談變式教學在初中數學習題中的運用

浙江省桐鄉市洲泉中學 錢子榮

談變式教學在初中數學習題中的運用

浙江省桐鄉市洲泉中學 錢子榮

提高課堂效率，減輕學生的課業負擔，是每一個一線教師的迫切追求；發展思維品質，培養學生探索、創造、創新能力，追求有效地數學課堂教學是新課標要求的重要體現；而變式教學有利于培養學生發現問題、探究問題和解決問題的能力，是思維訓練以及能力培養的重要途徑，為此，在當今全面實施新課程、深化教育改革的新時期，重新審視數學變式教學，闡明其原理、方法等精神實質，具有重要而深遠的現實意義.

變式 變式教學 習題

變式是創新的重要途徑，是模仿與創新的中介，是一種重要的思想方法.通過變式進行教學，展示知識的發生、發展和形成的完整認知過程，有利于培養學生發現問題、探究問題和解決問題的能力，是思維訓練以及能力培養的重要途徑.

例題、習題教學是把知識、技能和方法聯系起來的主要紐帶，是數學教學的重要組成部分.當學生掌握問題的基本解法后，教師可引導他們對問題進行多角度、多層次的思考，通過變式提出新問題或獲得同一問題的多種結果.

例題、習題變式包括一題多解(證)、一題多變、多題一解(一法多用)等.

一、一題多解(證)

一題多解(證)變式就是對同一個數學問題，啟發學生探索不同的解題方法，培養學生的發散思維和創新意識.

例一個六邊形如圖1，已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A+∠C+∠E的度數.

圖1

圖2

解法2：連接AC、AE、CE，如圖2，

解法3：向兩個方向分別延長AB，CD，EF三條邊，構成△PQR，如圖3，

圖3

圖4

解法4：連接AE、FC，如圖4，

解法5：延長AB、DC交于點P，連接EB，如圖5，

同上證法可得：

圖5

一題多解變式需要豐富的知識經驗.對于同一個問題通過多種方法來證明（求解），不但熟知數學知識的應用，而且增強了學生思維的靈活性、深刻性、廣闊性、變通性；通過幾種方法的比較，感受到數學的簡潔美、和諧美，只有這樣的審美感受，才能真正激發學生的學習興趣；讓學生認識到：已掌握的通法并不是惟一的解題方法，還可以根據題目的特點，改變考慮問題的角度，去尋找更簡捷、巧妙的方法；在平時的學習或復習中，應廣開思路、發散思維、探求問題的多種解法，從而使四基得到訓練、能力得到增強、智力得到開發；多種方法的靈活運用能讓學生產生“海闊憑魚躍，天高任鳥飛”的感覺.

二、一題多變

一題多變，就是對某個題目進行多角度、多層次的條件、結論的變換，使一個題變為一類相似題，達到融會貫通的目的.一題多變有利于培養學生的創新能力，形成良好的思維品質.一題多變主要有條件變式、逆向變式、結論變式、拓廣變式等.

1.條件變式.

所謂條件變式，就是引導學生對某一題目的條件適當變化，得到一組變式題，通過對這組變式題的分析、解決，讓學生掌握某類問題的題型結構，深入認識問題的本質，提高解題能力.

例已知：如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點，AE⊥BF.求證：AE=BF.

圖1

圖2

本題證明并不難，在學生證好本題之后，嘗試將該題作如下變化：

變式1：如圖2，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是BC，CD延長線上的點，AE⊥BF.求證：AE=BF.

變式2：如圖3，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是CB，DC延長線上的點，AE⊥BF.求證：AE=BF.

變式3：將圖1中的線段BF向上平移，如圖4，其余條件不變.求證：AE=HK

圖3

變式4：將圖4中的線段AE向左平

移，如圖5，其余條件不變．求證：EF=HK.

圖4

圖5

作如上變式設問后，創設了學生活動的情境，在動中提高學生舉一反三、觸類旁通的能力，這不僅加深學生對知識的深層次理解，更對培養學生思維的發散性和創造性有著重要作用.

2.結論變式.

