7.2概率

重點難點易混易錯點剖新

復(fù)習(xí)重點：隨機(jī)事件的定義，概率的定義，計算簡單事件概率的方法，主要是列舉法（包括列表法和畫樹狀圖法），利用頻率估計概率，并能體會隨機(jī)觀念和概率思想，

復(fù)習(xí)難點：理解什么是必然發(fā)生的事件、不可能發(fā)生的事件、隨機(jī)事件，準(zhǔn)確運(yùn)用列舉法（包括列表法和畫樹狀圖法）計算簡單事件發(fā)生的概率，理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系，并能解決一些實際問題。

需要注意，概率是針對大量重復(fù)試驗而言的，大量重復(fù)試驗反映的規(guī)律并非意味著在每一次試驗中一定存在，從這個意義上說，即使某事件發(fā)生的概率非常大，但在一次試驗中也有可能不發(fā)生；即使事件發(fā)生的概率非常小，但在一次試驗中也可能發(fā)生。

根據(jù)概率的定義，我們采用列舉的方法計算一些簡單事件的概率，一步試驗一般適用枚舉法，在兩步的試驗中適用列表法，對于包含三步的試驗適用樹狀圖法，樹狀圖法是一種適用性比較廣泛的方法，能夠用列表法解決的問題當(dāng)然也能用樹狀圖法來解決。

在同樣條件下，大量重復(fù)試驗時，根據(jù)一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率所逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)可以估計這個事件發(fā)生的概率，對于不屬于各種結(jié)果可能性相同的類型，只能用頻率去估計概率，應(yīng)用了“用樣本估計總體”的統(tǒng)計思想，

概率的應(yīng)用主要是通過設(shè)計簡單的概率模型，在不確定的情境中作出合理的決策，以及結(jié)合實際問題，體會統(tǒng)計與概率的關(guān)系，

易混易錯點：

（1）混淆概率與頻率，相同條件下，一個事件發(fā)生的概率是一個常數(shù)，頻率會隨著樣本空間的變化而變化，所以用頻率估計出來的概率通常是不精確的。會有誤差，

（2）分不清“摸球問題”中的“摸出放回”與“摸出不放回”兩種情況，用列舉法計算簡單事件發(fā)生的概率時，把機(jī)會均等的結(jié)果一一列舉出來，在列舉時必須注意結(jié)果不重不漏，

（3）概率的計算方法選擇有誤，解決有關(guān)概率的計算問題時要弄清楚是幾步試驗，這樣才能準(zhǔn)確選擇概率的計算方法，

重要考點題型方法點撥

一.隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件與可能性

例1（2015·襄陽）下列說法中正確的是（

），

A.“任意畫出一個等邊三角形。它是軸對稱圖形”是隨機(jī)事件

B.“任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形是必然事件

C.“概率為0.000l的事件”是不可能事件

D.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的一定是5次

解析：“任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖形”是必然事件，選項A錯誤：“任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形”是必然事件，選項B正確；“概率為0.0001的事件”是隨機(jī)事件，選項C錯誤；任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的可能是5次，選項D錯誤，故選B，

點撥：本題考查了隨機(jī)事件、必然事件以及不可能事件的定義，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，如果相關(guān)概念理解不正確，容易造成錯選，必然事件是指在一定條件下一定發(fā)生的事件，不可能事件是指在一定條件下一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，本題在考查概率的同時，也考查了軸對稱、中心對稱等知識，體現(xiàn)了知識之間的相互滲透，如果對軸對稱、中心對稱掌握不好，也會產(chǎn)生新的易錯點，

二.幾何概率

例2（2015·營口）如圖1，正方形的陰影部分是由四個直角邊長都是1和3的直角三角形組成的。假設(shè)可以在正方形內(nèi)部隨意取點，那么這個點取在陰影部分的概率為

，

解析：點的取法雖然有無數(shù)種等可能情況，但根據(jù)取點的位置，可以轉(zhuǎn)化為陰影面積與總面積的關(guān)系，求出陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例即可，

點撥：解決此題的關(guān)鍵是明確幾何概率等于相應(yīng)的面積與總面積之比，首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件，然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即為事件發(fā)生的概率，解答本題使用了轉(zhuǎn)化思想，這一思想方法的滲透同學(xué)們要關(guān)注，本題的易錯點是面積的計算，

解析：在方格紙中，隨機(jī)選擇標(biāo)有序號①②③④⑤中的一個小正方形涂黑，共有5種等可能的結(jié)果，使與圖中陰影部分構(gòu)成軸對稱圖形的有②④⑤這3種情況，使與圖中陰影部分

構(gòu)成軸對稱圖形的概率是故選C，

點撥：本題綜合考查概率公式及軸對稱圖形的相關(guān)知識，此題屬于一步隨機(jī)事件。用直接列舉法求概率，根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目，二者的比值就是其發(fā)生的概率，本題的易錯點是混淆軸對稱、中心對稱的概念，造成錯選，

例4（2015·寧夏）從2，3，4這三個數(shù)字中，任意抽取兩個不同數(shù)字組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)能被3整除的概率是

解析：本題屬于抽取不放回兩步隨機(jī)事件，用列表法或樹狀圖法求概率，如表1，任意抽取兩個不同數(shù)字組成一個兩位數(shù)共有6種情況，其中能被3整除的有24，42兩種，則組成兩

