基于變參MQ擬插值格式求解Burgers方程

李焱淼，王園園，張繼紅，王瑞林

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

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基于變參MQ擬插值格式求解Burgers方程

李焱淼，王園園，張繼紅，王瑞林

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

提出了一種單變量變參數(shù)的MQ擬插值算法，并用它來求解Burgers方程.在擬插值過程中，采用可變參數(shù)替換原有的常參數(shù)，避免了常參數(shù)選取困難這一問題，并通過數(shù)值算例驗證了方法的有效性.通過與原有方法的對比，提出的新方法精度要更高一些，且參數(shù)的選取要容易一些.

MQ擬插值；Burgers方程；變參數(shù)；徑向基函數(shù)

0 引言

Multiquadrics(MQ)是由R.L.Hardy[1]于1968年提出來的一種徑向基函數(shù)，F(xiàn)ranke在其文獻[2]中指出：就精度，穩(wěn)定性，有效性，內(nèi)存需要和易于實現(xiàn)這些方面而言，MQ在所有的29類散亂數(shù)據(jù)插值格式中是首屈一指的.1994年，Wu和Schaback[3]構(gòu)造了基于MQ徑向基函數(shù)的擬插值格式LD，該方法操作簡單，不需要解任何線性方程組，避免了節(jié)點較多時，插值方法易產(chǎn)生病態(tài)的問題，隨后LD被應(yīng)用到各個領(lǐng)域.但是由于該格式存在一個自由參數(shù)，它的選取直接影響計算精度，所以有關(guān)參數(shù)的研究，得到了廣泛的關(guān)注.

本文首先介紹了MQ擬插值格式LD，然后給出變參MQ擬插值格式，并將其應(yīng)用于Burgers方程．通過將常參數(shù)改為變參數(shù),避開了常參數(shù)的最優(yōu)選取問題.數(shù)值實驗驗證了這種方法的有效性.

1 MQ擬插值

Wu和Schaback[3]在Beatson和Powell[4]的基礎(chǔ)上，提出了有限區(qū)間[x0,xN]上函數(shù)f(x)的單變量MQ擬插值逼近格式LD.

對給定數(shù)據(jù){xj,fj}，fj=f(xj), j=0,1,…,n,x0

其中，

其中,c為常數(shù)，稱為形狀參數(shù).

定理1[5-6]擬插值格式LDf具有保線性、保單調(diào)性且可以改寫成如下形式：

此外，在[x0,xN]上，LDf的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)如下：

2 變參MQ擬插值格式

常參MQ擬插值算法中參數(shù)c的選取非常關(guān)鍵，c選取的好，那么結(jié)果就非常好，如果C選取的不好，那么擬插值的結(jié)果誤差就很大.為了避開常參數(shù)選取的困難，本文提出了變參MQ擬插值這種算法.也就是說，本文不再使用常參數(shù)，而是采用可變的形狀參數(shù)，就是在每一步的計算中參數(shù)的值是不同的.

本文采用文獻[7-8]中給出的可變形狀參數(shù)：

下面考慮函數(shù)逼近情況，分別用常參及變參MQ擬插值格式近似函數(shù)u(x)=sinπx，0≤x≤1，當(dāng)取常參數(shù)c=0.0072,N=100時其計算結(jié)果誤差如圖1所示.

圖1 常參MQ算法近似函數(shù)絕對誤差

當(dāng)N=100，cmin=0.006，cmax=0.008時，采用變參擬插值格式結(jié)果見圖2.

圖2 變參MQ算法求得的函數(shù)的結(jié)果

本文比較兩種計算方法的計算結(jié)果與真實值的誤差見表1.

表1 兩種方法絕對誤差比較

x常參誤差變參誤差00.00020.00020.10.00050.00040.20.00090.00070.30.00110.00090.40.00130.00110.50.00130.00120.60.00130.00120.70.00110.00100.80.00090.00080.90.00050.00051.00.00020.0002

由此本文可以看出這個方法是可行的，參數(shù)的選取相對要簡單，變參只需要給出一個參數(shù)范圍，而不會像常參數(shù)，要給出一個常數(shù)，這個最優(yōu)常數(shù)是很難選取的.同時，可以看出變參的計算效果還要更好一些.

