復合材料層合板結構沖擊損傷數值模擬的損傷力學模型

劉向民， 姚衛星， 陳方

1.南京航空航天大學 飛行器先進設計技術國防重點學科實驗室， 南京 210016 2.南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室， 南京 210016

復合材料層合板結構沖擊損傷數值模擬的損傷力學模型

劉向民1， 姚衛星2,*， 陳方1

1.南京航空航天大學 飛行器先進設計技術國防重點學科實驗室， 南京 210016 2.南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室， 南京 210016

針對復合材料結構低速沖擊損傷問題，基于連續損傷力學提出了一種動力學沖擊條件下的三維損傷數值模型。模型中區分了層內損傷(纖維拉伸與壓縮失效、纖維間拉伸與壓縮失效)和層間分層損傷不同的失效模式。采用三維Puck失效準則與考慮壓縮抑制效應的Aymerich準則對上述兩類損傷進行判定，材料失效后基于連續損傷力學中線性軟化模型對材料損傷進行演化。模型中考慮了復合材料層合板結構中子層的就位效應和損傷分析中的“連鎖效應”。通過對Shi的沖擊試驗進行數值模擬，模型預測的沖擊接觸載荷、分層形狀和尺寸與試驗結果吻合較好，證明了所提出的數值模型對復合材料層合板結構低速沖擊損傷預測的有效性。

復合材料； 低速沖擊； 漸進損傷演化； Puck失效準則； 連鎖效應

先進復合材料具有比強度和比剛度高、可設計性強、抗疲勞性能好等優點，在航空航天等領域得到了廣泛應用。然而復合材料對沖擊載荷比較敏感，在低速沖擊載荷作用下，復合材料結構內部很容易出現目視不可檢的基體裂紋和分層等損傷，會使層合板的強度削弱35%～40%[1]，嚴重影響結構的安全使用。因此，復合材料結構的沖擊損傷問題一直是國內外學者研究的一個重要內容。

考慮到沖擊試驗耗時長、成本高，并且無法呈現沖擊損傷的萌生與擴展的全過程，國內外許多學者采用有限元技術研究低速沖擊損傷。目前，低速沖擊損傷數值模擬的有限元模型主要分為準靜態模型和動力學模型兩類。準靜態模型忽略了沖擊載荷作用下結構的慣性效應，假設結構在沖擊載荷作用下與最大沖擊力的靜載荷引起的應力與應變相同，將沖擊動力學問題簡化為靜力問題，采用靜態最大沖擊力作用于結構進行沖擊損傷模擬。Swanson[2]和Sun[3]等認為大質量低速沖擊問題可以看做是準靜態問題，de Mouta[4]、Wisheart[5]、張海波[6]和彭文杰[7]等建立了準靜態模型模擬沖擊損傷，模型計算效率高，能夠較好地預測分層形狀，但對分層尺寸的預測精度有待進一步證實。動力學模型中建立了帶質量和速度的沖頭模型以及沖頭與結構之間的接觸模型，實時計算沖擊接觸載荷與結構的動力學響應，進而用于結構損傷分析與演化。此模型考慮了結構的慣性效應，能夠實現對沖擊動力學問題的真實模擬，因此得到廣泛應用。Choi[8]、Hou[9]和徐穎[10]等基于有限元應力建立的動力學模型只能預測損傷的萌生，無法模擬分層損傷的擴展行為。Aymerich[11]、Shi[12]和朱煒垚[13]等基于損傷力學建立的模型中采用連續界面元實現了對分層損傷萌生與擴展的模擬，且Shi等[12]采用了基于潛在斷裂面應力判定基體壓縮失效的Puck失效準則，而后陳普會[14]和Singh[15]等也將Puck失效準則用于沖擊損傷預測模型中。以上大部分學者的模型未考慮層合板中子層的就位效應，但事實上復合材料存在橫向就位效應和剪切就位效應有堅實的物理基礎，并已被廣泛認同。此外，以上學者的動力學模型并未對沖擊接觸時間與沖擊波傳播時間的關系進行協調。

