第9課“猜想驗證性問題”復習精講

劉振超

專題精講

猜想驗證是一種重要的數學思想方法，猜想驗證問題給出的背景或條件是特定的，這些特定的背景或條件包括以下幾個方面：有規律的數與式、等式，具有某種特征的圖形、圖表或流程圖，特定的生活情景、數學問題等，一種情況是要求同學們從已知的個例中，通過觀察、分析和比較，歸納出探究對象所具有一般規律或不變的結論，它能夠揭示數學的本質，這些規律或結論可進一步指導我們解決相關的實際問題，它體現了“特殊→一般→特殊”的數學思想：另一種情況是要求同學們從一個問題的解題策略或結論，類比猜想出另一個相似問題的解題策略或結論，它體現了“轉化”的數學思想，旨在讓同學們學會知識的遷移，猜想驗證問題在中考的選擇、填空或解答題中均有考查，在選擇題、填空題中以代數方面為主，在解答題中以幾何方面為主，分值占到5%左右，

重點題型例新

一.數、式規律猜想型

數、式規律猜想型問題，通常給出一些數字、代數式、等式或不等式，要求猜想其中蘊涵的規律，解決此類問題的方法是：先寫出數或式的基本結構，然后橫比，即比較同一數或式中不同部分之間的數量關系，再縱比，即比較相鄰數或式在相同位置的數量關系，找出各部分的共同特征，即各部分與對應序號的關系，對于有規律循環的要找出“循環節”，最后用字母代替數，即找到了規律。

點撥：當按某個規則算出一列數時，這列數常按某一循環節循環，解答時我們應多算各項，直到“循環節”出現為止，計算應仔細，如果計算錯誤就會找不出“循環節”，或找錯“循環節”。

點撥：觀察等式規律，著重分析以下三個方面：一是同一等式結果的各部分之間的數量關系；二是從上一個結果到下一個結果是如何變化的：三是每一個等式的結果與對應序號之間的數量關系，

二.圖形、坐標規律猜想型

解決圖形規律猜想問題，需要從簡單的圖形人手，抓住隨著“編號”或“序號”的增加，后一個圖形與前一個圖形相比，在數量上增加（或倍數）情況的變化，把圖形變化規律轉化為數字變化規律，對于點的坐標規律猜想問題，主要觀察點的橫坐標和縱坐標隨“序號”的增加，它們與序號之間的數量關系，如果點的坐標循環出現，要把“循環節”找出來。

例3（2015·山西）如圖1是一組有規律的圖案，它們是由邊長相同的正方形和正三角形鑲嵌而成，第（1）個圖案有4個三角形，第（2）個圖案有7個三角形，第（3）個圖案有10個三角形，…，依此規律，第n個圖案有___個三角形，（用含n的代數式表示）

解析：找出1與4，2與7，3與10，…之間的數量關系，然后用n代替序數可得到第n個圖案的三角形個數。

第（1）個圖案有4個三角形，4=3xl+1；第（2）個圖案有7個三角形，7=3x2+1；第（3）個圖案有10個三角形，10=3x3+1；…，故第n個圖案有（3n+1）個三角形，

點撥：對于圖形規律型問題既可以從結果的數字上進行分析，也可直觀地觀察圖形，看圖形是如何變化的，如本題，若把第1個圖案看作在1個正三角形的基礎上增加了3個正三角形和1個正方形，我們發現，以后每次構圖都是這樣的，由此也可以得到答案，

例4（2015·濟南）在平面直角坐標系中有三個點A（1，-1）、B（-1，-1）、C（0，1），點P（0，2）關于A的對稱點為Pl，P1關于B的對稱點為P2，P2關于C的對稱點為P3，按此規律繼續以A、B、C為對稱中心重復前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，則點P2015的坐標是（

），

A.（O，O）

B.（0，2）

C.（2，-4）

D.（-4，2）

解析：按照操作的規則找出前面幾個點的坐標，觀察橫、縱坐標變化規律，若出現循環，則把“循環節”找出來，

因點P（0，2）關于A的對稱點為Pl，點A（1，-1），故根據中點坐標公式，得P1（2，-4），同理可得P2（-4，2），P3（4，0），P4（-2，-2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，-4），…，我們發現，每6個點循環一次，“循環節”為P1（2，-4），P2（-4，2），P3（4，0），P4（-2，2），B（0，O），R（0，2），因2015÷6=335余5，故點P2015的坐標是（0，0），故詵A，

三.方法類比猜想型

此類試題的特點是給出一個問題的解題過程，讓我們嘗試解決另一個相似的問題，解題策略是：首先要領會已給出的解答過程的思想內涵，然后找出前后兩個問題的相似之處，一方面借鑒，另一方面適當變通，

點撥：當待求關系式與示例的關系式形式不一樣時，我們要嘗試進行變形，至于如何變形才算形式一致呢？這需要我們在類比猜想中思考已知形式的本質所在，如本題，就是要變形為自變量與自變量倒數的和的形式，

中考命題預測

1.公務員行政能力測試中有一類圖形規律題，可以運用我們初中數學中的圖形變換再結合變化規律來解決，圖2中問號格內的圖形應該是（

），

2.如圖3都是由同樣大小的棋子按一定的規律組成，其中第①個圖形有1顆棋子，第②個圖形一共有6顆棋子，…，則第⑦個圖形棋子的個數為（

），

（1）當點E在線段BC的延長線上時，如圖5②，試探究線段BE、BM、CF之間有怎樣的數量關系，

（2）當點E在線段CB的延長線上時，如圖5③，線段BE、BM、CF之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，不需要證明。