第8講“動手操作問題”精講

汪國剛

專題精講

動手操作問題是指通過動手操作對某種現象獲得感性認識，再利用數學知識進行思考、探索和解決的一類問題，這類問題通常以折疊、剪拼、操作探究等形式出現，具有較強的實踐性，能夠有效考查同學們的實踐能力、創新能力和直覺思維能力、發散思維能力等綜合素質。

解答動手操作問題的關鍵是要學會自覺地運用數學知識去觀察、分析、抽象、概括所給的實際問題，揭示其數學本質，并轉化為我們所熟悉的數學問題，解答實踐操作題的基本步驟為：從實例或實物出發，通過具體操作實驗，發現其中可能存在的規律，提出問題，檢驗猜想，在解答過程中一般需要經歷操作、觀察、思考、想象、推理、探索、發現、總結、歸納等實踐活動過程，利用自己已有的生活經驗和數學知識去感知發生的現象，從而發現所得到的結論。進而解決問題，

點撥：對于幾何問題中求線段之和最小值，通常只有兩種模型，即“將軍飲馬”和“兩點之間線段最短”，當兩點在直線同側時，運用前者；當兩點分別在直線異側時，運用后者，通常情況下，求三角形的周長最小值以及求四邊形的周長最小值往往也是轉化為上述兩種模型。

折疊是圖形操作問題中的重頭戲，其本質就是軸對稱，在解決折疊問題時，要注意折疊前后的不變量，包括邊與邊的關系、角與角的關系等，掌握折疊性質是解題的突破口，找出折疊前后圖形中的不變量及全等圖形是解決問題的關鍵，

點撥：本題是一道剪拼操作問題，解題過程中運用到平行四邊形性質、平移性質、矩形和菱形的判定，

剪與拼是最基本的操作問題，在數學方面就是將圖形分割然后重新組合，解決這類問題的關鍵是能夠根據題意畫出圖形，注意運用轉化和分類討論思想，避免漏解，

點撥：本題考查了旋轉的性質，同時也考查了相似三角形的性質與判定，學具操作問題就是用三角板、量角器等學習工具進行擺放，或按設定規則進行圖形變換等操作方式所形成的簡單數學問題，這種試題在操作問題中較為典型，是中考熱點問題，解題時要充分利用圖形特有的性質，仔細觀察圖形變化過程，從而為問題的解決找到突破口。

（2）猜想證明：在圖7的情況下，把直線L向上平移到如圖8的位置，試問：（1）中的PA與PB的關系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由，

點撥：第（1）題是幾何變換綜合題，考查分析推理能力、分類討論思想、數形結合思想，從圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應的問題的能力；第（2）題考查了直角三角形的性質和應用。

操作探究問題是指通過動手測量、作圖、取值、計算等操作，猜想獲得數學結論的探索研究性活動，實現對題意的理解，解決這類問題需要通過觀察、操作、對比、猜想、分析、綜合、抽象和概括等實踐活動和思維過程，從特殊到一般去研究，有時還要用已學知識加以論證探究所得結論。

5.如圖18，小明家的住房平面圖呈長方形。被分割成3個正方形和2個長方形后仍是中心對稱圖形，若只知道原住房平面圖長方形的周長，則分割后不用測量就能知道周長的圖形標號為（

），

A.①②

B.②③

c.①③

D.①②③

6.[問題提出]用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？

[問題探究]不妨假設能搭成m種不同的等腰三角形，為探究m與n之間的關系，我們可以先從特殊人手，通過試驗、觀察、類比、最后歸納、猜測得出結論，

[探究一]

（1）用3根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

此時，顯然能搭成一種等腰三角形，所以，當n=3時，m=1，

（2）用4根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況，不能搭成三角形，所以，當n=4時，m=0

（3）用5根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒。則不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒。則能搭成一種等腰三角形，所以，當n=5時，m=1，

（4）用6根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，則不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當n=6時，m=1，

[探究二]

（1）用7根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？（仿照上述探究方法，寫出解答過程，并將結果填在表2中）

（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？（只需把結果填在表2中）

你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續進行探究，

[問題解決]用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（設n分別等于4k-1，4K，4k+l，4k+2，其中K是正整數，把結果填在表3中）

[問題應用]用2016根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形（寫出解答過程）？其中面積最大的等腰三角形每腰用了根木棒。（只填結果）