從古代烽火臺傳遞軍情的原理談數學歸納法

仝琴

【摘 要】古代烽火臺傳遞軍情的原理蘊含著數學歸納法，教學中我們可以借鑒原理講授數學歸納法及其證題步驟，增強教學的形象性和生動性。

【關鍵詞】數學歸納法；證題步驟；注意問題

古代人沒有無線電通訊設備，他們是用什么方法傳達軍情信息的呢？春秋戰國人發明的烽火臺在當時就是最好的辦法。我國古代的長城，就是從春秋戰國時期開始修筑，至明代終止，共修長城十萬多里，是我國古代巨型而多功能的軍事防御體系。其中屹立在長城上的一座烽火臺，是傳遞軍情的報警設施，其傳遞軍情的方法還蘊含著數學歸納法原理。

一、古代烽火臺傳遞軍情的原理

烽火臺上的守軍要用烽火來傳遞軍情，必須執行兩道點火報警的命令：1.發現敵情，立即點火；2.看到相鄰的烽火臺點火后，依次立即點火。

若把發現敵情的烽火臺編為第一號，在其后面的（按同一方向）依次編為2，3，4……則上面兩道命令就是：

1.第1號首先點火

2.若第k號點了火，一定引起第k+1號點火

第1號烽火臺在發現敵情后火速點火，為了傳遞敵情分別順次引燃第2號、第3號、第4號……烽火臺，這里必須注意兩點：一是必須依次；而是要一個接一個。只有這樣才能順利將敵情傳遍長城，使萬里“邊疆”都知道敵情。

這兩道命令又是必要的，第一道命令是傳遞的基礎，第二道命令是傳遞的依據，若缺其一，都無法完成傳遞任務。例如《三國演義》中，關云長鎮守荊州時，為了防備東吳進犯，在長江邊設置了烽火臺。但東吳大將呂蒙，先麻痹對方，然后乘人不備夜襲烽火臺，將守臺軍士捉起來，無法點火報警，以致失去傳遞軍情的基礎，東吳大軍偷襲了荊州。

二、數學歸納法及其證題步驟

數學歸納法，是根據自然數列是有始、有序、無限的性質，把“個別情況”有無窮多個又能與自然數集一一對應的“一般結論”的命題，通過證明“開始的情況正確”及“前一情況正確必然導出后一個正確”這兩步，達到驗證所有“個別情況”都正確，從而證明了“一般結論”正確。這一推理方法屬完全歸納法，是一種科學的證明方法。

使用數學歸納法的先決條件，是能把研究對象排成一序列，也就是命題要與自然數有關。正如萬里長城的烽火臺也是有序的，能按這個序編號為1，2，3……否則就無法利用自然數列的有序性來傳遞。

因此，用數學歸納法證明一個自然數n有關的命題，需完成以下兩步：

1.證明當n取第一個值n時命題正確

2.假定n=k時命題正確，證明當n=k+1時命題也正確

第一步是歸納的基礎，要證明原命題里第一個命題正確。相當于“第一號首先點火”，亦如要建高樓大廈首先要建底層。第二步是歸納的遞推，要證明從前一個到后一個命題正確的傳遞性。相當于“若第K號點了火，一定引起傳遞性”。相當于“若第k號點了火，一定引起第k+1號點火”。這兩步是缺一不可的，否則就無法保證命題正確。例如，命題“正偶數都是質數”，能完成第一個步驟的證明；而例題“正奇數的平方必是偶數”，能完成第二個步驟的證明。但他們顯然都不正確。

三、教學數學歸納法時要注意的問題

在教學中，應例舉實例說明這兩步的作用及必要性。但更重要的是使學生真正理解這兩步的實際含義，在證明中才落到實處。

第一步實質是驗證原命題里第一個例題正確。也就是“當n取第一個值n時命題正確”是需要驗證的。原命題若是一個等式或不等式，就是把n=n，分別帶入式子的兩邊計算，驗證該式成立。而決不能把n=n。直接帶入全式，否則就是虛假、形式的驗證。

第二步是證明從n=k到n=k+1命題正確的傳遞性。也就是把還不是已知的歸納假設“當n=k時命題正確”看作“已知”，歸納結論“當n=k+1時命題也正確”是要證明的。這一步是應用數學歸納法的關鍵和難點。

首先讓學生理解歸納假設和歸納結論的實際含義，真正掌握“已知”什么、要證什么，才能做好分析和證明。歸納結論是原命題里第k+1號命題，證明時一般從“左邊”（設為條件），通過推理，得到“右邊”（設為判斷）。證明中，為便于思考，應把條件和判斷分開。但不必把判斷寫入證明中，可寫在草稿上作為證明目標，以便尋找證題思路。

例：求證：13+23+33+…+n3=n2（n+1）2

證明：（1）當n=1時，左邊=13=1，右邊×12×（1+1）2=1等式成立。

（2）為了說明第二步的方法，現將步驟及內容表述如下：

1.寫出歸納假設：假設當n=k時等式成立，即13+23+33+…+k3=k2（k+1）2

2.寫出歸納結論的條件和判斷（判斷寫在草稿上）：則當n=k+1時，條件：13+23+34+…+k2+（k+1）2，判斷：=13+23+23+…+k3+（k+1）3判斷：=（k+1）2[（k+1）+1]2

3.改造條件，以便應用歸納假設：=（13+23+33+…+k3）+（k+1）3

4.利用歸納假設，從條件推出判斷

5.寫出該步結論：∴當n=k+1時等式成立

由（1）和（2）可知，對于任何自然數n，等式都成立。

因此，用數學歸納法證題時，必須遵循這兩個步驟，這兩個步驟是缺一不可的。證明過程中還必須注意結論的完整性。第一步證明得到一個結論：“當n=n0時命題正確”；第二步證明，在當n=k時命題正確的假設下，得到一個結論：“當n=k+1時命題也正確”；由這兩個結論就得到一個總結論：“從n0開始的所有自然數n，命題都正確”。這就證明了原例題正確。

綜上所述，萬里長城的烽火臺傳遞軍情的方法蘊含著數學歸納法的原理。在教學中若運用這樣的實例，能化抽象為具體，既使學生容易理解和掌握數學歸納法，又能引起學生學習數學的興趣，還滲透了愛國主義教育。

【參考文獻】

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[2]吳淑芬.如何在數學教學中培養學生的思維能力[J].讀與寫，2014（8）