點撥：對于兩步隨機(jī)事件，首先要判斷是抽取放回試驗，還是抽取不放回試驗，這也是本題的易錯點，關(guān)鍵是通過列表法或樹狀圖法求出組成兩位數(shù)的所有可能情況及符合條件的幾種可能情況，

例5（2015·德州）經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能左轉(zhuǎn)或者右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相同，則經(jīng)過這個十字路口的兩輛汽車一輛左轉(zhuǎn)、一輛右轉(zhuǎn)的概率是（

），

解析：本題屬于抽取放回兩步隨機(jī)事件，可選用列表法或樹狀圖法求概率，畫樹狀圖列舉這兩輛汽車行駛方向所有可能的結(jié)果如圖3所示，共有9種可能的結(jié)果，由樹狀圖知。兩輛汽車一輛左轉(zhuǎn)、一輛右轉(zhuǎn)的結(jié)果有2種。且所有結(jié)果的可能性相同，則經(jīng)過這個十字路口

點撥：由題目條件“兩輛汽車”可知，在解決此問題時試驗分兩步完成，因為兩輛汽車都有三種可能性且大小相同，所以試驗是抽取放回的試驗，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出樹狀圖或列出表格，再根據(jù)概率公式求解即可，

六.求三步隨機(jī)事件的概率

例6（2015·聊城）在陽光體育活動時間，小亮、小瑩、小芳和大剛到學(xué)校乒乓球室打乒乓球，當(dāng)時只有一副空球桌，他們只能選兩人打第一場，

（1）如果確定小亮打第一場，再從其余三人中隨機(jī)選取一人打第一場，求恰好選中大剛的概率，

（2）如果確定小亮為裁判，用“手心、手背”的方法決定其余三人哪兩人打第一場，游戲規(guī)則是：三人同時伸“手心、手背”中的一種手勢，如果恰好有兩人伸出的手勢相同且與另一個人的手勢不同，那么這兩人上場，否則重新開始，這三人伸出“手心”或“手背”都是隨機(jī)的，請用畫樹狀圖的方法求小瑩和小芳打第一場的概率。

解析：此題屬于抽取放回三步隨機(jī)事件，適用樹狀圖法，（1）因為確定小亮打第一場，所以再從小瑩、小芳和大剛中隨機(jī)選取一人打第一場，恰好選中大剛的概率為三分之一；（2）畫樹狀圖如圖4，

所有等可能的情況有8種，其中小瑩和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且與大剛不同的結(jié)果有2種，則小瑩與小芳打第一場的概率為八分之二等于四分之一。

點撥：解答本題的關(guān)鍵是弄清楚試驗分幾步完成，還要弄清楚是屬于“放回”還是“不放回”的情形，注意不重不漏地列出所有可能情況，本題的易錯點是不能正確判斷出是幾步隨機(jī)事件，錯誤選用列表法，

七.用頻率估計概率

例7（2015·南通）在一個不透明的盒子中裝有a個除顏色外完全相同的球，這a個球中只有3個紅球，若每次將球充分?jǐn)噭蚝螅我饷?個球記下顏色再放回盒子，通過大量重復(fù)試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值約為（

），

A.12

B.15

C.18

D.21

點撥：用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率，關(guān)鍵是根據(jù)紅球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系，在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近。可以從比例關(guān)系入手，列出方程求解，

中考命題預(yù)測

1.下列說法屬于不可能事件的是（

），

A.四邊形的內(nèi)角和為360°

B.梯形的對角線不相等

C.內(nèi)錯角相等

D.存在實數(shù)x滿足x²+l=0

2.如圖5是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分為6個大小相同的扇形，指針的位置固定，轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止后，其中的某個扇形會恰好停在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€扇形的交線時，當(dāng)作指向右邊的扇形），指針指向陰影區(qū)域的概率是（

），

4.如圖6，有一個質(zhì)地均勻的正四面體，其四個面上分別畫著圓、等邊三角形、菱形、正五邊形，投擲該正四面體一次，向下的一面的圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是（

），

5.若十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字、百位上的數(shù)字都大的三位數(shù)叫作中高數(shù)，如796就是一個“中高數(shù)”，若十位上數(shù)字為7，則從3、4、5、6、8、9中任選兩數(shù)，與7組成“中高數(shù)”的概率是（

），

6.用2，3，4三個數(shù)字排成一個三位數(shù)，則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為

，

7.一個不透明的盒子里裝有除顏色外無其他差別的白珠子6顆和黑珠子若干顆，每次隨機(jī)摸出一顆珠子，放回?fù)u勻后再摸，通過多次試驗發(fā)現(xiàn)摸到白珠子的頻率穩(wěn)定在O.3左右，則盒子中黑珠子可能有___顆，

8.A、B、C三人玩籃球傳球游戲，游戲規(guī)則是：第一次傳球由A將球隨機(jī)地傳給B，C兩人中的某一人，以后的每一次傳球都是由上次的傳球者隨機(jī)地傳給其他兩人中的某一人，

（1）求兩次傳球后，球恰在B手中的概率，

（2）求三次傳球后，球恰在A手中的概率。