關于數學美及其常規教學問題的再思考

王喜清

【摘 要】數學美是主觀和客觀的統一，數學美不僅表現在數學外在形式上，更廣泛蘊含在數學內在規律中。從數學美的普遍性意義出發，在常規教學中，透過外在形式，揭示數學內在美的規律，以此啟迪學生思維，是目前數學教學中激發學生有效學習的一個突破口。

【關鍵詞】數學美 內在規律美 常規教學

王永春教授所著的《小學數學與數學思想方法》一書研讀活動中，筆者以梯形面積教學為例談到了“常規教學中，從數學美的普遍性意義出發，用數學美啟迪學生思維”的話題。一些教師頗感興趣，隨之也出現不同觀點之間的碰撞，有些人質疑數學內在規律美的客觀性、普遍意義和數學常規教學中數學美的廣泛性價值。作為回應和研究，本人再談幾個相關的話題，供數學教育教學同行們研討。

一、數學美的主觀性和客觀性、個性和共性

在美學發展史上，對美的認識，存在“主觀”“客觀”觀點之爭。美學發展至今，關于美的觀點，大多認為是客觀性和主觀性的結合。我國美學家李澤厚、美學專家滕守堯、數學界以及數學教育界的徐利治、徐本順、殷啟正、吳振奎、張廷楚等，都辯證地從美的主觀和客觀結合的角度看待美。比如，李哲厚、蔣孔陽等根據馬克思的觀點，都認為自然美的本質是“自然的人化”。 李澤厚在《美學論集》 第173頁中指出：像飄渺的銀河、粗糲的礁石、噴發的火山、漂流的冰山……都是人化了的自然，是人的精神的無機界，可以成為自然美而引起人的美感。眾所周知，數學中充滿了辯證法，辯證思考數學美的主觀性和客觀性，更符合數學的本質。徐本順和殷啟正認為：科學美的形式是物質的。人們所觀察的客觀的現象和規律是美的附體，人們去觀賞它時，如果它是宜人的，那么個人的主觀想象，在品味、體驗中得到觀賞的滿足，產生愉悅，往往美感就產生了。看到滾滾的麥浪，聯想到這是勞動人民創造的結晶，會產生美感，這正是美的主觀和客觀的融合結果。

你看到客觀的朝霞、彩虹、孔雀、黃山，你一定會說它們是美的；而你看到一堆臭狗屎，你肯定有厭惡感的。這些都反映了美的客觀性。如果沒有像“美的環境、美的行為、美的語言”等客觀的存在，如果審美對象在客觀上不存在美的因素，美就成了無源之水，美的行為也就沒有了準則。如果沒有一個個體現對稱、整齊、簡潔、和諧、數學內在規律等數學美的對象為附體，我們學生的數學美感從何而來？美是主觀和客觀的統一，人們往往是在對客觀現象的比較中發現美的。

王永春教授指出：對數學美的認識就是能夠認識或感受數學內容、結構和數學思想方法等方面的美，是對數學外在形式的美好感受和內在本質的理性欣賞。這段話體現了數學美的主觀性和客觀性的統一，同時也點出了數學美的層次，是我們數學教學中要牢記的理念。數學美是一種人的本質力量通過宜人的數學思維結構的呈現。

當然我們不能否認美的主觀性。一件衣服，你看是美的，可她看卻不美。主觀性是發現客觀美的心理基礎。不承認美的主觀性，也就無法發現客觀的美。由于美是主觀和客觀的結合，所以人們對美的認識有時是相對穩定的。唐代人以“胖”為美，一些浪漫群體以穿衣服“奇異開放”為美，少數民族穿衣服有各自的喜好，兒童大多喜歡看鮮艷的色彩……我們的數學教學，要在學生群體中抓住美的主觀和客觀關系的穩定性，以客觀的數學形式適時點燃一些學生群體心中的數學美，讓學生解完題后產生美的滋味，我國數學美專家徐本順強調了這一點。

