廣義生成函數張量分解的欠定混合盲辨識

周志文,黃高明,高 俊

(海軍工程大學電子工程學院,湖北武漢 430033)

廣義生成函數張量分解的欠定混合盲辨識

周志文,黃高明,高 俊

(海軍工程大學電子工程學院,湖北武漢 430033)

針對欠定混合盲辨識的問題,提出了一種廣義生成函數張量分解的欠定混合盲辨識算法.該算法不再約束源信號具有稀疏特性.首先將觀測信號的廣義生成函數的導數疊加成三階張量的形式,并由此可盲估計源信號的數目;然后對三階張量進行奇異值分解;最后由聯合對角化的方法估計出混合矩陣.仿真結果驗證了算法的有效性,且在相同噪聲環境下與傳統方法進行對比,表明該算法在適定和欠定條件下均可獲得更優良的混合矩陣估計精度,擴展了適定情況下基于廣義生成函數盲辨識算法的應用范圍.

欠定盲辨識;廣義生成函數;張量分解;聯合對角化;稀疏分量分析

在一定的先驗知識前提下,盲信號分離(Blind Source Separation,BSS)在未知原信號和混合系統的情況下能夠從觀測信號中恢復出原始信號,因而被廣泛應用于生物工程、語音信號處理及數字通信中.目前許多算法是根據二階統計量[1]、高階統計量[2]、非平穩性[3]和稀疏性[4]來實現盲源分離的.欠定盲信號分離解決的是源信號的數目多于觀測信號數目的問題,由于估計出的混合矩陣不存在偽逆,因而它較適定和超定的情況更復雜.

解決欠定盲分離和盲辨識的一般思想是尋求源信號在時域(或某種變換域)的稀疏特性.當稀疏性程度不夠高或存在交叉項[5]時,尤其是在信號的稀疏域未知前提下,就會制約稀疏分量分析(Sparse Component Analysis,SCA)的效果,這就使得尋求對源信號沒有稀疏性要求的算法尤為重要.當源信號非稀疏但滿足相互獨立時,利用某些數據結構(如累積量、相關特性或張量采用代數方法)可實現混合矩陣欠定盲辨識[6].假定源信號具有不同的三譜且同符號的峭度非零,文獻[7]利用四階累積量進行欠定盲辨識(FOBIUM),但源信號四階譜需要具有一定的延時.文獻[2]將時間相關的源信號的空間協方差矩陣疊加成三階張量來解決欠定盲辨識[2].文獻[8]利用方法把特征函數的導數張成P階張量進行分解,從而估計混合矩陣,但需要對原始數據迭代且噪聲魯棒性差.文獻[9]將四階協方差矩陣構成張量形式并利用平行因子分解的方法實現混合矩陣的估計,但它要求源信號四階累積量為非零,而四階或高階累積量計算復雜度高且容易出錯.當源信號為復數情況時,文獻[10]提出利用廣義生成函數(Generalized Generating Function,GGF)的導數矩陣來實現適定盲辨識.為滿足實際欠定盲辨識需求,引進張量分解的方法,筆者提出了廣義生成函數張量分解的欠定混合盲辨識算法(Tensor Decomposition of Generalized Generating Function-based blind identification of underdetermined mixtures,TD-GGF).先將廣義生成函數的Hessian矩陣累積成三階張量的形式,再通過奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)對張量分解實現混合矩陣的估計.該方法無須假設源信號具有稀疏特性,并且減小了張量分解的復雜度.

1　信號模型與假設

對于欠定線性混疊模型的盲源分離,假設N個傳感器接收到M個源信號的混合(M＞N).那么線性混疊后的信號可表示為

其中,A=[a1,…,aM]∈RN×M,為混合矩陣;x(t)=[x1(t),…,xN(t)]T∈RN,為觀測信號;s(t)=[s1(t),…,sM(t)]T∈RM,為源信號;n(t)∈RN,為加性噪聲.由于采用觀測信號廣義生成函數的偏導來估計混合矩陣A,為使A理論上是可辨識的,需要對源信號和混合矩陣進行如下假設:

(1)源信號s1(t),…,sM(t)是非高斯并且相互統計獨立的;

(2)混合矩陣任意兩列是線性獨立的,即對任意i≠j,都不存在ai≠λaj.