基于以上考慮，本文基于連續損傷力學提出了一種復合材料結構動力學沖擊條件下損傷預測的三維損傷數值模型。模型區分為纖維拉伸/壓縮失效、纖維間拉伸/壓縮失效4種層內損傷以及層間分層損傷，失效判定時考慮了就位效應對強度的影響。采用三維Puck失效準則與考慮壓縮抑制分層的Aymerich失效準則判定層內損傷與層間損傷的萌生，采用線性軟化模型對失效單元進行材料性能演化。模型中引入再平衡次數m對沖擊接觸時間和沖擊波在結構中傳播的時間進行協調。采用ABAQUS顯示求解器結合自編的VUMAT子程序實現了復合材料結構沖擊損傷的數值模擬，將數值計算結果與試驗結果對比，驗證了該模型對沖擊損傷預測的可行性。

1 沖擊損傷模型

復合材料層合板結構在低速沖擊載荷作用下產生的損傷形式可分為層內損傷與層間損傷。為了準確地模擬這兩類損傷，在沖擊損傷模型中，將層合板的每個子層等效為正交各向異性體，采用3D實體單元模擬，相鄰子層之間則采用3D帶厚度界面元模擬；將沖擊物等效為帶質量的剛體。利用ABAQUS的接觸模型計算沖擊接觸載荷P，基于顯式動力學方法對復合材料結構進行瞬態應力、應變分析，結合VUMAT子程序對材料進行損傷分析與損傷演化。

在靜力學損傷分析時，當局部材料發生失效后，需要在當前載荷下對帶有局部失效的結構重新建立平衡方程，并重新進行損傷分析，判斷結構在當前載荷下是否發生因“連鎖破壞”[16]而導致的結構完全失效。沖擊問題是一個連續加載的過程，時間非常短暫，應力波在復合材料中傳播時間更短，本文認為沖擊損傷模型中需要考慮一定程度的“連鎖破壞”，但又不應完全考慮，于是提出一種通過控制重構平衡方程次數的方法來控制受沖擊結構的“連鎖破壞”程度。采用如圖1所示的沖擊損傷數值模擬流程實現對復合材料結構沖擊損傷的數值模擬。

圖1 沖擊損傷數值模擬流程圖Fig.1 Flowchart for simulating impact damage

在流程圖中，Damage state、Strain & Stress、Damage initiation、Damage growth、Material degradation以及Rebalancing times子模塊均由VUMAT子程序實現，其余子框圖由ABAQUS軟件實現。

1.1 層內失效準則

層內損傷主要分為纖維拉伸失效、纖維壓縮失效、纖維間拉伸失效與纖維間壓縮失效4種失效模式，采用區分失效模式的三維Puck[17]失效準則判定沖擊載荷引起的各類層內損傷。

纖維失效主要是由平行于纖維方向上的應力σ1(或應變)引起的，通常可以采用簡單的最大應力(或應變)準則作為纖維失效的判定準則。Puck認為垂直于纖維方向上的應力σ2和σ3的泊松效應會在纖維方向產生一個附加的微應變，樹脂中的應力非均勻分布使得局部的泊松效應被放大，因此對最大應力準則進行了改進，見式(1)和式(2)。對于沖擊問題，厚度方向上的應力不可忽略，因此本文考慮泊松效應對纖維失效的影響，分別采用式(1)和式(2)判定纖維拉伸失效與壓縮失效，當應力嚴重系數fE,FFT(或者fE,FFC)大于等于1時，纖維拉伸(或者壓縮)失效發生。

[?]≥0

(1)

[?]<0

(2)

式中：σ1、σ2和σ3分別為單層自然坐標系下材料主方向上的有效應力；υ12和υ12f分別為單向板面內主泊松比和纖維的泊松比；E1和E1f分別為單向板縱向模量和纖維縱向模量；XT和XC分別為纖維方向上單向板的縱向拉伸強度和壓縮強度；mσf為泊松效應放大因子，Puck建議對玻璃纖維復合材料取mσf=1.3，對碳纖維復合材料取mσf=1.1；[?]為式中中括號內的表達式。

對于纖維間失效的預測，采用Puck基于Mohr和Coulomb理論提出的具有物理含義的纖維間失效準則判定，該準則認為纖維間失效與否與潛在斷裂面上的應力相關，層合板中某一子層的應力狀態以及潛在斷裂面的定義如圖2所示，潛在斷裂面上的法向應力σn(θ)和剪應力σn t(θ)、σn1(θ)由式(3)求解。

(3)

