海洋重力場反演頻域形式的探討

翟振和， 李　冬

1.西安測繪研究所，陜西 西安，710054；2.地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安，710054;3.中國洛陽電子裝備試驗中心，河南 洛陽，471003

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海洋重力場反演頻域形式的探討

翟振和1,2， 李冬3

1.西安測繪研究所，陜西 西安，710054；2.地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安，710054;3.中國洛陽電子裝備試驗中心，河南 洛陽，471003

本文針對海洋重力場反演的頻域方法的嚴密性問題，從理論和實踐兩個角度進行了分析和計算。理論分析表明，Sandwell提出的海洋重力場反演的頻域方法本質上是求解海洋擾動重力而非重力異常，該方法在理論推導過程中有多項不嚴密之處，其主要原因是在推導過程中，將擾動重力的徑向導數進行簡化，結果忽視了擾動重力的三維空間特征。通過在南海區(qū)域與DTU10重力數據比較，表明純粹基于頻域方法的海洋擾動重力精度較之于解析方法約低6mGal，進一步說明了頻域方法本身存在的問題?？紤]到反演的嚴密性，建議以解析理論公式結合快速計算策略作為反演海洋擾動重力的首選方法。

海洋重力場反演；頻域；擾動重力

1　引　言

海洋重力場反演(包括重力異常和擾動重力)是衛(wèi)星測高技術領域的重要研究內容，對于地球重力場的精化和重力場模型的構建具有重要意義。Molodensky(1960)給出了反演重力異常的逆VeningMeinesz公式[1]；Smith、Rapp提出了利用最小二乘配置法推估海洋重力異常的理論和方法[2]；黃金維(1998)提出了利用垂線偏差反演重力異常的新的核函數和解算方法，該核函數與Molodensky提出的核函數本質上是等價的[3]?；谏鲜隼碚摮晒?，國內外學者利用多代衛(wèi)星測高數據獲得了全球及局部區(qū)域的重力異常數據[4-9]。翟振和等(2015)推導獲得了海面高及垂線偏差反演擾動重力的解析公式，且理論分析表明，擾動重力不僅在重力場逼近方面有一定優(yōu)勢，同時在海底地形反演中也比重力異常更加嚴密[10-11]。與上述基于經典物理大地測量理論獲得的成果不同，Haxby等(1983)、Sandwell(1997)從頻域中的拉普拉斯方程變換導出了利用垂線偏差反演重力異常的頻域計算公式[12]，文獻[13]引用該公式并將其變換為沿軌跡垂線偏差計算沿軌跡重力異常公式。上述頻域公式在形式上與其它反演理論模型存在較大差異，為了探尋這種差異究竟是表面現象還是客觀存在，本文將從理論分析和實際計算兩個方面進行深入分析與比較。

2　海洋擾動重力反演的頻域形式

為了完整描述，本文首先按照Sandwell(1997)的文獻對海洋擾動重力反演的頻域形式進行重新梳理。考慮到擾動位T是調和函數，因此，T滿足Laplace方程，見下式：

(1)

在空間直角坐標系下，擾動重力δg及垂線偏差的東西分量η、南北分量ζ可表示如下。

(2)

(3)

(4)

γ表示一點的正常重力，將以上三式代入式(1)得到：

(5)

考慮到傅里葉變換在求導數時的性質，對式(5)進行二維傅里葉變換后可得到：

(6)

u、v分別表示x、y方向上的空間頻率，F2表示二維傅里葉變換。

接著，Sandwell并未直接引用，給出如下公式：

F2(δg(z))=F2(δg(z=0))exp(-2π|k|z)

(7)

將式(7)對z求導(并令z=0)得到

(8)

(9)

上式即利用垂線偏差反演擾動重力的頻域形式，通過逆傅里葉變換后可得到擾動重力的空域形式。

3　理論分析

本節(jié)首先從理論上對上述推導過程進行探討分析。從公式上看，式(1)是嚴密的，式(2)～(5)是將擾動位徑向導數用空間直角坐標系中的z方向代替，在局部區(qū)域這種近似是可以接受的。對式(5)進行二維傅里葉變換沒有問題，但要注意，擾動重力、垂線偏差是一個三維變量，而式(6)只是在(x,y)方向上的二維變換。

式(7)在文獻[2]中被描述為由傅里葉變換平移定理得到，但傅里葉平移定理的具體形式如下：

Ft(t+t0)=Ft(t)exp(iλt)

(10)

因此，式(7)顯然不是從平移定理得到，而很可能是基于重力數據在空間呈指數衰減的簡化公式得到。實際上，從經典理論分析，擾動重力在空域是一個復雜的函數關系，其具體結論可詳見文獻[14]中解析延拓解中重力異常導數的推導。式(9)的推導實際上忽略了一個過程，即首先使式(6)在z=0條件下得到新的公式如下：

(11)

式(11)中，垂線偏差是在z=0條件下的垂線偏差，而后將式(8)和式(11)比較得到式(9)。

通過以上分析可以看出，式(7)是推導過程中較大的一個近似。此外，基于二維傅立葉變換的推導過程雖沒有錯誤，但其最終的推論式(9)卻并不能反映擾動重力三維空間的特征。式(9)表明，地面擾動重力的頻域形式只與垂線偏差東西和北南分量及正常重力值相關；而從經典理論推導獲得的解析公式中，擾動重力則與地理區(qū)域、垂線偏差以及垂線偏差之間的方位角、球面角距相關，如文獻[2]給出的公式。

