淺談導函數零點不可解問題的求解對策

孟憲彪

（濟寧一中，山東濟寧 272100）

淺談導函數零點不可解問題的求解對策

孟憲彪

（濟寧一中，山東濟寧 272100）

在遇到函數有關問題時，如函數極值問題、函數最值問題、函數單調性問題、函數不等式證明問題等，我們學生常常會選用導數來進行解決問題，因而導數是解決數學問題的一種極為有用的數學工具。而在運用導數求解問題時，導函數零點常常是關鍵點，只要求出導函數零點，則函數問題班會隨之而解，如函數最值、函數極值等。但是，在我們高中生解答函數問題過程中，卻有時會遇到一些超越型函數，因而導函數零點變成了不可解問題，如果不能有效解答出導函數零點，則數學問題便就此停止，無法繼續進行下去。基于此，本文便對導函數零點不可解問題進行了研究，已提出一些求解對策。

導函數零點 不可解問題 求解對策

在對函數最值問題、函數極值問題進行求解過程中，我們常常會選擇運用導數來進行求解，因此，這是導數的一個非常重要的運用。一般來說，如果 x0滿足f'（x0）=0，同時在x0的兩側f（x）的導數為異號，則x0即為f（x）的極值點，其極值為f（x0），另外，在 x0兩側，假如f'（x）滿足左側為正、右側為負，則x0即為f（x）的極大值點，其極大值為f（x0）；在x0兩側，假如f'（x）滿足左側為負、右側為正，則x0即為f（x）的極小值點，且其極小值為f（x0）。因此，在對函數極值進行求解時，通常思路就是要要對方程f'（x）=0進行求解。不過，如果方程 f'（x）=0為超越方程，高中生目前還無法運用現學習到的知識來解決問題，在這種情況下，我們如何解決呢？基于此，針對f'（x）=0不可解問題，本文將介紹一種求解方法。

當運用高中數學知識，無法解決f'（x）=0問題時，我們可以換一個解決思路，即假設 x=t是f'（x）=0的解，接下來對f（t）使f（x）的最小值還是最小值進行判斷，而此時，f（t）是含有t的式子，然后根據f'（t）=0，進行有效化簡。

1 導函數有唯一零點 （類型1）

例1：設函數為f（x）=e2x-alnx

（1）f'（x）為f（x）的導函數，試分析f'（x）共有多少個零點；

解析：本題目主要對函數基礎性知識進行考察，包括導數、零點，同時還對學生對運算求解能力、數學邏輯推理能力進行考察，且對學生是否具有一定的數學思想進行考察，包括數學整合思想、分類思想、數學歸納思想、函數方程思想等。

（1）當a＞0時，f'（x）只有一個零點；當a≤0時，f'（x）不存零點。

（2）根據第（1）問，假設在（0，+∞）中 ，x0為f'（x）的一個零點，則當x∈（0，x0）中，f（x）＜0，當x∈（x0，+∞）時 ，f'（x）＞0。所以在（0，x0）中 ，f（x）為單調遞減函數，而在（x0，+∞）中時，f（x）為單調遞增函數，所以當x=x0時，f（x）存在最小值，其最小值為f（x0）。因為，所以所以當a＞0時，

例2：已知函數 f（x）= ax2+xlnx（a∈ R）的函數圖象，在函數點為（1，f（1））處，直線 x+3 y=0和該點處函數切線是互相垂直的。則：

（1）求出實數a的值；

（2）如果存在k ∈Z ，使f （x） ＞ k 恒成立，求出實數k 的最大值。

解析：本題主要對導數的一些基礎性知識進行考察，包括導數的運用、導數的幾何意義等，同時對學生的數學思想進行考察，包括數學歸納思想、數學轉化思想、數學方程思想等，且考察學生的數學能力，包括數學運算求解能力、數學論證能力、數學推理能力等。

第（1）問，a=1.

第（2）問，由（I）知 f （x）=x2+xlnx，x∈（0，+∞），

故f'（x）=2x+lnx +1，x∈（0，+∞）.

令g（x）=2x+lnx +1，x∈（0，+∞），

由g'（x）＞0對x ∈（0，+∞）恒成立，

故g（x）在（0，+∞）上單調遞增.

且當x∈（0，x0）時，g（x）＜0，即f'（x）＜0，

當x∈（x0，+∞）時，g（x）＞0，即f'（x）＞0，

所以在（0，x0）中，f （x）為單調遞減函數，在（x0，+∞）中，f （x）為單調遞增函數，

因此，當x=x0時，f （x）取得最小值，值最小值為f（x0），又

由于f（x）＞k 恒成立，因此kf（x0）＞0.

由g（x0）=0，得2x0+lnx0+1=0，∴ln x0=-1-2x0，

故k的 最大值為-1.

2 導函數有兩個零點（類型2）

（1）求出實數a的取值范圍；

解析：本題主要對導數的一些基礎性知識進行考察，包括導數的運用、導數的幾何意義等，同時對學生的數學思想進行考察，包括數學歸納思想、數學轉化思想、數學方程思想等，且考察學生的數學能力，包括數學運算求解能力、數學論證能力、數學推理能力等。

由f'（x）=0在內有解，

故f（x）在（0，α）上 單調遞增，在（1，α）上 單調遞減，在（1，β）上單調遞減，在（β，+∞）上單調遞增.

由x1∈（0，1），得f（x1）≤f（α）=

由x2∈（1，+∞），得f（x2）≥f（β）=

所以f（x2）-f（x1）≥f（β）-f（α）.

因為α·β=1，α+β=α+2，

所以h（β）在（0，+∞）上單調遞增，

例4：已知函數 f（x） =x2-ax，g（x）=lnx.

（1）對于定義域中的任何x ，假如f （x） ＞ g（x）恒成立，求出實數a的取值范圍；

（2）假設h（x） = f（x） + g（x） h（x） =f（x）+g（x）中存在兩個極值點，分別為 x1，x2，同時求證：

解析：本題主要對導數的一些基礎性知識進行考察，包括導數的運用、導數的幾何意義等，同時對學生的數學思想進行考察，包括數學歸納思想、數學轉化思想、數學方程思想等，且考察學生的數學能力，包括數學運算求解能力、數學論證能力、數學推理能力等。

第（1）問 ，a∈（-∞，1］.

第（2）問，h（x）=x2-ax+lnx，

［1］吳沛東，盧焱堯，彭杰.高中生在導數問題解決中的困難調查與對策研究［J］.數學教學通訊，2014（03）.

［2］吳沛東，盧焱堯，夏小剛.“數學化”思想在導數概念教學中的應用［J］.中學數學，2013（13）.

［3］李紅玲.現有大學文科數學教材中存在不足的思考［J］.數學教育學報，2012（01）.

［4］馬峰.基于實踐的高中微積分課程比較研究［J］.數學教育學報，2011（06）.

［5］張榮，過榴曉，徐振源.從對比中更好地把握微積分的教學改革［J］.高等數學研究，2011（01）.