾正應力的分布，從圖中可以看到k-ω(W)模型計算結果與試驗差別較大，峰值在試驗值兩倍左右。KDO模型和SST(S)模型的結果與試驗較為貼近，基本能夠反映出流向雷諾正應力的分布情況。CKDO模型在混合區前期與試驗保持著一定的貼合，但是其在混合區中心的雷諾正應力最大值上與試驗有一定差別，比試驗峰值略小，這也反映出作為一個由各向同性湍流中發展而來的線性湍流模型對于這種雷諾正應力的精確捕捉還需要作進一步改進。

圖5(b)中是法向平均雷諾正應力的分布情況，多數湍流模型計算結果與試驗結果相距甚遠，尤其是k-ω(W)模型結果已經無法反映出試驗的真實值。KDO模型與SST(S)結果大致上一致，但是同樣與試驗結果偏離嚴重。CKDO模型對于法向雷諾正應力的模擬則表現出了出色的性能，其結果與試驗結果貼合的十分緊密，在整個混合區分布上始終能與試驗值保持在一個較高的準確度。

圖5(c)是標準化后平均主雷諾剪切力的分布情況，從圖中可以發現的共同點是越靠近混合層中心主雷諾剪切力越大，因為中心處剪切最嚴重。圖中可以看到k-ω(W)模型與試驗[19]結果偏離嚴重，它的剪切力峰值已遠遠大于試驗值，并且在整個混合層分布上與試驗結果都顯得“格格不入”。SST(S)模型計算的結果比k-ω(W)模型稍好，在混合層兩側與試驗都有較好的符合程度，但是在混合層內的計算結果尤其在主雷諾剪切力的峰值上與試驗結果相差較遠，k-ω(W)和SST(S)模型是在特定工況下進行的可壓縮修正，所以說對于本文的工況并不一定適用。KDO模型較上述模型的計算結果又有所改觀，在剪切力峰值上縮小了與試驗結果的差距，但是仍然有較大的誤差。試驗主雷諾剪切力峰值大概在0.006 33左右，CKDO模型的峰值大概在0.006 2，誤差為1.58%，并且主雷諾剪切力在整個混合層的分布上與試驗結果始終保持在一個量級上，大部分區域與試驗都貼合得較好。CKDO模型在可壓縮自由剪切湍流混合層中對主雷諾剪切力的計算精度已遠高于其他模型，而主雷諾剪切力在自由剪切流動中是一個重要參考因素。

2.5混合層速度云圖及其厚度

圖6所示為不同湍流模型模擬整個流動區域的馬赫數云圖，參考聲速為338 m/s。通過該圖可以直觀地看到整個流動過程混合層形成、發展的情況，包括混合層的厚度大小，厚度增長情況以及速度分布。從圖中可以發現經過可壓縮修正后的k-ω(W)、SST(S)以及CKDO模型較未修正之前都有一個很大的改進，使整個混合層顯得更加規范和相似。

圖6　混合層的速度云圖Fig.6　Velocity cloud of mixing layer

圖7所示為混合層厚度分布圖，其厚度增長率取整個完全混合區間平均值。由圖可知，k-ω(W)模型計算結果與試驗結果偏離嚴重，其混合層厚度已經遠遠大于試驗值，并且其厚度的增長率都與試驗結果相差很遠，由此可見k-ω(W)模型在可壓縮自由剪切湍流流動中可壓縮修正效果并沒有體現出來。SST(S)模型的計算結果比k-ω(W)模型的計算結果稍好，但是它的混合層厚度大小還是在試驗結果的幾倍以上，而且從整體看其混合層厚度增長率也比試驗要大很多。KDO模型的計算結果雖然離試驗結果差距仍很大，但是比SST(S)和k-ω(W)模型的計算結果都有了很大的進步。從圖中明顯看到，CKDO模型的計算結果與試驗結果最接近，特別是在x=50 mm處的混合層厚度大小，幾乎與試驗吻合，即使在x=170 mm處厚度也只是相差幾毫米，整個厚度增長率也與試驗接近。由此可見CKDO模型對于混合層厚度及厚度增長率的模擬能力較強，一定程度上反映出CKDO模型在可壓縮自由剪切湍流混合層中的優越性能。

圖7　混合層厚度Fig.7　Mixing layer thickness

3　結　論

KDO模型是一個僅僅依賴湍動能輸運方程的湍流求解模型，整個模型只含兩個可調經驗參數，來自于對平板邊界層某一切面的精細化標定，并且該數據完全來自于DNS，這就使KDO模型的立論基礎和經驗參數的標定具有高保真特性。基于KDO模型進行適當可壓縮修正構造了CKDO模型方程，通過對可壓縮自由剪切湍流混合層的數值模擬，結果表明：

