記清公式 厘清概念 理清思路

數列是高中數學的重要內容，高考中具有重要的地位.在考試說明（江蘇）中屬于“C”級要求，是八大重要考點之一，主要考查數列的概念、公式、性質及其綜合應用.透視歷屆學生的易錯題，往往因為初學時其中的公式、概念、方法理解不透徹，進而導致出錯.在后續學習和考試中，怎樣才能避免重蹈覆轍呢？筆者結合自己的理解，擬以如何準確把握常見易錯題的視角，將部分易錯題進行分類，剖析錯誤、給出正解、并指出應對的方略.

一、記清公式

雖然教材上數列的基本公式較少，但其變式的靈活性、數列的抽象性和限制條件的多樣性很容易導致解答時出現錯誤.

易錯點1“前幾項”出錯

例1已知數列{an}的前n項的和為Sn，若Sn=2n2+3n-1，求an.

錯誤解答：∵Sn=2n2+3n-1，∴Sn-1=2（n-1）2+3（n-1）-1=2n2-n-2，

∴an=Sn-Sn-1=4n+1.

錯因分析：此解法直接利用“Sn-Sn-1”求“an”，忽略了由“Sn”求“Sn-1”時，“n”要滿足“n≥2”這個條件，忽視了a1的特殊性.

正確解答：1° 當n=1時，a1=S1=4；

2° 當n≥2時，an=Sn-Sn-1=4n+1.

綜上所述，an=4n=14n+1n≥2.

準確把握：記清公式an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，只有當“n=1”的結果能并入“n≥2”的式子，才能合成一個式子，否則必須寫成分段函數的形式.

易錯點2“等比數列求和”出錯

例2在等差數列中{an}中，a1=1，前n的和Sn滿足S2nSn=4n+2n+1，n∈N*.

（1）求數列{an}的通項公式.

（2）記bn=（2an+1）pan（p>0），求{bn}的前n項和Tn.

錯誤解答：（1）設數列{an}的公差為d，

∴S2nSn=2n+2n（2n-1）2dn+n（n-1）2d=4dn-2d+4dn+2-d，

∵S2nSn=4n+2n+1，∴4dn-2d+4dn+2-d=4n+2n+1，易得d=1，∴an=n.

（2）∵an=n，∴bn=（2n+1）pn，∴Tn=3p+5p2+…+（2n-1）pn-1+（2n+1）pn，

∴pTn=3p2+5p3+…+（2n-1）pn+（2n+1）pn+1，∴（1-p）Tn=3p+2（p2+…+pn）-（2n+1）pn+1①

=3p+2p2（1-pn）1-p-（2n+1）pn+1，

∴Tn=3p1-p+2p2（1-pn）（1-p）2-（2n+1）pn+11-p②

錯因分析：對于問題（2）采用“錯位相減法”求和，①式中的“p2+…+pn”是一個等比數列的和，其項數為“n-1”，錯為“n”項.且由于“p>0”，求和時還必須討論“p=1”和“p≠1”.

正確解答：（上同）1° 當p=1時，bn=2n+1，∴Tn=n2+2n.

2° 當p≠1時，∴（1-p）Tn=3p+2（p2+…+pn）-（2n+1）pn+1

=3p+2p2-pn+11-p-（2n+1）pn+1

=3p-p21-p-（21-p+2n+1）pn+1，

∴Tn=3p-p2（1-p）2-2（1-p）n+3-p（1-p）2pn+1.

準確把握1：等比數列的求和公式：

Sn=na1q=1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-qq≠1

首先，運用公式時，要討論“公比q”是否為“1”；其次，當q≠1時，若項數不能確定，可以采用公式Sn=a1-anq1-q.

準確把握2：“歸納”是一種重要……