高考數列綜合題例說

劉淑靜

數列是高考數學的主要考查內容之一，其試題有著鮮明的特色，發揮了多層次多角度考查能力的功能.

數列試題的難度分布幅度大，既有容易的基本題和難度中等的小綜合題，也有綜合性和思考性強的難題，試題形態多變，時常有新穎的試題入卷.在解答題中，有關數列的試題出現的頻率較高，不僅可與函數、方程、不等式、復數相聯系，而且還與三角、立體幾何密切相關；本題舉例說明高考中常出現的數列綜合問題.供同學們參考.

一、等差、等比數列的綜合

等差、等比數列的綜合問題多以解答題的形式出現，涉及等差、等比數列的定義，通項公式及前n項和公式，難度適中，求解此類問題要重視方程思想的應用.

例1（2016年高考山東理數）已知數列{an}的前n項和Sn=3n2+8n，{bn}是等差數列，且an=bn+bn+1.

（1）求數列{bn}的通項公式；

（2）令cn=（an+1）n+1（bn+2）n.求數列{cn}的前n項和Tn.

分析：（1）根據an=Sn-Sn-1及等差數列的通項公式求解；（2）根據（1）知數列{cn}的通項公式，再用錯位相減法求其前n項和.

解：（1）由題意知當n≥2時，an=Sn-Sn-1=6n+5，

當n=1時，a1=S1=11=6×1+5，滿足上式，

所以an=6n+5.

設數列{bn}的公差為d，由a1=b1+b2a2=b2+b3，

即11=2b1+d17=2b1+3d，可解得b1=4，d=3，

所以bn=3n+1.

（2）由（1）知cn=（6n+6）n+1（3n+3）n=3（n+1）·2n+1，

又Tn=c1+c2+c3+…+cn，

得Tn=3×[2×22+3×23+4×24+…+（n+1）×2n+1]，

2Tn=3×[2×23+3×24+4×25+…+（n+1）×2n+2]，

兩式作差，得

-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-（n+1）×2n+2]

=3×[4+4（2n-1）2-1-（n+1）×2n+2]

=-3n·2n+2

所以Tn=3n·2n+2.

點評：本題主要考查等差數列的通項公式及求和公式、等比數列的求和、數列求和的“錯位相減法”.此類題目是數列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高.解答本題，列出方程組，確定通項公式是基礎，準確計算求和是關鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數列的項數.本題能較好的考查考生的邏輯思維……