不確定微觀結構復合材料的隨機均勻化熱性質

尤 芳,陳建軍,馬 娟,曹鴻鈞

(1.西安電子科技大學機電工程學院,陜西西安 710071; 2.西北農林科技大學機電工程學院,陜西楊凌 712100)

不確定微觀結構復合材料的隨機均勻化熱性質

尤 芳1,2,陳建軍1,馬 娟1,曹鴻鈞1

(1.西安電子科技大學機電工程學院,陜西西安 710071; 2.西北農林科技大學機電工程學院,陜西楊凌 712100)

將等效夾雜法和隨機因子法相結合,研究了單向纖維三維復合材料有效熱特性的隨機均勻化分析問題.充分考慮微觀結構形態和組成材料特性的隨機性及參數之間的相關性,推導了單向纖維增強復合材料隨機有效熱性質(如熱膨脹系數)及其相關性,并與隨機因子法和蒙特卡羅法的結果進行了比較.通過對兩種方法的結果分析表明,微觀結構參數的隨機性和相關性對隨機均勻化結果具有影響,并得出一些重要結論.

復合材料;均勻化;隨機;相關性;有效熱性質

非均勻材料可滿足傳統均勻材料所不能滿足的特殊功能要求,在航空航天、汽車、民用建筑等領域得到廣泛應用.在材料和力學領域中,基于微觀結構幾何形狀和材料特性知識的均勻化技術作為連接微觀尺寸特征與宏觀響應的有效方法被廣泛用于非均勻材料有效性質的計算.在制造過程中的不確定性將不可避免地影響幾何形狀和材料參數,材料的不確定性將進一步影響結構的響應.目前,針對非均勻材料在增強相的位置/形狀、基體中孔/顆粒等空間分布以及各組成物力學特性具有不確定性的研究越來越多.文獻[1]結合等效夾雜法,基于攝動理論估算了形狀和體積分數等幾何不確定性對均勻化彈性特性概率特征的影響.文獻[2]對具有不同纖維縱橫比的隨機纖維復合材料的彈性特性進行了三維數值模擬.文獻[3-6]提出多尺度譜隨機方法、擴展有限元法等方法,求解了具有隨機細觀結構特性或隨機形態(如圓盤狀或狹縫狀隨機裂紋)的非均勻材料的有效響應.文獻[7]提出一種等效熱傳導系數均勻化方程數值求解方法,預測單向纖維復合材料以及金屬蜂窩夾芯板的等效熱傳導系數.文獻[8]研究了顆粒形狀、體積分數和空間分布參數等微結構特征對復合材料有效熱傳導系數的影響.

迄今為止,現有模型主要考慮微觀結構形態或材料特性的隨機性.尤其是在均勻化模型中,微觀結構參數之間的相關性及隨機均勻化結果之間的相關性均未考慮.與微觀結構的隨機性相比,微觀結構參數間的相關性對聯系材料整體特性和微觀結構特征起著重要作用.此外,諸如纖維增強類的復合材料通常承受熱載荷[9],隨機均勻化熱分析對于估算承受熱應力復合結構的可靠性很重要.因此,對不確定微觀結構特征及其宏觀轉變的均勻化進行合理描述將有助于非均勻材料性能預測.

基于上述原因,筆者在充分考慮微觀結構不確定性的情況下,將隨機因子法(Random Factor Method,RFM)應用于計算單向纖維增強三維復合材料的隨機有效熱特性,對兩相的形態參數和材料特性的不確定性以及上述隨機變量之間的相關性做出說明.通過比較隨機因子法和蒙特卡羅法(Monte-Carlo Method,MCM)所得到的結果來驗證所提方法的有效性.最后,利用蒙特卡羅法獲得了宏觀有效熱特性的相關性.

1　纖維增強復合材料有效熱特性的隨機均勻化

1.1復合材料均勻化熱膨脹系數張量αEI

等效夾雜法作為估算復合材料均勻化彈性性能的有效方法,當利用基于Mori-Tanaka理論的等效夾雜方法估計單向纖維增強復合材料有效熱膨脹系數時,其均勻化有效熱性能即有效熱膨脹系數張量αEI為

其中,αm為基體有效熱膨脹系數,Vf是纖維體積分數.矩陣g和φ分別為

其中,I是單位陣,S是材料Elsherby張量,Em、Ef分別是基體及纖維彈性張量,αf是纖維有效熱膨脹系數,A=-Vf(S-I),H=(Ef-Em)(S-I)+Ef,β=AH-1,D=I+β(Ef-Em).

