構建數學模型突破“基因頻率和基因型頻率的變化”

周翔

數學模型是用來描述一個系統或它的性質的數學形式。構建數學模型來解決高中生物學中的相關問題，構建的過程即是解決問題的過程，而模型的得出更讓學生可以直觀地看到一個系統規律性的變化，從而更好地理解生物學現象。

基因頻率和基因型頻率的相關內容在2016年新課標全國Ⅰ卷第6題、江蘇卷第30題、2015年新課標全國Ⅰ卷第32題、北京卷第30題和山東卷第6題等各年和各省份的高考卷中都有出現，部分題目的難度還相當大。

分析學生的答題情況，凡牽涉到以下四種情況之一，學生回答的錯誤率就很高：（1） 雜合子連續自交n代求子代中某種基因型頻率；（2） 連續自交n次并逐代淘汰一種純合子（或某種基因型不育），求子代中某種基因型頻率或基因頻率；（3） 雜合子隨機（或自由）交配，求子代中某種基因型頻率或基因頻率；（4） 雜合子隨機（或自由）交配n次并逐代淘汰一種純合子（或某種基因型不育），求子代中某種基因型頻率或基因頻率。最典型的是2013年山東卷第6題。

【例1】 （2013·山東卷，6）用基因型為Aa的小麥分別進行連續自交、隨機交配、連續自交并逐代淘汰隱性個體、隨機交配并逐代淘汰隱性個體，根據各代Aa基因型頻率繪制曲線如圖1，下列分析錯誤的是（ ）

A. 曲線Ⅱ的F3中Aa基因型頻率為0.4

B. 曲線Ⅲ的F2中Aa基因型頻率為0.4

C. 曲線Ⅳ的Fn中純合體的比例比上一代增加（1/2）n+1

D. 曲線Ⅰ和Ⅳ的各子代間A和a的基因頻率始終相等

此題的難度較大，學生要能準確判斷Ⅰ～Ⅳ，才能作答。絕大多數考生對這種綜合題只能通過取特殊值，采用排除法，如計算F1、F2的值。如果教師在平時的教學中構建了數學模型，則學生既能掌握分析和推算的方法，更能從Aa的變化趨勢直觀地發現四者的差別，從而快速作答。

現采用不完全歸納法對4種情況構建數學模型，步驟如下：

1 雜合子連續自交，不淘汰

1.1 推算

推算過程見表1。

1.2 構建模型

Aa連續自交，子代中AA、Aa、aa的基因型頻率見表2。

可在坐標系中繪出后代中純合子、雜合子和顯隱性純合子所占比例的變化曲線如圖2所示。

1.3 特點

隨著自交代數的增加，雜合子的比例越來越少，純合子所占比例越來越大，且顯、隱性純合子比例相等。

雜合子連續自交，A、a基因頻率不發生改變。

2 雜合子連續自交，逐代淘汰隱性個體（或隱性個體不育）

2.1 推算

推算過程見表3。

2.2 構建模型

計算雜合子連續自交，逐代淘汰aa，子代中各種基因型頻率（表4），并畫出相應的曲線圖（圖3）。

2.3 特點

淘汰aa（或aa不育）不僅使a的基因頻率降低，雜合子在顯性個體中的比例也急劇減少，這也是雜交育種要逐代篩選再自交，最終才能使純合子的比例達到育種要求的理論依據。

3 雜合子逐代隨機（或自由）交配，不淘汰

3.1 推算

推算過程見表5。

3.2 構建模型

計算雜合子逐代隨機交配，子代中各種基因型頻率（表6）。

3.3 特點

當種群達到遺傳平衡后，種群的基因頻率和基因型頻率均不發生改變。

4 雜合子隨機（或自由）交配，淘汰隱性個體（或隱性個體不育）

4.1 推算

具體推算過程見表7。

4.2 構建模型

計算雜合子隨機交配，逐代淘汰aa，子代中各種基因型頻率（表8），并畫出相應的曲線圖（圖4）。

4.3 特點

該過程a基因頻率降低，雜合子在顯性個體中的比例也下降，但下降的速率不及雜合子自交并逐代淘汰隱性個體（或隱性個體不育）的情況。

通過四種情況的分析可以進一步發現：只要存在淘汰（或不育），即存在選擇（自然或人工），基因頻率就會發生改變。沒有選擇，基因頻率就不發生改變，種群無進化，但基因型頻率仍可能發生改變。

根據上述構建的數學模型，可以直接判斷例1中曲線Ⅰ表示隨機交配，曲線Ⅱ表示隨機交配并逐代淘汰隱性個體，曲線Ⅲ表示連續自交并逐代淘汰隱性個體，曲線Ⅳ表示連續自交，所以首先判斷D選項敘述正確，A、B通過計算可知正確，C選項應為[1-（1/2）n]-[1-（1/2）n-1]=（1/2）n

【例2】 （2015·課標全國卷Ⅰ，32）假設某果蠅種群中雌雄個體數目相等，且對于A和a這對等位基因來說只有Aa一種基因型。回答下列問題：

（1） 若不考慮基因突變和染色體變異，則該果蠅種群中A基因頻率：a基因頻率為 。理論上該果蠅種群隨機交配產生的第一代中AA、Aa和aa的數量比為 ，A基因頻率為 。

（2） 若該果蠅種群隨機交配的實驗結果是第一代中只有Aa和aa兩種基因型，且比例為2∶1，則對該結果最合理的解釋是 。根據這一解釋，第一代再隨機交配，第二代中Aa和aa基因型個體數量的比例應為 。

答案：（1） 1∶1 1∶2∶1 0.5 （2） A基因純合致死 1∶1

解析：（1）對于A和a這對等位基因來說只有Aa一種基因型。所以基因A、a頻率都為0.5，比例1∶1。AA%=50%×50%=0.25，Aa%=2×50%×50%=0.5，aa%=50%×50%=0.25。比例1∶2∶1。基因頻率不變，A仍為0.5。

（2） AA個體致死，只剩下Aa和aa個體，比例為2∶1。A的基因頻率為1/3，a的基因頻率為2/3，故aa基因型頻率占4/9，Aa基因頻率占4/9，Aa和aa基因型個體數量的比例為1∶1。

構建模型符合《普通高中生物學課程標準（實驗）》倡導的探究性學習，能促進學生學習方式的變革，引導學生主動參與探究過程、勤于動手和動腦，逐步培養學生分析和解決問題的能力。得到的數學模型使事物的本質特征更加清晰，有助于師生從宏觀上把握某個系統的規律，在遇到相關問題時，能迅速找到突破口，披荊斬棘，解決問題。

參考文獻：

[1] 穩態與環境.普通高中課程標準實驗教科書[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2] 中華人民共和國教育部.高中生物學課程標準[S].北京：人民教育出版社，2003.