分類討論講策略 解題之后需反思

許毓桐　姜慧玲　龐彥福

暑假期間，我在做“華羅庚金杯”少年數學邀請賽初賽試卷時遇到一個問題：

方程|x-5|+4|y+2|=10的整數解共有（ ）。

A.4個 B.8個 C.10個 D.16個

顯然，這是一個與二元一次方程的解、絕對值的應用有關的問題，是我們學過的內容。

根據絕對值的意義，可知|x-5|≥0，|y+2|≥0。于是先由|x-5|≥0（x為整數）想到|x-5|的值有11種情況。即|x-5|=0或|x-5|=1或|x-5|=2或|x-5|=3或|x-5|=4或|x-5|=5或|x-5|=6或|x-5|=7或|x-5|=8或|x-5|=9或|x-5|=10。這樣就得到x的整數值共有21個。把x所有可能的整數值一個一個找出來后，再分別求出對應的y值，然后結合題目條件排除y的非整數值，就能得到方程的整數解共有10個。

正當我為自己能解決競賽題而高興時，突然想到：這又不是后面的大題，怎么可能會如此麻煩呢？難道自己走了彎路嗎？還是再檢查檢查吧。

|x-5|是非負數，|y+2|也是非負數，|x-5|與4|y+2|的和為10，x、y為整數，所以|x-5|的值應該有11種情況，嗯，是做到不重不漏了。而對于4|y+2|，它的值不僅是非負數，而且還應當是整數。噢，知道了！根據題意，不能將4|y+2|分開，而要將其作為一個整體來考慮。

對于式子|x-5|+4|y+2|=10。如果從|x-5|人手，x取整數時，它的值確實有11種情況，得出x的整數值有21個，這雖然是正確的。卻并不簡捷。如果從4|y+2|開始考慮的話，|x-5|的值的情況就比較少了，從而可以減少解題步驟。y為整數，則4|y+2|的值只能有3種情況，即4|y+2|=0或4|y+2|=4或4|y+2|=8，從而可以得到y有5個整數值，接下來求出對應的x的整數值，這樣既做到了不重不漏，又減少了麻煩。

解：由|x-5|+4|y+2|=10，x，y為整數，可得4|y+2|=0或4|y+2|=4或4|y+2|=8。

當4|y+2|=0時，|x-5|=10。于是解得x=15，y=-2；或X=-5。y=-2。

當4|y+2|=4時，|x-5|=6。于是解得x=11。y=-1；或x=11，y=-3；或x=-1，y=-1；或x=-|，y=-3。

當4|y+2|=8時，|x-5|=2。于是解得x=7，y=-4；或x=7，y=0；或x=3，y=-4；或x=3，y=0。

所以該方程的整數解共有10個。

指導老師點評：學習數學。一定要注重理解。對于所學知識理解了，掌握了，解決問題也就有了方法，有了策略。解題講究方法與策略。就能減少不必要的麻煩。解題后要多反思，將好的方法借鑒、應用到以后的學習中。解題不僅要保證正確，還要追求簡捷。

責任編輯：潘彥坤