對于各向同性材料,其彈性張量E為

其中,e是材料彈性模量,ν是泊松比.

則αEI可表示為

1.2αEI的數字特征

假設基體及纖維的彈性模量em、ef,泊松比νm、νf,有效熱膨脹系數αm、αf,纖維橫截面尺寸a1、a2,纖維體積分數Vf都具有隨機性,同時考慮em和νm、ef和νf、a1和a2之間的相關性.

根據隨機因子法[10],隨機變量y可表示為隨機因子和均值μy的乘積,即y=·μy.可反映y的隨機性,并和y服從相同的概率分布.此時,上述隨機參數可分別表示為:.其中和分別為相應隨機參數的隨機因子;和是各隨機參數的均值.隨機因子的均值為1.0,均方差為和.

當不考慮隨機參數之間相關性時,αEI的均方差為

當充分考慮隨機參數之間的相關性時,αEI的均方差為

αEI的變異系數為

2　算 例

文中利用基于隨機因子法的均勻化分析對單向纖維增強塑料復合材料微觀不確定性造成的αEI變化率進行研究.隨機微觀結構參數(如材料特性、E-玻璃纖維和環氧樹脂基體兩種組分的熱參數以及纖維橫截面尺寸)的均值如表1所示.Vf均值設定為0.25,蒙特卡羅法的模擬次數是10000.

表1　纖維和基體的隨機參數均值

表2　em、νm、a1和a2的10個算例(γem=γνm=γa1=γa2=0.05)

基于隨機向量協方差矩陣的丘拉斯基分解,通過蒙特卡羅法得到隨機微觀結構參數相關性的模擬.根據表1中隨機參數em、νm、a1和a2的均值,通過蒙特卡羅法生成服從正態分布和滿足不同相關性條件的算例如表2所示.

2.1微觀參數隨機性對αEI的影響

考慮微觀結構參數的隨機性,由隨機因子法和蒙特卡羅法分別得到αEI的均方差和變異系數,如表3所示.

由表3所示結果可得以下結論:

(1)隨機因子法和蒙特卡羅法所得結果相互吻合,從而驗證了筆者所提的隨機因子法步驟.

(2)各隨機參數對αEI隨機性具有不同的影響,尤其是對αEI主對角線元素α1、α2和α3影響不同.根據統計結果,αm的隨機性對αEI的隨機性影響最大;其次是Vf的隨機性,主要影響元素α1和α2;再次是νm的隨機性,對元素α2產生較大影響;之后是em、ef、a1、a2的隨機性,前兩個主要影響元素α3,而后兩個則對元素α1和α2影響較大;最后是νf和αf的隨機性,分別影響元素α2和α3.另外,νf、em、ef、a1和a2的隨機性依次對元素α1、α2、α2、α3和α3的隨機性沒有影響.

2.2微觀參數相關性對αEI的影響

同時考慮微觀結構參數的隨機性及變異系數時,αEI的均方差和變異系數見表4和表5.其中,γ為

表4和表5表明了不同隨機參數同時變化時所造成的相互影響.表4和表5中的變異系數遠大于表3中的,這表明αEI中每個元素的隨機性是所有參數相互作用和相互補充的結果.其次,在同時考慮各參數隨機性的情況下,當參數變異系數從0.05變化到0.10時,將增大.此外,考慮所有隨機參數相關性所得到的變異系數不同于不考慮或部分考慮相關性所得到的變異系數,再次表明了和對隨機均勻化結果相互作用和相互補充的影響.如隨或的增大而稍微增大,但當增大時,它幾乎保持常量.因此,將隨著或或的增大而稍微增大.