所謂結論變式，就是抓住一個問題的條件，引導學生運用類比，聯想等發散思維，將問題的結論向橫向、縱向拓展，以達到以點串線、舉一反三、觸類旁通的目的.

例：（2011·遵義）已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過A（3，0），B（4，1）兩點，且與y軸交于點C．

（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數關系式及點C的坐標；

（2）如圖1，連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

圖1

圖2

（3）如圖2，連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當△OEF的面積取得最小值時，求點E的坐標．

變式1：點P為拋物線對稱軸上的一個動點，其中△APB的周長最短，求點P的坐標；

變式3：在拋物線上找一點P，使△APB是以AB為底邊的等腰三角形，求點P的坐標；

變式4：連接AC，在直線AC下方的拋物線上找一點P，使S△APC最小，求點P的坐標；

變式5：在平面直角坐標系內找一個點P，使得以A、B、C、P為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；

一題多變其實就是結論開放型的習題，教學時應經常啟發學生多角度地引申問題，培養學生的創造意識與探索精神.

3.逆向變式.

所謂逆向變式，就是當一個命題得到解決以后，啟發學生探求這個命題的逆命題是否成立，有利于培養學生的逆向思維，提高學生的創造能力.

例1如圖，正方形ABCD中，點E、 F分別在BC、CD上，且∠EAF=45°，求證：BE+DF=EF.

變式：原題其他內容不變，把結論“BE+DF=EF”變為條件，把條件“∠EAF= 45°”變為結論，則結論成立嗎？

例2角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等.

變式1：“到一個角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上”，是真命題嗎？

變式2：“在一個角的內部，到這個角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上”，是真命題嗎？

因為命題的逆命題與原命題的真假性不一定相同，從思維訓練的角度出發，逆向變式有助于培養學生的逆向思維，有助于學生對數學問題的理解和掌握.

三、一法多用（多題一解）

數學中有許多不同的分支，常常出現內容上的相互滲透.不同單元的問題雖然形式不同，但這些題目本質不變，所以方法與結果相同.另外，選擇題、填空題、解答題、證明題等不同題型之間的轉換，也可列入一法多用（多題一解）的范圍.

1.等價變式.

所謂等價變式，就是通過互為逆否命題的轉換、不同單元內容的表述等手段得到與原命題等價的變式題組，達到多題一解、強化方法的目的.

例下列問題雖然位于不同的知識單元，但都使用同一種方法，即利用一元二次判別式來解題：

變式1：m為何值時，x2-（m-3）x+8= 0無實根？

變式2：m為何值時，f（x）=x2-（m-3）x+8的圖像與x軸無交點？

變式3：m為何值時，x2-（m-3）x+8≤0的解集是空集？

變式4：m為何值時，x2-（m-3）x+8不能分解為兩個一次因式的積？

變式5：m為何值時，拋物線y=x2+8與直線y=（m-3）x無交點？

上述五個問題其實是等價的，其解題方法相同.通過上面的等價變式，使學生明確含參變量的二次方程、二次函數、二次不等式、二次三項式及二次曲線交點問題之間的內在聯系及相互轉化的規律，開闊知識視野和解題思路.

2.題型變式.

所謂“題型”，指的是題目的結構形式，也就是在一道題目中，將已知與未知及解題指令中的所有事項相互聯結起來的邏輯形式.同一數學問題，可以有用不同的表現形式，如填空題、選擇題、判斷題、計算題、證明題等.同一問題在不同題型之間的轉換就是題型變式.

變式3：計算：sin150.

題型變式有助于學生透徹理解題目的本質屬性，開闊解題思路，提高解題能力.

常言道，要給學生一杯水，教師就要有一桶水.這就要求我們不斷提高自己的專業素養和教學水平.當然，教學方式不能僅局限于變式教學，而要靈活運用各種教法學法，提高學生的數學素養.

[1]史寧中主編.義務教育數學課程標準解讀（2011版）[M].北京：北京師范大學出版社.2012：6

[2]卜啟虎.反思——高效學習方法[J].中國數學教育（初中版）.2011（4）：17

[3]朱信化、王鋒.變式中感悟習題魅力探究中提升創新能力[J].中國數學教育（初中版）.2012（7/8）：50