式中：θ為σ2作用面繞著纖維方向逆時針旋轉到斷裂面的旋轉角度；τij為i方向和j方向間的剪應力，i為剪應力矢量作用面。

圖2 子層應力狀態與斷裂面Fig.2 Intralaminar stress and fracture plane

考慮到斷裂面法向拉伸(或壓縮)應力對纖維間失效的促進(或抑制)作用，Puck給出了纖維間失效準則表達式(見式(4)和式(5))，當應力危險系數fE,IFFT(或者fE,IFFC)大于等于1時，纖維間拉伸(或者壓縮)失效發生。

σn≥0

(4)

fE,IFFC(θ)=

(5)

表1典型纖維增強復合材料(FRP)斜率參數[18]

Table1Inclinationparametersfortypicalfiberreinforcedpolymer(FRP)[18]

φ=60%pT⊥‖pC⊥‖pT⊥⊥pC⊥⊥GFRP/Epoxy0．300．250．20?0．250．20?0．25CFRP/Epoxy0．350．300．25?0．300．25?0．30

考慮層合板中子層的就位效應時，按照Chang等[19]提出的經驗公式確定各子層的橫向就位拉伸強度YT,is與面內就位剪切強度S12,is。

(6)

式中：YT和S12分別為單向板的橫向拉伸強度與面內剪切強度；M為子層的鋪層數；Δθa和Δθb分別為子層與上鋪層和下鋪層的夾角；A、B、C和D為材料常數。

在復雜受力情況下，纖維間失效的潛在斷裂面很難人為判斷，文獻[20]提出了一種尋找斷裂面的方法。該方法將子層繞著纖維方向旋轉180°(見圖2)進行劃分，得到180個纖維間應力作用面，然后在θ∈[0°，180°]的范圍內對應力危險系數進行搜索，尋找應力危險系數fE,IFF最大時所對應的角度θ，此角度所對應的載荷作用面即潛在纖維間失效斷裂面。

1.2 層內損傷演化

當材料滿足損傷準則發生失效后，損傷區域內的材料性能相應地進行折減。對于纖維失效模式，考慮到纖維脆性較強，在失效時，能量瞬間釋放，本文采用直接折減策略對材料的彈性常數進行退化。纖維拉伸失效后，直接將E11、G12和G13退化為初始值的0.07倍；纖維壓縮失效后，直接將E11、G12和G13退化為初始值的0.14倍[21]。

對于纖維間失效，本文采用線性軟化[22-23]模型描述失效后的材料性能，基于臨界能量釋放率準則判定損傷的擴展。纖維間失效后，將彈性模量E22、E33、G12、G23和G13折減為初始值的1-d倍，損傷狀態變量d由式(7)計算。

(7)

式中：ε為斷裂面上的等效應變，由式(8)計算；ε0為損傷萌生時斷裂面上的等效應變；εf為最終完全失效時斷裂面上的等效應變。

(8)

式中：εn、εn t和εn 1分別為斷裂面上的等效法向應變與剪切變，可由應變轉軸式(9)確定。

(9)

損傷萌生時斷裂面上的等效應變ε0為應力嚴重系數等于1時所對應的應變，可以近似采用式(10)計算。

ε0=

(10)

纖維間損傷萌生后，隨著載荷不斷增加，單元的能量釋放率不斷提高，當單元的能量釋放率等于臨界釋放率時，材料完全失效，此時斷裂面上的等效應變為εf。因此，εf可以由由臨界釋放率準則確定，本文基于二次的混合模式能量釋放率準則給出了εf的表達式為

εf=

(11)

由纖維間損傷演化策略可以看出，當材料完全失效時，損傷狀態變量d=1，對應的材料性能退化為0，這會引起材料的剛度矩陣奇異，造成數值求解困難。為了避免此問題，定義最大損傷狀態變量max(d)=0.99。當材料出現多種失效模式時，對材料的性能進行重復退化。

1.3 層間損傷

對于層間損傷，采用既能預測分層損傷萌生，又能模擬分層擴展的雙線性黏聚區模型來模擬。采用基于應力形式的Aymerich[11]失效準則作為分層損傷萌生的條件，該準則考慮了界面元厚度方向上壓應力對分層的抑制作用，表達式如式(12)所示。損傷萌生后，材料的性能按照線性軟化模型進行退化，采用混合模式的B-K能量釋放率準則[24]預測分層的擴展，B-K能量釋放率準則表達式如式(13)所示，當材料的釋放率達到臨界釋放率時，材料完全失效。