2　廣義生成函數的盲辨識

定義?s(τ)為源信號的廣義生成函數[10].對于平穩信號,有,其中τ=[τ1,…,τM]T∈CM,為任意處理向量以使得期望值存在;s=[s1,…,sM]T,為源平穩信號.定義廣義生成函數φs(τ)=defln?s(τ),則利用源信號間的統計獨立性,得

其中,φ″s(τ)為φs(τ)的二階導數.由前述定義,則可得到觀測信號的φx(τ)和φ″x(τ)分別為

當存在獨立加性高斯白噪聲,且其協方差矩陣為Gn時,式(5)變為

若Gn已知,通過從φ″x(τ)提取Gn,式(6)退化為無噪的問題.若Gn未知,則對任意處理向量τ,當滿足一定條件[11]時,那么通過近似聯合對角化(Approximate-Joint Diagonalization,A-JD)可得到混合矩陣的估計.

3　廣義生成函數張量分解的盲辨識

然而文獻[10]中的算法只適用于適定的情況,即M=N,所以將其擴充為適用欠定的條件具有意義.首先觀測信號經過預白化后得到z=Wx,其中W∈RN×N,為白化矩陣.隨機選擇長度為p的處理向量,即通過觀測信號的對數混合密度或者對數混合函數對廣義生成函數求其Hessian矩陣Hx.借鑒張量分解的思想,筆者將矩陣Hx疊加成三階張量,并利用張量分解估計混合矩陣.

對于源信號與觀測信號的Hessian矩陣,有

式(7)中觀測信號Hx∈RN×K,且K與τ的長度相關.首先定義集合{Cl=Hxl,l=1,…,L},并且L=K/N,那么式(7)可寫為

其中,DL為對角陣.將矩陣C1,…,CL累積為張量C∈CN×N×L,且(C)ijl=(Cl)ij,其中1≤i,j≤N,1≤l≤L.定義矩陣D∈CL×M,且(D)lm=(Dl)mm,1≤l≤L,1≤m≤M.那么式(8)可寫為

其中,°代表張量外積運算,*為共軛,{am}和{dm}分別為A和D的列向量,因而觀測信號的Hessian矩陣就表示為張量的形式.由式(9)可知,三階張量C被分解為3個秩1向量的外積,并且C的秩是它們線性組合的最小數目[12],因而利用此性質可估計出源信號的數目.目前,盲分離算法一般假設源信號數目已知或者利用一定算法通過估計混合信號矩陣的秩,從而估計出源信號個數,而筆者利用張量分解的同時也盲估計出了源信號的數目.那么由文獻[2],可將式(9)寫為

其中,☉為Khatri-Rao乘積.對于實信號,若滿足M≤min( N(N+1)/2,L),或復信號滿足M≤min(N2,L),且A☉A*列滿秩時,那么可保證張量分解的惟一性[2].利用此性質可以對張量C分解盲辨識混合矩陣.與文獻[11]中的方法不同的是,筆者對三階張量C進行奇異值分解,C可寫為

為求解F-1,下面定義映射:

其中,pijkl=xijykl+yijxkl-xilykj-yilxkj.當且僅當X∈CN×N的秩最大為1時,Ω(X,X)=0.

對于矩陣{Hm}構造的張量集,Λ為任意對角矩陣,使得M=FΛFT,M∈CM×M.利用映射Ω的雙線性且秩1特性,可得,這意味著可找到矩陣M并通過一致性聯合對角化張量集{Pst}求得F.假定張量是線性獨立的,1≤u＜v≤M,那么存在M個線性獨立的對稱矩陣Mm∈CM×M,滿足

矩陣F通過一致性可聯合對角化{Mm},即有

其中,{Λi∈CM×M,i=1,…,M},為對角陣,從而可通過式(13)和式(14)找到F.在實際中,考慮到噪聲估計的影響,因而式(13)只是近似滿足.由于Mm的對稱性和Hst=Hts,式(13)可寫成

4　仿真實驗

為評估筆者提出的廣義生成函數欠定混合盲辨識算法的性能,利用相對估計誤差EA來衡量混合矩陣的準確性.其定義為[2]

信號采樣率為4 k Hz,采樣點數為40 000.在本仿真實驗中,假定源信號個數為4,在欠定情況下接收通道為3.為衡量筆者提出算法的有效性并與其他盲辨識算法性能對比,仿真實驗分別從適定與欠定兩種情況來分析.