1) 考察標準化后的平均速度在混合層厚度上的相似性以及在x=50 mm截面處流向速度的分布情況，KDO模型對于速度分布的模擬細節較為精確，經過可壓縮修正后的CKDO模型則表現得更為完美，模擬結果與試驗值貼合得都比較好。

2) 考察自由剪切湍流混合層中平均雷諾應力的相似性及其分布，總體而言，KDO模型比SST(S)和k-ω(W)模型的計算結果都更為接近試驗值，而CKDO模型的計算結果與試驗值最貼近，特別是在主雷諾剪切力與法向雷諾正應力分布上與試驗值吻合較好。

3) 在混合層厚度的模擬計算中，SST(S)和k-ω(W)模型的計算結果與試驗值偏離嚴重，KDO模型比前兩者計算結果稍好，CKDO模型結果與試驗值符合得最好，很好地反映了混合層的厚度及其增長情況。

算例驗證表明，KDO模型在可壓縮自由剪切湍流流動中較k-ω模型和SST模型能夠更好地模擬出湍流混合層中的流動特性，而經過可壓縮修正后的CKDO模型則有更好的數值模擬性能，能夠較準確地反映出可壓縮自由剪切湍流混合層中典型的流動特性，且能便利植入其他模型來獲得改進的計算精度，對于模擬其他復雜情況的可壓縮湍流流動提供了一個全新的思路，有較好的工程應用價值。

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徐晶磊男， 博士， 講師。主要研究方向： 湍流模式， 空氣動力學。

Tel: 010-82317403

E-mail: xujl@buaa.edu.cn

宋友富男， 碩士研究生。主要研究方向： 計算流體力學， 湍流模型。

E-mail: songyoufu@buaa. edu. cn

張揚男， 博士研究生。主要研究方向： 設計空氣動力學， 非定常空氣動力學， 工程湍流模擬。

E-mail: vvip@nwpu.edu.cn

白俊強男， 博士， 教授， 博士生導師。主要研究方向： 工程湍流模擬， 流動控制。

Tel: 029-88492694

E-mail: junqiang@nwpu.edu.cn

Turbulence mixing length for compressible free shear flows

XU Jinglei1, *, SONG Youfu1, ZHANG Yang2, BAI Junqiang2

1. School of Energy and Power Engineering, Beihang University, Beijing100083, China 2. School of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an710072, China

Seizing compressible flow variable density characteristics，a three-dimensional von Karman mixing length scale based on the effective vorticity has been constructed. This paper adopts a single-equation turbulence KDO (Kinetic Dependent Cnly) model which depends only on the turbulent kinetic energy equation, and introduces a new structure which replaces the old mixing length scale to obtain CKDO model. Then in order to verify its ability to describe compressible free shear turbulence, we select the compressible mixing layer of no wall bondage, large density gradient and strong compressibility effects as an example, whose convective Mach number is 0.8. The results show that KDO model has good control and simulation ability of mixing flow velocity distribution; compared with the original model and other compressible correction models, the velocity distribution, primary Reynolds shear stress and mixing layer thickness obtained with compressible correction model CKDO have a better fit with the experimental value. The results illustrate that the new mixing length has a good ability of characterization for compressible free shear turbulent mixing layer.

turbulence model; mixing layer; supersonic flow; compressibility; numerical simulation

2015-08-28； Revised： 2015-10-09； Accepted： 2015-11-04； Published online： 2015-12-0410:08

National Key Laboratory of Aircraft Engine Foundation of China (9140C410505150C41002)

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2015-08-28； 退修日期： 2015-10-09； 錄用日期： 2015-11-04；

時間：2015-12-0410:08

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20151204.1008.002.html

航空發動機氣動熱力國家科技重點實驗室基金 (9140C410505150C41002)

.Tel.： 010-82317403E-mail: xujl@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2015.0300

V211.3

A

1000-6893(2016)06-1841-10

引用格式： 徐晶磊， 宋友富， 張揚， 等． 用于可壓縮自由剪切流動的湍流混合長度[J]． 航空學報, 2016, 37(6): 1841-1850. XU J L, SONG Y F, ZHANG Y, et al. Turbulence mixing length for compressible free shear flows[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(6): 1841-1850.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20151204.1008.002.html