(12)

(13)

式中：N和S分別為層間界面的拉伸強度與剪切強度；tn、ts和tt分別為粘結元法向應力與兩個方向上的剪應力，可由式(14)計算；η為B-K能量釋放率準則系數。

(14)

式中：Kn n、Ks s和Kt t為層間界面元3個方向上的剛度；δn、δs和δt為界面元在3個方向上的相對位移；d為損傷參量，可由式(15)確定。

(15)

δf=

(16)

1.4 參數m的確定

復合材料結構沖擊問題是一個連續加載的過程，沖擊接觸時間Timpact往往非常短暫，通常在10 ms 以內。沖擊引起的應力波在復合材料中傳播的時間更短，本文通過計算沖擊接觸時間與沖擊波的傳播時間來確定再平衡次數m，從而考慮分析過程中的“連鎖破壞”。

在各向同性介質中，波速V取決于材料的彈性模量E、泊松比υ和密度ρ，可由式(17)確定[25]。

(17)

對于復合材料結構，本文認為某個方向上波速近似是不變的，文中取2方向上的波速計算沖擊波的傳播時間T傳播，用于確定參數m。式(17)中取E=E2，泊松比υ=υ12，密度ρ為單向板的密度。文中忽略了損傷演化過程中材料性能變化對波速的影響。

T傳播=L*/V

(18)

式中：L*為受沖擊點沿著2方向至約束邊界的最小距離，其傳播時間T傳播通常在10-2ms量級。由此可確定參數m為

(19)

式中：NI代表時間增量步的總步數，本文中相關模型的NI值為100。

2 算例分析

2.1 分析對象

Shi等[12]對碳纖維環氧樹脂復合材料層合板進行了沖擊試驗，其層合板的鋪層為[0/90]2S，試件的基本尺寸為100 mm×100 mm×2 mm，復合材料單向板與界面元的材料參數見如表2和表3所示。進行沖擊試驗時，采用上下兩塊帶直徑為75 mm 圓孔的鋼板將試驗件加緊，將頭部為鋼制半球形的落錘從0.75 m高度自由下落對試件進行沖擊，錘頭的直徑為15 mm。落錘質量為2 kg時對應的沖擊能量為14.7 J。

表2 單向板的材料性能[12]Table 2 Material properties of unidirectional laminate[12]

表3層間界面元參數[12]

Table3Materialpropertiesofinterfacecohesiveelement[12]

Knn/(GPa·mm-1)Kss/(GPa·mm-1)Ktt/(GPa·mm-1)NST1373．3493．3493．362．392．392．3GIC/(J·m-2)GIIC/(J·m-2)GIIIC/(J·m-2)η2807907901．45

2.2 有限元模型

圖3 三維有限元模型Fig.3 Three-dimensional finite element model

本算例的沖擊損傷三維數值模型如圖3所示。模型將受沖擊層合板簡化為圓周固支的圓板，直徑為75 mm。單向板與層間界面元均采用八節點三維實體單元表征，單向板每層厚度為0.25 mm，界面元每層厚度為0.01 mm。假設相同鋪設角度的層間不發生分層，故鋪設角度相同的層間不建立界面元。將沖頭簡化為不變形的剛體，采用三維解析剛體殼模擬，通過賦予其不同的質量與速度可以實現不同能量的沖擊模擬。沖頭與層合板之間的接觸載荷采用ABAQUS自帶的面面接觸模型計算，考慮接觸面之間的摩擦，接觸面之間動靜摩擦系數分別取0.25和0.30。

文獻[19]中通過試驗研究了T300/976和T300/934層合板中子層的就位效應，確定了就位強度參數的取值，即A=1.3，B=0.7，C=2.0，D=1.0。在缺失相關試驗的情況下，對于碳纖維環氧樹脂復合材料結構，文中直接引用文獻[19]中的就位強度參數。模型中特征距離L*=37.5 mm，由式(17)可知2方向的波速約為2 537 m/s，故T傳播約為1.48×10-2ms。根據Shi的試驗結果[12]可知沖擊接觸時間Timpact約為5 ms，由式(19)可知再平衡次數為m=3。