4.1適定情況

本實驗中隨機產生4×4的混合矩陣.在信噪比0～20 dB變化范圍內,每次進行1 000次蒙特卡羅仿真,并計算混合矩陣的平均相對估計誤差,以此來衡量算法的估計精度.在相同條件下分別對比基于二階統計量欠定盲辨識(SOBIUM)、基于四階累積量欠定盲辨識(FOBIUM)以及筆者提出的TD-GGF算法,仿真結果如圖1所示.由圖可以看出,隨著信噪比的提高,3種算法盲估計混合矩陣的精度越來越高,驗證了提出的算法在適定條件下的有效性.在相同的信噪比條件下,筆者提出的算法估計的精度優于FOBIUM和SOBIUM算法,但性能和FOBIUM相差不大,約1 d B.

圖1　適定情況下混合矩陣的平均相對估計誤差

圖2　欠定情況下混合矩陣的平均相對估計誤差

4.2欠定情況

在與前述相同的源信號前提下,隨機產生4×3的混合矩陣.與4.1節相同,在信噪比0～20 d B變化范圍內,每次進行1 000次蒙特卡羅仿真,并計算混合矩陣的平均相對估計誤差.如圖2所示,同樣地隨著信噪比逐漸增加,算法的估計精度都有一定的提高,且筆者提出的TD-GGF能夠獲得較好的平均估計誤差.盡管在適定和欠定的條件下,筆者的算法與FOBIUM算法性能差異不大,但由于無須計算四階累積量,避免了大量運算,降低了計算復雜度.同時需要注意的是,無論是文獻[10]算法還是筆者提出的欠定盲辨識TDGGF算法,都依賴于處理向量點數和適當的選擇,因而在實際應用中還需要對處理向量加以約束,使之更好地滿足需求.

5　總 結

目前解決欠定盲辨識的問題廣泛采用基于稀疏分量分析的方法,它要求源信號在時域或變換域有稀疏特性.針對源信號為非稀疏的欠定盲辨識問題,筆者提出了一種廣義生成函數張量分解的欠定混合盲辨識的算法.仿真結果表明,在適定和欠定的情況下,筆者提出的算法都具有較好的估計精度,因而增大了基于廣義生成函數適定盲辨識的適用范圍,并且實現簡單.但同適定的算法相同,都要尋找合適的處理向量,這是下一步需要研究的方向.

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(編輯:郭 華)

Tensor decomposition of generalized generating function-based blind identification of underdetermined mixtures

ZHOU Zhiwen,HUANG Gaoming,GAO Jun
(College of Electronic Engineering,Naval Univ.of Engineering,Wuhan 430033,China)

Aimed at the problem of underdetermined blind identification,an algorithm based on generalized generating function decomposition is proposed,which no longer imposes sparsity restrictions on source signals. First,the second derivative matrices of the generalized generating function are stacked to the third-order tensor form,from which the number of source signals can be blindly estimated.Then the tensor is decomposed with singular value decomposition,and the mixture matrix is estimated by the joint diagonalization method.Simulation results validate the effectiveness of the proposed algorithm,and show that the proposed algorithm can acquire a better estimation precision than other classical algorithms with the same SNRs in the conditions of well-posed and underdetermined mixtures,meanwhile it extends the field of blind source separation application via the generalized generating function restricted only to the well-posed case.

underdetermined blind identification;general generating function;tensor decomposition;joint diagonalization;sparse component analysis

TN957

A

1001-2400(2016)05-0116-05

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.05.021

2015-07-20 網絡出版時間:2015-12-10

國家“863”高技術研究發展計劃資助項目(2013AAXXXX061)

周志文(1989-),男,海軍工程大學博士研究生,E-mail:mini_paper@sina.com.

網絡出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20151210.1529.042.html