《數列》中常見考點與重點題型解析

數列不僅是高中數學的重要內容，也是高等數學的基礎，同時藴含諸多數學思想方法，因其多變的形式和靈活的解題方法備受高考命題者的青睞，歷年來都是高考命題中的“熱點”和難點.本文就高考數列重點考查內容以及備考建議做些探討，供同學們學習時參考.

考點一：等差、等比數列的基本概念和性質的應用

例1在各項均不為零的等差數列{an}中，2a3-a27+2a11=0，數列{bn}是等比數列，且b7=a7，則log2（b6b8）的值為.

解析：由等差數列的性質知：a3+a11=2a7，所以由2a3-a27+2a11=0，得：4a7-a27=0，解得：a7=4或a7=0（舍），從而b7=a7=4，故b6b8=b27=16，從而log2（b6b8）=4.

例2已知數列{an}為正項等比數列，Sn是它的前n項和.若a1=16，且a4與a7的等差中項為98，則S5的值為.

解析：設正項等比數列{an}的公比為q，則a4=16q3，a7=16q6，因為a4與a7的等差中項為98，所以a4+a7=9416q3+16q6=94，解得：q=12，從而S5=16[1-（12）5]1-12=31.

評析：（1）“知三求二”是等差數列和等比數列的重要題型，通常涉及等差（或等比）數列的通項公式、前n項和公式，往往運用基本量法來解決；（2）運用基本量法必須與等差或等比數列的性質密切配合，合理地運用等差、等比數列的性質，特別是通項的下標性質，能達到避繁就簡的目的.

考點二：等差等比數列的判斷與證明

例3已知數列{an}的首項a1=23，an+1=2anan+1，證明：數列{1an-1}是等比數列.

解析：因為an+1=2anan+1，兩邊同時取倒數得：1an+1=an+12an=12+12×1an，整理得：

1an+1-1=12×（1an-1）.又由a1=23知：1a1-1=12，故數列{1an-1}是以12為首項，12為公比的等比數列.

例4已知數列{an}滿足an=2an-1+2n+1（n≥2），a1=2，令bn=12n（an+t），問：是否存在一個實數t，使得數列{bn}為等差數列？若存在，求出實數t；若不存在，請說明理由.

解析：因為an=2an-1+2n+1（n≥2），a1=2，所以a2=9，a3=27，故b1=t+22，b2=9+t4，b3=27+t8.

假設存在一個實數t，使得數列{bn}為等差數列，則b1，b2，b3一定成等差數列，故有2b2=b1+b32×9+t4=2+t2+27+t8t=1.

當t=1時，bn=12n（an+1），從而當n≥2時，

有bn-bn-1=12n（an+1）-12n-1（an-1+1）=an+1-2an-1-22n=2n2n=1，故數列{bn}為等差數列.