2.3 結果與討論

通過ABAQUS/Explicit求解器結合自編的VUMAT實現了對上述算例沖擊損傷的數值模擬，獲得了沖擊載荷-時間歷程以及各類損傷的情況，下面逐一地將其與試驗結果對比，并對模型的預測效果進行分析。

圖4 沖擊載荷-時間歷程Fig.4 Impact load-time histories

沖擊試驗獲得的載荷-時間歷程與數值模擬的結果如圖4所示，可以看出在不考慮就位強度時，數值模擬獲得的沖擊載荷-時間歷程與試驗結果存在較大誤差，且接觸峰值載荷僅為3 561 N，與試驗值的4 605 N存在較大誤差。考慮就位強度后，沖擊載荷-時間歷程與試驗結果更為契合，且峰值載荷提高到4 138 N，與試驗值更為接近，誤差為-10%。對比可知，就位效應對復合材料結構沖擊損傷分析具有較大的影響，在數值分析中考慮就位效應能夠獲得與試驗更為吻合的結果，這是因為就位效應使得子層的橫向拉伸強度與剪切強度增加，增加了單元的承載能力。在加載階段，同一時刻考慮就位效應時損傷單元較少，使得沖頭與結構層合板之間的接觸剛度增加，因而沖擊接觸載荷較大。

圖4還將本文模型的計算結果與Shi提出的模型[12]的計算結果進行了對比，Shi的模型預測的峰值載荷為3 917 N，與試驗結果的誤差為14.9%，與其相比，本文的模型對峰值載荷的預測精度提高了5%。

沖擊引起的復合材料結構損傷模式主要為基體開裂與分層，模型的預測結果與事實相符。除了基體開裂與分層外，預測結果中還存在少量的纖維斷裂損傷模式。圖5和圖6分別呈現了模型對基體開裂損傷和層間分層損傷的預測情況。

圖5中依次給出了沖擊接觸正面至背面基體裂紋的損傷情況，每一層基體裂紋損傷的形狀近似為橢圓形或者花生狀，損傷形狀的長軸大部分與鋪層方向垂直，基體裂紋擴展的方向基本上與每層的鋪設方向一致。從正面到背面，基體裂紋損傷呈現出逐漸增加的特點。

圖5 不同鋪層上的基體開裂損傷Fig.5 Matrix cracking damage at different layers

圖6中依次給出了沖擊接觸正面至背面層間分層的損傷情況，每一個界面層分層形狀近似為橢圓形，且損傷形狀的長軸方向與界面層下層纖維鋪設方向一致。從沖擊正面到背面，分層面積呈現增加的趨勢，與分層損傷從正面到背面呈喇叭狀相符。

圖6 不同層間界面元上的分層損傷Fig.6 Delamination damage at each interface

圖7 沖擊損傷的X射線圖Fig.7 X-ray radio graph of impact damage

圖7為采用滲透增強的X光成像技術獲得的沖擊試驗后的損傷情況，損傷形狀基本為橢圓形，損傷形狀的長軸方向與0°方向一致，長軸的長度約為43 mm，短軸的尺寸約為23 mm，近似橢圓形分層面積為777 mm2。圖6中各界面層的分層損傷投影后，損傷形狀中的長軸沿著0°方向，尺寸為36 mm，比試驗尺寸略小；短軸沿90°方向，尺寸為28 mm，比試驗值略大；近似橢圓形分層面積為792 mm2，比試驗值略大，誤差為1.93%。

上述計算結果與試驗結果的比較列于表4。

此外，文中還將模型預測的能量吸收曲線與試驗結果進行了對比，如圖8所示。

從圖8中可以看出，考慮就位效應后能量-時間歷程與試驗結果的吻合度變好，能量吸收值與試驗誤差也更小。能量時間曲線的沖擊階段與試驗曲線吻合較好，回彈階段與試驗結果存在一定偏差，使得整個沖擊過程中結構吸收的能量約為6.4 J，比試驗值的9.5 J偏小，導致計算結果偏小的主要原因有：① 與本文將沖頭等效為剛體不同，在實際情況中，沖頭本身也會發生變形并導致能量耗散，這部分耗散能被包含在試驗測量的沖擊能量吸收值中，從而使試驗值較數值模擬值偏高；② 本文模型中忽略了單向板與層間界面元之間的摩擦，因此沒有考慮這部分摩擦所造成的能量耗散，這也會導致沖擊能量吸收值較實際值偏少；③ 模型中忽略了層合板與試驗基礎間的摩擦能耗，以及沖擊過程中產生的熱能，這也會導致沖擊能量吸收值比實際值偏小。

