傅里葉級數求等周閉曲線的面積

周柯宇 朱兆全 嚴興杰

摘要：傅里葉級數在數學、物理、工程技術、信息處理等學科中發揮著重要的作用。本文主要考慮一個幾何問題，等周閉曲線的面積問題。應用傅里葉級數的方法，我們求證出等周閉曲線所圍面積中圓的面積最大，并給出了最大的面積值。

關鍵詞：傅里葉級數;等周閉曲線;圓面積

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2016）42-0194-02

法國數學家傅里葉發現傅里葉級數以來，關于級數理論的研究隨即走向了新的里程碑。在應用方面，傅里葉級數在電力工程、通信、控制領域、應用數學、物理及工業應用上都取得了輝煌的成就。本文主要給出一個傅里葉級數在幾何中應用的例子，應用傅里葉級數解決等周閉曲線面積問題。通過解決實際問題，進一步理解傅里葉級數的理論知識，為傅里葉級數的更廣泛的應用打下基礎。

一、預備知識

等周閉曲線，即周長相等的閉曲線。眾所周知，由等周閉曲線圍成的凸圖形中，圓的面積最大。這個問題早在古希臘時期就已提出。下面，我們利用數學分析中學過的傅里葉級數，證明等周閉曲線圍成的凸圖形中，圓的面積最大。

設Γ是平面內的一條閉曲線，在直角坐標系xoy中，x軸把曲線分成y=f（x）和y=g（x）（0≤x≤1）兩個連續的函數，且f（x）≥g（x），如下圖。令Ω表示兩個函數所圍的區域，即：

Ω={（x，y）：0≤x≤1，g（x）≤y≤f（x）}.

我們知道，積分h（x）dx表示的是連續函數h（x）與x軸所圍成的曲邊梯形面積，那么Ω的面積為

A= f（x）dx-g（x）dx. （1）

定義1.若在整個數軸上

f（x）=+（acosnx+bsinnx），

且等式右邊級數一致收斂，則有如下關系式：

a= f（x）cosnxdx，n=0，1，2…

b= f（x）sinnxdx，n=1，2…

定理1.如果f是以2π為周期且在[-π，π]上可積的函數，則可按公式計算出a，b，它們稱為函數f的傅里葉系數，以f的傅里葉系數為系數的三角級數稱為f的傅里葉級數，記作

f（x）～+（acosnx+bsinnx）.

定理2.應用歐拉公式e=cosx+isinx，傅里葉級數還可以寫成下面的形式：f（x）=ae.

引理1.設f（θ）是圓上的一個參數方程，且有f（θ）=ae，則有等式|a|=|f（θ）|dθ，此等式稱為Parseval等式.

二、問題的證明

假設γ（s）=（x（s），y（s）），s∈[-π，π]是曲線Γ的弧長參數方程，且對任意s∈[-π，π]，都有x′（s）+y′（s）=m，其中m為大于零的常數，則我們有

（x′（s）+y′（s））ds=m. （2）

由于x（s）和y（s）是2π為周期的函數，由定理1其傅里葉級數為

x（s）～∑ae，f（s）～∑be，g（s）～∑ce，

由于在成立區域上一致連續，則其一階導數為x′（s）～∑aine，f′（s）～∑bine，g′（s）～∑cine.

將Parseval恒等式帶到公式（2）有

|n|（|a|+|b-c|）=m. （3）

由公式（1），Ω的面積為：

A=| f（s）x′（s）ds-g（s）x′（s）ds|

=|（f（s）-g（s））x′（s）ds| （4）

因為x（s）和y（s）都是實值的，所以有a=，b-c=，又有|n|≤|n|，

|a-（b-c）|≤2|a||b-c|≤|a|+|b-c|，則由式（3）知

A=2π|∑（b-c）·n|=2π|n（bn-cn）|

≤π∑|n|2·2|a||b-c|

≤π∑|n|（|a|+|b-c|）=πm （5）

當A=πm時，要使|n|<|n|，只要n≥2即可，所以上式當且僅當n=1等號成立（此處不考慮n=0）.因此我們可得

x（s）=ae+a+ae，

f（s）-g（x）=（b-c）e+（b-c）+（b-c）e.

由于x（s）和y（s）都是實值的，故有a=，b-c=.

從恒等式（3）我們得到2（|a|+|b-c|）=m.在由（5）式知第二個等號成立的充要條件是|a|=|b-c|，所以得到|a|=|b-c|=.

不妨設a=e，b-c=e，事實上，m=2|a-（b-c）|，即|sin（α-β）|=1，因此有α-β=，k∈Z，x（s）=a+mcos（α+s），f（s）-g（s）=（b-c）±msin（α+s），其中f（s）-g（s）的符號取決于整數k.當等號成立時，曲線Γ是一個圓：

（x（s）-a）+（y（s）-（b-c））=m. （6）

又由于圓必過點（0，0）和（1，0），所以有

（0-a）2+（0-（b-c））2=m.（1-a）2+（0-（b-c））2=m.

解得a=.

下證b-c=0。用反證法，假設b-c≠0，則圓心為（，b-c），圓心到y軸距離為l=，半徑r=>l，則此圓與y軸相交，x取值范圍已經超出[0，1]，故有b-c=0。所以（6）式寫為

（x-）+y=m. （7）

將原點代入，可得m=。從而（7）式為：

（x-）+y=. （8）

三、總結

等周閉曲線的面積問題，其實一定程度上也是一種不等式問題，傅里葉級數在證明這類問題上有一定的優越性，且傅里葉級數是用三角函數來表示復雜函數，在某種程度上也簡化了證明過程。通過對等周閉曲線面積的求解和證明，我們更加深入地了解了傅里葉級數及其應用。傅里葉級數是一個重要的理論基礎，也是重要的工具，期望傅里葉級數在解決日常生活的問題中扮演越來越重要的角色。

參考文獻：

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[2]李文新，張大鵬，許卓群.基于傅里葉變換的掌紋識別方法[J].軟件學報，2002，（5）：11-18.

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Fourier Series and Other Peripheral Area of a Closed Curve of Demand

ZHOU Ke-yu，ZHU Zhao-quan，YAN Xing-Jie

（China university of mining science，Xuzhou，Jiangsu 221008，China）

Abstract：Fourier series in mathematics，physics，engineering technology，information processing and other subjects plays an important role.In this paper，we consider a geometry problem，such as weeks the area of the closed curve.Application of the Fourier series method，we prove the isoperimetric closed curve in the area around the area of a circle is the largest，and the area of the largest value is presented.

Key words：Fourier series;Isoperimetric closed curve;Circular area