3 變參MQ擬插值求解Burgers方程

將變參MQ擬插值格式應(yīng)用到Burgers方程的求解中.

考慮初邊值問題：

初始條件u(x,0)=g(x)，邊界條件u(x0,t)=a(t)，u(xN,t)=b(t)，雷諾數(shù)R=10.

本文用向前差分格式將時間進行離散化：

然后用變參MQ擬插值格式來逼近函數(shù)及其導(dǎo)數(shù).

其中

4 數(shù)值算例

當(dāng)τ=0.001，h=0.01時，分別用常參和變參MQ擬插值格式求解Burgers方程，其計算結(jié)果分別如圖3，圖4所示，其中常參數(shù)c=0.007 2，變參數(shù)cmin=0.006，cmax=0.008.

圖3 常參MQ算法求解Burgers方程結(jié)果

圖4 變參MQ算法求解Burgers方程結(jié)果

本文比較兩種算法在時間t=1時與真實值的計算誤差，其結(jié)果見表2.

表2 在t=1的絕對誤差比較

由此，本文可以看出變參MQ擬插值格式求解Burgers方程是可行的，并且它的精確度比常參數(shù)MQ算法還要高，便于實現(xiàn)，且避開了最優(yōu)常參數(shù)選取的問題.

5 結(jié)論

本文通過采用可變形狀參數(shù)，給出了變參MQ擬插值算法，并且將它應(yīng)用到了Burgers方程的數(shù)值求解中.數(shù)值算例驗證了本文所提算法的有效性，算法簡單，易于實現(xiàn)，且避開了插值問題可能出現(xiàn)的病態(tài)現(xiàn)象以及最優(yōu)常參數(shù)很難選取的問題.將參數(shù)選取問題由點轉(zhuǎn)換為一個區(qū)間范圍的問題.但事實上，變參數(shù)的選取仍然還有進一步研究的空間，這也是本文未來的研究方向.

[1]HARDY R L. Theory and applications of the multiquadric biharmonic method, 20 years of discovery 1968-1988[J]. Computers and Mathematics with Applications,1990, 19(8/9):163-208.

[2]FRANKE R. Scattered data interpolation:test of some methods[J].Math. Comput, 1982,38:181-200.

[3]WU Z M, SCHABACK R. Shape preserving properties and convergence of univariate multiquadric quasi-interpolation[J]. ACTA Math. Appl Sinica, 1994,10(4): 441-446.

[4]BEATSON R K, POWELL M JD. Univariate multiquadric approximation to scattered data[J]. Constr.Approx,1992,8:275-288.

[5]陳榮華，吳宗敏，韓旭里. 一種新的Multiquadric擬插值[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報，2010(3):117-121.

[6]CHEN RONG HUA,WU ZONG MIN.Applying multiquadric quasi-interpolation to solve Burgers′equation[J]. Applied Mathematics and Computation, 2006,172: 472-484.

[7]KANSA E J, CARLSON R. Improved accuracy of multiquadric interpolation using variable shape parameters[J]. Computers and Mathematics with Applications, 1992,24: 99-120.

[8]SCOTT A. SARRA, DEREK STURGILL.A random variable shape parameter strategy for radial basis function approximation methods[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2009,33: 1239-1245.

An MQ Quasi-Interpolation Method with a Variable Shape Parameter for Solving Burgers Equation

LI Yanmiao ,WANG Yuanyuan,ZHANG Jihong,WANG Ruilin

(School of Mathematics and Physis, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028, China)

An MQ quasi-interpolation algorithm with a variable shape parameter is proposed, and it is used to solve the Burgers equation. To avoid the selection of the optimal parameter, the variable parameter is used to replace the original one. Numerical examples verify that the proposed method is more accurate and easier.

MQ quasi-interpolation; Burgers equation; variable parameter; radial basis function

1673-9590(2016)04-0114-04

2015-12-10

遼寧省教育廳科學(xué)研究計劃資助項目(L2012167)

李焱淼(1978-),女，副教授,碩士,主要從事數(shù)值代數(shù)方面的研究E-mail:lilaclym@sina.com.

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