表4數值模擬結果與試驗結果的比較

Table4Comparisonofnumericalresultsandexperimentalresults

MethodPeakload/NDelaminationsizeMajoraxis/mmMinoraxis/mmArea/mm2Experiment46054323777Simulation41383628792Error/%10．116．321．71．9

圖8 能量吸收曲線Fig.8 Curves of absorbed energy

3 結 論

1) 文中考察了層合板中子層的就位效應對數值模擬結果的影響，發現考慮就位效應的模型對沖擊載荷-時間歷程和能量吸收曲線的預測精度明顯高于不考慮就位效應時的結果。由此可以看出：與不考慮就位效應相比，考慮就位效應能夠獲得與試驗結果更為吻合的預測結果。

2) 模型預測的沖擊損傷形狀為橢圓形，與試驗掃描損傷形狀相同；模型預測的損傷面積與試驗誤差為1.9%，表明模型對橫向沖擊損傷形狀和面積預測精度較好。

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劉向民男，碩士研究生。主要研究方向：飛行器結構設計。

Tel.: 010-68376686

E-mail: xmliu_nuaa@163.com

姚衛星男，博士，教授，博士生導師。主要研究方向：飛行器綜合設計、飛行器結構設計。

Tel.: 025-84892177

E-mail: wxyao@nuaa.edu.cn

陳方男，博士研究生。主要研究方向：飛行器結構設計。

Tel.: 025-84892359

E-mail: tonycf.nuaa@nuaa.edu.cn

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160118.0928.004.html

Damagemechanicsmodelforsimulatingimpactresponsesofcompositelaminatedstructures

LIUXiangmin1,YAOWeixing2,*,CHENFang1

1.KeyLaboratoryofFundamentalScienceforNationalDefense-AdvancedDesignTechnologyofFlightVehicle,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China2.StateKeyLaboratoryofMechanicsandControlofMechanicalStructures,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China

Basedoncontinuumdamagemechanics,athree-dimensionaldamagemechanicsmodelwasproposedtosimulatelow-velocityimpactresponsesofcompositelaminatedstructuresundertheconditionofdynamic.Thismodeliscapabletopredictseveralpossiblein-planefailuremodes(e.g.,fibretensilefailure,fibercompressivefailure,interfibertensilefailureandinterfibercompressivefailure)andinterlaminarfailuremodes.Three-dimensionalPuckfailurecriterionwasusedtoconductin-planefailuredetermination,andAymerichfailurecriterionwasusedtoconductdelaminationfailuredetermination.Afterdamageinitiation,linear-softeningmodelwasusedtodescribematerialproperties’evolutionprocess.Inaddition,thelamina’sin-situeffectandstructures’chaindestructionwerealsotakenintoconsideration.Byusingthismodel,anumericalexamplewasfinished.Thefinalresultshowsthatthepredictedimpactload,delaminationshapeandsizehavearelativelygoodagreementwithShi’sexperimentaldata.Therefore,therationalityandeffectivenessofthedevelopednumericalmodelforpredictinglow-velocityimpactresponsesofcompositelaminatedstructuresareshown.

composites;low-velocityimpact;progressivedamageevolution;Puckfailurecriterion;chainreaction

2015-10-19；Revised2015-11-16；Accepted2015-12-17；Publishedonline2016-01-180928

NationalNaturalScienceFoundationofChina(11202098)

.Tel.：025-84892177E-mailwxyao@nuaa.edu.cn

2015-10-19；退修日期2015-11-16；錄用日期2015-12-17； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2016-01-180928

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160118.0928.004.html

國家自然科學基金 (11202098)

.Tel.：025-84892177E-mailwxyao@nuaa.edu.cn

劉向民， 姚衛星， 陳方． 復合材料層合板結構沖擊損傷數值模擬的損傷力學模型J． 航空學報,2016,37(10):3054-3063.LIUXM,YAOWX,CHENF.DamagemechanicsmodelforsimulatingimpactresponsesofcompositelaminatedstructuresJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(10):3054-3063.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2015.0345

V214.8

A

1000-6893(2016)10-3054-10