不等式與推理證明重點直擊

在高考中，不等式與推理證明是密不可分的，前者考查知識點，后者考查方法的靈活應用.不等式與推理證明內容豐富，涉及考題變化萬千.在復習這一內容時，只有抓住重點方可事半功倍，以下重點內容值得同學們特別關注.

一、一元二次不等式恒成立問題

要點解析

一元二次不等式恒成立的條件：

（1）不等式ax2+bx+c>0對任意實數x恒成立a=b=0，c>0，或a>0，Δ<0.

（2）不等式ax2+bx+c<0對任意實數x恒成立a=b=0，c<0，或a<0，Δ<0.

一元二次不等式與其對應的函數與方程之間存在著密切的聯系.在解決具體的數學問題時，要注意三者之間的相互聯系，并在一定條件下相互轉換.對于一元二次不等式恒成立問題，常根據二次函數圖象與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數的取值范圍.

題型分析

1.形如f（x）≥0（x∈R）確定參數的范圍

例1已知不等式mx2-2x-m+1<0，是否存在實數m對所有的實數x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

解析：不等式mx2-2x-m+1<0恒成立，

即函數f（x）=mx2-2x-m+1的圖象全部在x軸下方.

當m=0時，1-2x<0，則x>12，不滿足題意；

當m≠0時，函數f（x）=mx2-2x-m+1為二次函數，

需滿足開口向下且方程mx2-2x-m+1=0無解，

即m<0，Δ=4-4m（1-m）<0，

不等式組的解集為空集，即m無解.

綜上可知不存在這樣的m.

2.形如f（x）≥0（x∈[a，b]）確定參數范圍

例2設函數f（x）=mx2-mx-1（m≠0），若對于x∈[1，3]，f（x）<-m+5恒成立，求m的取值范圍.

解析：要使f（x）<-m+5在[1，3]上恒成立，

則mx2-mx+m-6<0，即m（x-12）2+34m-6<0在x∈[1，3]上恒成立.

有以下兩種方法：

法一：令g（x）=m（x-12）2+34m-6，x∈[1，3].

當m>0時，g（x）在[1，3]上是增函數，

所以g（x）max=g（3）=7m-6<0.所以m<67，則0

當m<0時，g（x）在[1，3]上是減函數，

所以g（x）max=g（1）=m-6<0.

所以m<6.所以m<0.

綜上所述，m的取值范圍是（-∞，0）∪（0，67）.

法二：因為x2-x+1=（x-12）2+34>0，

又因為m（x2-x+1）-6<0，

所以m<6x2-x+1.

因為函數y=6x2-x+1=6（x-12）2+34在[1，3]上的最小值為67，所以只需m<67即可.

因為m≠0，所……