數列與函數、不等式的交匯

韓宏帥

數列中的綜合問題，大多與函數交匯，考查利用函數與方程的思想及分類討論思想解決數列中的問題，有時用不等式的方法研究數列的性質.

求解這類問題的關鍵在于利用數列與函數的對應關系，將條件進行準確轉化.對于函數的有關性質，主要利用函數的單調性或有界性來求解數列中的最值.但由于數列的通項是一類特殊的函數，所以借助函數的性質研究數列問題，一定要注意數列中的自變量只能取正整數這一特點.

例1（2015年高考安徽，理18）設n∈N*，xn是曲線y=x2n+2+1在點（1，2）處的切線與x軸交點的橫坐標.

（1）求數列{xn}的通項公式；

（2）記Tn=x21x23…x22n-1，證明Tn≥14n.

分析：（1）對題中所給曲線的解析式進行求導，得出曲線y=x2n+2+1在點（1，2）處的切線斜率為2n+2.從而可以寫出切線方程為y-2=（2n+2）（x-1）.令y=0.解得切線與x軸交點的橫坐標xn=1-1n+1=nn+1.

（2）要證Tn≥14n，需考慮通項x22n-1，通過適當放縮能夠使得每項相消即可證明.思路如下：先表示出Tn=x21x23…x22n-1=（12）2（34）2…（2n-12n）2，求出初始條件當n=1時，T1=14.當n≥2時，單獨考慮x22n-1，并放縮得x22n-1=（2n-12n）2=（2n-1）2（2n）2>（2n-1）2-1（2n）2=4n2-4n（2n）2=n-1n，所以

Tn=（12）2×12×23×…×n-1n=14n，綜上可得對任意的n∈N*，均有Tn≥14n.

解：（1）解：y′=（x2n+2+1）′=（2n+2）x2n+1，曲線y=x2n+2+1在點（1，2）處的切線斜率為2n+2.

從而切線方程為y-2=（2n+2）（x-1）.令y=0，解得切線與x軸交點的橫坐標xn=1-1n+1=nn+1.

（2）證：由題設和（1）中的計算結果知Tn=x21x23…x22n-1=（12）2（34）2…（2n-12n）2.

當n=1時，T1=14.

當n≥2時，因為x22n-1=（2n-12n）2=（2n-1）2（2n）2>（2n-1）2-1（2n）2=4n2-4n（2n）2=n-1n，

所以Tn>（12）2×12×23×…×n-1n=14n.

綜上可得對任意的n∈N*，均有Tn≥14n.

評注：數列是特殊的函數，不等式是深刻認識函數與數列的重要工具，三者的綜合是近幾年高考命題的新熱點，且數列的重心已經偏移到不等式的證明與求解中，而不再是以前的遞推求通項.對于數列問題中求和類（或求積類）不等式證明，如果是通過放縮的方法進行證明的，一般有兩種類型：一種是能夠直接求和（或求積），再放縮；……