第8講“動手操作問題”精講

汪國剛

專題精講

動手操作問題是指通過動手操作對某種現(xiàn)象獲得感性認(rèn)識，再利用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行思考、探索和解決的一類問題，這類問題通常以折疊、剪拼、操作探究等形式出現(xiàn)，具有較強(qiáng)的實踐性，能夠有效考查同學(xué)們的實踐能力、創(chuàng)新能力和直覺思維能力、發(fā)散思維能力等綜合素質(zhì)。

解答動手操作問題的關(guān)鍵是要學(xué)會自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去觀察、分析、抽象、概括所給的實際問題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)問題，解答實踐操作題的基本步驟為：從實例或?qū)嵨锍霭l(fā)，通過具體操作實驗，發(fā)現(xiàn)其中可能存在的規(guī)律，提出問題，檢驗猜想，在解答過程中一般需要經(jīng)歷操作、觀察、思考、想象、推理、探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納等實踐活動過程，利用自己已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識去感知發(fā)生的現(xiàn)象，從而發(fā)現(xiàn)所得到的結(jié)論。進(jìn)而解決問題，

點(diǎn)撥：對于幾何問題中求線段之和最小值，通常只有兩種模型，即“將軍飲馬”和“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)兩點(diǎn)在直線同側(cè)時，運(yùn)用前者；當(dāng)兩點(diǎn)分別在直線異側(cè)時，運(yùn)用后者，通常情況下，求三角形的周長最小值以及求四邊形的周長最小值往往也是轉(zhuǎn)化為上述兩種模型。

折疊是圖形操作問題中的重頭戲，其本質(zhì)就是軸對稱，在解決折疊問題時，要注意折疊前后的不變量，包括邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)系等，掌握折疊性質(zhì)是解題的突破口，找出折疊前后圖形中的不變量及全等圖形是解決問題的關(guān)鍵，

點(diǎn)撥：本題是一道剪拼操作問題，解題過程中運(yùn)用到平行四邊形性質(zhì)、平移性質(zhì)、矩形和菱形的判定，

剪與拼是最基本的操作問題，在數(shù)學(xué)方面就是將圖形分割然后重新組合，解決這類問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫出圖形，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化和分類討論思想，避免漏解，

點(diǎn)撥：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同時也考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，學(xué)具操作問題就是用三角板、量角器等學(xué)習(xí)工具進(jìn)行擺放，或按設(shè)定規(guī)則進(jìn)行圖形變換等操作方式所形成的簡單數(shù)學(xué)問題，這種試題在操作問題中較為典型，是中考熱點(diǎn)問題，解題時要充分利用圖形特有的性質(zhì)，仔細(xì)觀察圖形變化過程，從而為問題的解決找到突破口。

（2）猜想證明：在圖7的情況下，把直線L向上平移到如圖8的位置，試問：（1）中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由，

點(diǎn)撥：第（1）題是幾何變換綜合題，考查分析推理能力、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，從圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力；第（2）題考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用。

操作探究問題是指通過動手測量、作圖、取值、計算等操作，猜想獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的探索研究性活動，實現(xiàn)對題意的理解，解決這類問題需要通過觀察、操作、對比、猜想、分析、綜合、抽象和概括等實踐活動和思維過程，從特殊到一般去研究，有時還要用已學(xué)知識加以論證探究所得結(jié)論。

5.如圖18，小明家的住房平面圖呈長方形。被分割成3個正方形和2個長方形后仍是中心對稱圖形，若只知道原住房平面圖長方形的周長，則分割后不用測量就能知道周長的圖形標(biāo)號為（

），

A.①②

B.②③

c.①③

D.①②③

6.[問題提出]用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？

[問題探究]不妨假設(shè)能搭成m種不同的等腰三角形，為探究m與n之間的關(guān)系，我們可以先從特殊人手，通過試驗、觀察、類比、最后歸納、猜測得出結(jié)論，

[探究一]

（1）用3根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

此時，顯然能搭成一種等腰三角形，所以，當(dāng)n=3時，m=1，

（2）用4根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況，不能搭成三角形，所以，當(dāng)n=4時，m=0

（3）用5根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒。則不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒。則能搭成一種等腰三角形，所以，當(dāng)n=5時，m=1，

（4）用6根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，則不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當(dāng)n=6時，m=1，

[探究二]

（1）用7根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？（仿照上述探究方法，寫出解答過程，并將結(jié)果填在表2中）

（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？（只需把結(jié)果填在表2中）

你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續(xù)進(jìn)行探究，

[問題解決]用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（設(shè)n分別等于4k-1，4K，4k+l，4k+2，其中K是正整數(shù)，把結(jié)果填在表3中）

[問題應(yīng)用]用2016根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形（寫出解答過程）？其中面積最大的等腰三角形每腰用了根木棒。（只填結(jié)果）