表4　不同相關性下αEI的σαEI和(γ=0.05,Vf=0.25)

隨機因子法所得結果蒙特卡羅法所得結果ρσα1σα2σα3γα1γα2γα3σα1σα2σα3γα1γα2γα3(×10-5)(×10-5)(×10-5)(×10-2)(×10-2)(×10-2)(×10-5)(×10-5)(×10-5)(×10-2)(×10-2)(×10-2) ρ=0.0 0.558 0.529 0.753 5.079 5.085 4.923 0.558 0.529 0.753 5.078 5.084 4.922 ρ=0.5 0.558 0.529 0.754 5.074 5.082 4.925 0.557 0.529 0.754 5.074 5.082 4.925 ρemνm=0.558 0.529 0.754 5.079 5.085 4.926 0.558 0.529 0.754 5.079 5.085 4.926 0.5 ρefνf=0.558 0.529 0.753 5.079 5.085 4.924 0.558 0.529 0.754 5.079 5.085 4.923 0.5 ρa1a2=0.558 0.529 0.753 5.074 5.082 4.923 0.557 0.529 0.753 5.073 5.081 4.922 0.5

表5　不同隨機性和相關條件下αEI的和

表5　不同隨機性和相關條件下αEI的和

隨機因子法所得結果蒙特卡羅法所得結果γ及ρσα1σα2σα3γα1γα2γα3σα1σα2σα3γα1γα2γα3(×10-5)(×10-5)(×10-5)(×10-2)(×10-2)(×10-2)(×10-5)(×10-5)(×10-5)(×10-2)(×10-2)(×10-2) γ=0.05,ρ=0.0 0.558 0.529 0.753 5.079 5.085 4.923 0.558 0.529 0.753 5.078 5.084 4.922 γ=0.05,ρ=0.8 0.557 0.529 0.754 5.071 5.080 4.927 0.557 0.528 0.754 5.070 5.081 4.927 γ=0.10,ρ=0.0 1.116 1.058 1.506 10.160 10.170 9.845 1.116 1.058 1.507 10.160 10.170 9.845 γ=0.10,ρ=0.8 1.114 1.057 1.508 10.140 10.160 9.854 1.115 1.057 1.508 10.140 10.160 9.854

2.3不同因素對αEI元素間相關性的影響

在充分考慮所有參數的隨機性及其相關性的情況下,利用蒙特卡羅法可得αEI各元素間的相關性,如表6所示.

表6　αEI元素間的相關系數(Vf=0.25,γ=0.05)

從表6中可知,無論參數間相關性的強弱如何,元素α1、α2和α3都表現出從0.98變化到1.00的強正相關性.αEI相關性隨參數相關性的增大而增大,這表明參數相關性對αEI相關性有正的以及直接的影響.

3　結 論

筆者研究具有微觀結構不確定性的纖維增強復合材料的隨機均勻化問題,得到微觀結構不確定性與宏觀熱性能之間的關系,推導了均值、均方差和變異系數等數字特征以及有效熱膨脹系數張量的相關系數.分別對隨機因子法和蒙特卡羅法得到的數值結果進行比較,得出以下結論:

(1)在較低計算成本下,所提方法就可達到與蒙特卡羅法相同的精度;

(2)微觀結構參數的隨機性及其相關性都會影響隨機有效熱膨脹系數張量αEI,且不同的隨機參數及其相關性對αEI的影響不同;微觀結構參數間的相關性不僅影響有效熱膨脹系數張量各元素的隨機性,而且還影響其取值范圍和相關性;αEI的相關性很高,而且隨著隨機參數相關性的增大而上升.

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(編輯:郭 華)

Stochastic homogenized thermal properties of composites with an uncertain microstructure

YOU Fang1,2,CHEN Jianjun1,MA Juan1,CAO Hongjun1
(1.School of Mechano-electronic Engineering,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China; 2.College of Mechanical&Electronic Engineering,Northwest A&F Univ.,Yangling 712100,China)

Random homogenization analysis of the effective thermal properties of a three-dimensional composite material with unidirectional fibers is presented by combining the equivalent inclusion method with the Random Factor Method(RFM).The randomness of the micro-structural morphology and constituent material properties as well as the correlation among these random parameters are completely accounted for,and stochastic effective thermal properties as thermal expansion coefficients as well as their correlation are then found.Results from the RFM and the Monte-Carlo Method(MCM)are compared.The impact of randomness and correlation of the micro-structural parameters on the random homogenized results is revealed by two methods simultaneously,with some important conclusions obtained.

composites;homogenization;random;correlation;effective thermal properties

TB330.1;O242

A

1001-2400(2016)05-0075-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.05.014

2015-06-26 網絡出版時間:2015-12-10

國家自然科學基金資助項目(51175398,11102143)

尤 芳(1973-),女,講師,西安電子科技大學博士研究生,E-mail:youfang@nwsuaf.edu.cn.

網絡出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20151210.1529.028.html