美感是存在因人而異的，這是個性，這是美的主觀性的體現。沒有美的主觀性和對美的認識的個性，大自然的美就不能被具體人所認識。但對美的認識也有共性：一幅美麗的畫，會引起眾多人的美感，一幅由幾何圖形構成的圖案，往往會引起幾乎全班學生的美感，這體現了美的共性，也體現了美的客觀性。當然，“知識無論如何講，某學生也不感到美”，這個現象存在，但不是普遍現象。不承認美的共性，我們就無法在班級用數學美啟迪全體學生；不承認思維的共性，我們就無法面對全體學生講課，我國的班級授課制就得取消，這是不現實的。

二、探究常規教學中的數學美值得思考

徐本順和殷啟正認為：人們大多數認為自然美、社會美和藝術美是美的三種基本內容。然而在人類實踐活動中還有一種美尚未引起人們的重視，這就是科學美。自然規律展示的簡單性、完整性和秩序關系、靈感突發時引起的沖動，這些引起的愉快含審美愉快。這些科學美的形式反映了物質運動所形成的規律性的東西。

英國美學家夏夫茲博里認為，“趣味”是人的本性中天然存在的一種專門欣賞美的器官，可見數學興趣與數學美的緊密聯系。數學外在的形式以及不被人們注意的內在規律引起的學習情趣、靈感、頓悟等都含大量的美感因素。徐本順、殷啟正指出，歐幾里德是以數學美作為發展的動力的偉大先驅。可見數學美的普遍意義。

關于數學美，王永春教授強調了“數學外在形式的美好感受、內在本質的理性欣賞和數學思想”。這里的“內在本質”就包含了“數學內在規律”。

事實上，客觀世界的一些內在規律美比較隱藏，因而往往不會被人發現，正如梯形內涵的美不能被一些人發現一樣。身體有結構美，但以往大家并不知道。當我們學習黃金分割后，看到人體結構中體現出的0.618，才發現人體結構是這么美。梯形面積公式推導中，似乎不存在什么數學美。但與梯形相聯系的長方形體現了美的對稱性，與梯形面積推導相聯系的平行四邊形構成的圖案體現了美的奇異性，梯形面積自身與平行四邊形面積關系體現了美的統一性。當我們透過平行四邊形的外在形式美，而在思考中發現梯形和平行四邊形的內在規律，品味運用平行四邊形解決梯形面積的類比法等數學思想方法時，梯形面積將與美的形式、美的規律及美的思考融合，美感將會產生。

高斯的自然數和的巧妙計算：（1+100）×100÷2，體現了數學美，而該計算公式和梯形的面積公式有緊密聯系S=（a+b）×h÷2，此時，梯形的面積公式恰恰體現了美。在教學中，我們用“5+6+7+8+9+10=（5+10）×6÷2”這個類似高斯的方法啟迪學生探討梯形面積求法，這一類比思考顯然體現了數學思想美。以數學美啟迪學生思維，核心目標是讓學生發現、理解并掌握梯形面積公式，即以美啟真（以美啟真——羅增儒）。王永春教授指出：數學思想方法有一種內在的、獨特的美，從數學知識提煉出思想方法，是一種升華的美。數學思想方法是普遍的，可見，數學美也是普遍的，數學美不僅僅蘊含在一些特殊數學內容中。形式美主要是對形式本身的欣賞結果，此時可能并沒感覺到它內涵的美。一些美沒通過形式表現出來，而潛藏在人往往意識不到之處，美學家稱這種現象為“積淀”（《美學引論》第66頁）。一個梯形面積的推導，你若能揭示其中隱藏的美，就能引起學生的美感。不要認為外在形式極其明顯的、震驚的美導致的美感才是美感。我們從常規數學教學中去捕捉數學規律和數學思想方法蘊含的美，從以往忽視含“美”的數學載體中引導學生去進行數學美思考，去探討數學教學，這個無疑具有普遍意義和現實意義。