(12)

式中，

(13)

通過以上對比分析，可以看到Sandwell推導擾動重力頻域形式過程存在以下幾個問題。首先，擾動重力頻域公式只與垂線偏差觀測數值有關，而與觀測數據的地理位置以及觀測數據的空間分布毫無關系，這與解析公式明顯存在不同；其次，擾動重力頻域公式是在一個特殊條件下得到的特定解，若空域中沒有得到垂線偏差反演擾動重力的解析公式，則頻域公式可作為一種手段以彌補反演的可行性，但在解析公式日趨完善時，頻域公式則明顯表現不夠嚴密；最后，雖然頻域方法易于使用快速傅里葉變換算法，但在空域中一樣可以利用快速傅里葉變換進行求解，而且更為嚴密，這部分資料可見參考文獻[15]。

4　計算分析

為了進一步驗證頻域公式與經典解析公式的差別，本文選用丹麥科技大學發(fā)布的海面高數據(DTU10)作為計算用的大地水準面數據，在此基礎上分別生成垂線偏差東西和北南分量，而后按照兩種反演方法進行計算分析。計算區(qū)域范圍是(0°N～5°N,110°E～115°E)，格網分辨率為1′，計算結果見圖1和圖2。選取丹麥科技大學發(fā)布的1′分辨率DTU10重力數據作為評價標準，統(tǒng)計結果見表1。

圖1　空域解析反演擾動重力

圖2　頻域反演擾動重力

表1兩種方法計算結果的差異見下表(mGal)

類型最大值最小值差值均值標準差解析法70.77-157.93-32.3321.22頻域法19.75-232.77-49.5527.25兩者互差120.11-61.9417.2128.71

從表1可以看出，兩種方法計算結果差異較大，且頻域方法精度比解析法約低6mGal。為了說明本文所用解析法的正確性，將數據范圍擴大至(-20°S～35°N,90°E～135°E)，而計算區(qū)域范圍保持不變，計算結果(見圖3)與DTU10模型進行比較，結果見下表。

表2解析法計算結果與DTU10模型的差異(mGal)

最大值最小值差值均值標準差19.74-48.72-2.973.52

圖3　積分范圍擴大后的解析方法結果

從表2可以看出，在僅僅使用平均海面高模型數據的條件下，解析法結果已接近于DTU10模型結果，如果使用沿軌海面高數據并扣除海面地形影響，結果則更加吻合。

5　結　論

本文從理論和實踐兩方面分析了垂線偏差反演擾動重力(徑向)的頻域公式，通過分析及實際計算表明，Sandwell實際提出的是徑向擾動重力反演頻域公式，并且在理論推導過程中進行了若干近似并只考慮二維平面的特殊條件，而忽略了擾動重力的三維空間特征。相比較而言，基于快速傅里葉變換的解析算法仍是目前精確反演海洋重力場的主要方法。

目前，在科技論文出版中會出現這樣一種現象，一個科學理論、模型在某個特定環(huán)境、特定條件下產生，且在產生過程中采用了一些近似、假設，而以上種種限制卻并不會明顯地在其成果(如論文、報告)中體現，此時，論文中的成果就往往會給后來者帶來誤導。在這一點上，錢學森曾指出“科學文章中的錯誤必須及時闡明，以免后來工作者誤用而誤事”，他本人也以身作則改正了發(fā)表論文中的錯誤之處[16]。在Sandwell提出頻域解算方法之后，鮮有文獻對其質疑，在關于海洋重力場反演的諸多文獻中，也只有文獻[1]中提到“垂線偏差反演擾動重力的頻域公式有一定近似性、不甚嚴密”。我們追求科學的本質是無限接近地認知這個世界，如果不能嚴密、謹慎地考慮問題，那么我們的認知則無法接近事實。

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[16]葉永烈.走近錢學森[M].上海：上海交通大學出版社，2009.

Discussion about the Frequency Domain Form of Ocean Gravity Field Recovery

Zhai Zhenhe1,2, Li Dong3

1.Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping, Xi’an 710054， China 2.State Key Laboratory of Geo-information Engineering, Xi’an 710054, China 3.Luoyang Electronic Equipment Test Center of China, Luoyang 471003, China

The rigor of the frequency domain method of ocean gravity field recovery is analyzed and calcultaed from the theoretical and practical aspects. The theoretical analysis shows that the frequency domain method of ocean gravity field recovery put forward by Sandwell is intended to calculate the disturbing gravity rather than gravity anomaly. Besides, several imprecise derivation exist in the theory because it only considers the special conditions in 2D plane but neglects the 3D spatial characteristics of disturbing gravity. The practical calculation shows that there are great differences between the ocean disturbing gravity results calculated only based on the frequency domain with this method, which also demonstrates that the frequency domain method has problems in itself. Considering the rigor of the ocean gravity field recovery, it is suggested to combine the calculation theory formula with rapid calculation strategy to recover the ocean disturbing gravity.

ocean gravity field recovery; frequency domain; disturbing gravity

2015-12-14。

高分專項青年創(chuàng)新基金資助項目(GFZX04060103-7-14)。

翟振和(1980—)，男，助理研究員，主要從事物理大地測量研究。

P223

A