初中數學運用反例法教學探討

福建省尤溪縣管前中學 鄭忠

初中數學運用反例法教學探討

福建省尤溪縣管前中學 鄭忠

反例法和反證法同屬于數學逆向思維的兩個不同的層面.反證法的教學只限于認識即可，因為深入的反證法在高中階段才是重點.反例法教學對學生數學思維的發展意義重大，是培養學生的逆向思維，將來進一步學習反證法的必經之路.

初中數學 反例教學 逆向思維

初中數學新課標中關于在反例和反證法的教學中，要求學生能夠“通過具體的例子理解反例的作用，知道利用反例可以證明一個命題是錯誤的”；“通過實例，體會反證法的含義”.下面結合教學實踐，就初中數學教學中，運用反例法教學談一些看法和做法，以期拋磚引玉.

一、反例的作用

反例不僅在培養逆向思維能力中占重要地位，同時在糾正錯誤結論、澄清概念、開拓數學等新領域中也起到了非常重要的作用.我們可以說（撇開定義、陳述及艱苦的工作不談）數學由兩大類，即證明和反例組成，而數學的發現也是朝著這兩個主要目標，即提出證明和構造反例.由此可見反例之重要.

二、反例教學的具體操作

在新課程標準實施中，我們更加重視反例教學.學生能創造性的構造反例，對培養學生思維的逆向性、縝密性、克服思維定勢、優化思維品質具有無可替代的作用.

1.培養縝密的逆向思維.

在講授三角形全等的識別方法時，學生從正面探討“邊角邊（SA S）”、“角邊角（A SA）”、“邊邊邊（SSS）”時比較容易理解，但要理解為什么“邊邊角”不成立時感覺比較困難.

圖3

此時提示學生研究反例，筆者在教學中發現和總結出了如下幾個反例供同行們參考：

（1）如圖1，四邊形ABDC是等腰梯形，△ACD和△ABD滿足兩邊對應相等（AC=BD、AD=AD）及其中一對應邊的對角相等（∠CDA=∠BAD），但顯然△ACD和△ABD不是全等.

（2）如圖2，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一點，△ACD和△ABD滿足兩邊對應相等（AC=AB、AD=AD）及其中一對應邊的對角相等（∠B=∠C），但顯然△ACD和△ABD不是全等.

（3）如圖3，在△ABC中，AC=AD，則△ABD和△ABC滿足兩邊對應相等（AC= AD、AB=AB）及其中一對對應邊的對角相等（∠B=∠B），但顯然△ABD和△ABC不全等.

2.克服思維定式，優化思維品質.

例如，我們知道：在圓中，等弦所對的圓心角相等，則下述命題“等弦所對的圓周角相等”嗎？反例如圖4，弦AB所對的圓周角∠C≠∠D，所以這個命題是假命題.

圖4

圖5

又如，如果兩個三角形的三邊對應成比例，那么兩三角形相似，那么對于兩多邊形，學生也容易認為，“對應邊成比例的兩多邊形相似”.我們舉一個反例就可以使學生印象深刻地認識到自己的錯誤：一個正方形和一個菱形（圖5），顯然它們的對應邊成比例，但它們不相似.同樣地，對應角相等的兩多邊形相似嗎？我們可以舉一個長方形和一個正方形（圖6）作為反例，它們的對應角相等，但它們并不相似.

再如，命題“在圓中，如果直徑平分弦，則必垂直弦”是否正確？學生可能受到垂徑定理的干擾，或者自己隨手畫了畫，就認為這個命題是對的.其實我們很容易忽視圖7的這個情形.

圖6

圖7

3.挖掘思維深度，培養創造能力.

例：判斷命題“一組對邊及一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是否正確，說明理由.

反例構造1：如圖8，四邊形ABCE是平行四邊形，通過A、C、E三點畫圓O，以點A為圓心，AE為半徑畫弧交圓O于點D，連接AD、CD.則∠E=∠D，AE=AD；又因為∠B=∠E，所以∠B=∠D；且AE=BC，所以AD=BC.所以在四邊形ABCD中，有AD=BC，∠B=∠D，滿足命題的條件，但顯然四邊形ABCD不是平行四邊形.

圖8

圖9

反例構造2：如圖9，△ABC是等腰三角形，AB=AC，在邊BC上取一點D，連接AD，作∠ADE=∠DAC，截取DE=AC.則△ADC≌△DAE，所以DE=AC，且∠ACD=∠AED.所以四邊形ABDE滿足一組對邊相等（AB=DE），一組對角相等（∠AED=∠B），但顯然四邊形ABDE不是平行四邊形.

反例構造3：其實是上例的更簡潔易懂的說法：如圖9，等腰△ABC中，D是BC上的一點，現用剪刀將△ADC沿著AD剪下，翻轉后如圖△AED位置粘上，則四邊形ABDE就是滿足要求的反例.