三、面對具體審美對象，美感的產生要經過的時間

從宏觀看，審美心理當然不是短期形成的，要經歷長期的審美實踐。值得注意的是，兒童從出生后認識世界開始，就不斷接觸客觀世界中的美。如美麗的風景、媽媽和教師穿的美麗的衣服、美麗的圖片……這些在潛移默化中感染兒童，久而久之，以潛意識積淀了淺層的審美經驗。這些審美經驗成為誘發美感的前提。事實上，兒童面對具體場景和對象，有時美感確實需要經歷一個較長的時間才產生，而有時卻在當時就產生了。在某具體場景中對某一事物產生美感不一定非得都經歷漫長的時間，因為這里有以往審美經驗的參與。面對審美對象，一旦激活以往積淀的審美經驗，不同信息神經元突然聯系，美感就會立刻產生。學生看到花，會立刻感到美，脫口說出“花真美”。當你的同事問你“她穿的衣服好不好看”時，難道你會說“等我回家研究一下，體驗完后再回答你”？在安徽大學中文系文藝理論教研室編寫的《美學引論》中認為，美感是有層次的，美感具有直覺性，即對美不加思索而產生情感反應。愛迪生認為，美立刻在想象里滲透出一種內在的欣喜和滿足，不需預先經過考慮。我們不能簡單地說“面對所有的審美對象，美感都要經歷漫長的時間才產生”。在數學課堂教學中，學生在美的感染下有時即刻產生美感現象，是可信的。

美感有感知階段、審美經驗階段和審美創造階段等不同的層次。教學中，學生產生美感的因素不光是教學現場教師的語言，還有以往學習和生活中積淀的審美經驗。在梯形面積教學片段的導入中，我們先展示的是用平行四邊形組成的圖案，這個幾乎所有的學生都會說它是美的。這個圖案既含形式美，還能和人鋪地板的生活意義結合，即將“形式”社會化和人為化了，會激活以往學生積淀的審美經驗。以往的審美經驗、審美的主觀和客觀因素與當時的場景融合，我們的學生會不加思索而產生美感，這個是符合現實的。我們推導平行四邊形面積時，學生是在前面圖案美的感染下思考平行四邊形的，抽象的平行四邊形與生活結合了，人為化了。梯形剪拼成長方形，會產生對稱美，長方形自身蘊含對稱美，這成為激發形式美美感的前提。加上教師的點撥，學生回憶以往就有了體驗和經驗，也會很快發現其中的規律美。

四、以學生審美經驗為基礎，以數學美為線索進行教學，是一個有效教學方法

與我們教師相比，小學生的審美經驗在水平上存在差距，我們不能用成人的審美水平來推斷學生。因而在以數學美啟發學生思考時梯度不能過陡，對同一思維長度，階梯要相對加密。當然，我們將啟迪思維階梯加密，不同于嚼碎了喂給學生。嚼碎了再吐給學生，是注入式，而我們是啟發式，是一步一步用數學美啟迪——以美啟真。事實上對于平行四邊形和梯形隱藏的數學美，就連一些成人都難發現，對學生若不將啟迪的階梯加密，他們是難以領悟的。

處處以數學美為線索展示知識，是否會把一個主觀的、情緒體驗的內容作為教學目標？是否會降低學生的學習興趣？對第一個問題，我們要清楚，任何認知都離不開情感的參與，這是新課程改革提出的一個基本思想。新課程理念反對將情感和認知割裂開而弱化情感效應。美感屬于情感，以數學美啟迪，無疑會創設出情感和認知融合的情境，使美感成為認知的動力。我們以數學美激發學生思考，最后得到梯形的面積公式，此時的數學美事實是為認知服務的，并不是認知為數學美服務的。對第二個問題，根據感覺的適應性和美感的間歇性，總用一種教學方式教學，會降低學生的學習興趣。但數學美的形式和內涵是豐富的，同是以數學美啟迪，只要你不斷更換數學美的形式和內容，學生是不會厭倦的。

以上根據當前學習研討中對數學美的認識的爭鳴談幾點看法。挖掘數學常規教學中的數學美，有可能是一片沒被開辟的處女地，但為了數學教學中數學美的普遍意義及發展，我們要在困難中去開辟它。從數學內在規律美的普遍性意義出發，在常規教學中，透過數學美的外在形式，揭示數學內在美的規律，以此啟迪學生數學思維，是目前數學教學中激發學生有效學習的一個突破口。

參考文獻：

[1] 滕守堯.審美心理描述[M]. 北京：中國社會科學出版社，1985.

[2] 徐本順，殷啟正. 數學中的美學方法[M]. 南京：江蘇教育出版社，1990.

[3] 王永春.小學數學與數學思想方法[M]. 上海：華東師大出版社，2014.

（黑龍江省七臺河市教育研究院 215004）