基于偏差熵的AHP群決策權重確定方法

王澤洲,陳云翔,蔡忠義

(空軍工程大學 裝備管理與安全工程學院,陜西 西安 710051)

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基于偏差熵的AHP群決策權重確定方法

王澤洲,陳云翔,蔡忠義

(空軍工程大學 裝備管理與安全工程學院,陜西 西安 710051)

針對群組決策專家聚類賦權過程中，可能出現雖然專家意見不同,但是由于判斷矩陣一致性比率與排序向量信息熵都相等,導致專家被賦予相同權重的問題,文章提出了一種基于偏差熵的專家聚類賦權方法。該方法基于聚類分析原理對專家群進行分類,并依據分類結果確定各專家所在類的類間權重;在各個專家類中建立偏差熵模型,依據類中各專家為達成一致性意見所貢獻的程度高低確定類中各專家權重,從而得到各專家的總權重。最后,文章結合具體算例分析表明該方法是科學可行的。

群組決策;聚類分析;專家賦權;偏差熵模型

0 引 言

經濟社會活動乃至軍事作戰運籌過程中廣泛存在評價與決策問題。由于實際問題具有復雜性與不確定性,單個專家的判斷往往難以做到科學合理,為此多采用專家群組決策的方法來削弱單個決策專家的主觀不確定性與認識模糊性。傳統群決策專家賦權法通常是利用判斷矩陣的一致性比率來構建權重系數的,可能會出現當各專家給出的判斷矩陣完全一致時,各專家權重系數相同,從而造成無法區分各個判斷矩陣質量的問題。為克服傳統群決策專家賦權法的不足,現多采用聚類分析方法實現對群決策中專家的賦權。

聚類賦權法通過專家給出的判斷矩陣進行分析,若判斷矩陣相似度越高,表明專家彼此之間的共識程度越高,相應評價的準確性則越強,且此類專家的權重越大。根據聚類結果給決策者賦權,體現了群組決策中非常重要的少數服從多數原則。現有研究成果中,專家聚類賦權法大致可歸納為以下3類:① 基于判斷矩陣一致性程度的賦權法[1-4],該方法由于缺乏對專家本身邏輯性的度量,當判斷矩陣一致性程度相同時會出現專家權重相等,不能區分判斷矩陣質量的情況;② 基于信息熵的賦權法[5-7],該方法是根據判斷矩陣排序向量的信息熵確定專家權重的,雖然能夠有效降低排序向量所帶來的不確定性,但是卻忽略一致性比率對專家權重的影響;③ 將上述2種方法融合后得到的一種基于信息熵和判斷矩陣的專家聚類賦權法[8],該方法在考慮判斷矩陣一致性的同時兼顧考慮了判斷矩陣實際含有的信息量和信息相似程度,從而在一定程度上克服了前2種賦權方法存在的不足，但該方法簡單，采用和的形式將信息熵與一致性比率耦合在一起，作為權重系數確定專家類內權重,這容易產生雖然專家意見不一致,但判斷矩陣一致性比率和排序向量信息熵都相等的專家被賦予了相同權重的問題。

針對上述問題,本文提出一種基于偏差熵的專家聚類賦權法。該方法以聚類分析為基礎實現專家聚類,同時引入偏差熵模型[9-11]來確定單個專家意見與專家所在類一致性意見的偏差程度,并以此為依據對專家進行類內賦權,從而使得在群體決策過程中,意見一致性程度高的專家群體獲得更大類間權重,體現了少數服從多數,精確勝過模糊的原則,即在同類專家中,對形成類別一致性意見貢獻度大的專家獲得更大類內權重。

1 專家聚類分析

專家聚類分析的基本原理是依據一定標準衡量專家評價意見的相似程度,并以此相似程度為依據對專家進行聚類。

假設現有M位專家對n個方案進行評價,第m位專家給出的判斷矩陣為Am,其最大特征根為λmax,對判斷矩陣最大特征根所對應的排序向量進行歸一化處理,可得判斷矩陣的歸一化排序向量為Um=(um1,um2,…,umn)T,m=1,2,…,M。

為了衡量專家評價意見的相似程度,本文定義專家意見相似系數為:

(1)

由定義可知φ(m,k)滿足如下性質:

(1)φ(m,k)=1,說明第m位專家與第k位專家的意見完全相似。

(2)φ(m,k)=0,說明第m位專家與第k位專家的意見完全不相似。

(3)φ(m,m)=1,具有自反性。

(4)φ(m,k)=φ(k,m),具有對稱性。

(5)φ(m,k)∈[0,1]。

此時,可構建M位專家意見的相似系數矩陣如下:

根據專家意見相似系數矩陣R,對專家進行聚類分析,具體步驟如下:

(1) 選取門限值φ=φ*,并以相似系數φ(m，k)≥φ*為準則,確定兩兩專家的聚類集合,其中門限值φ*是根據實際情況確定的經驗值。

(2) 對兩兩專家聚類集合中含有相同專家的集合進行“并”操作,確定專家聚類的最終結果。

2 類間賦權分析

傳統聚類賦權方法假設聚類后同一類專家的權重相同,這顯然不符合實際情況。聚類分析中的門限值φ*越小,誤差越大。本文認為專家權重應該與2個方面因素有關。一個因素是專家所在類別的人數,專家所在類別人數越多,相應專家權重應該越大，這正體現了少數服從多數的原則；另一個因素是單個專家意見對形成類別一致性意見貢獻程度的大小,對聚類貢獻程度越高,與類別一致性意見越一致,相應專家權重越大。

經過聚類分析可知，M位專家被分為L類,νm為第m位專家的綜合權重,其中m=1,2,…,M。設第m位專家所在類Gl中專家的人數為Kl。按照傳統的聚類分析方法,認為類中各專家的權重都相等,都與其所在類的專家人數成正比,即νm=ρKl,其中ρ為對每個專家都相等的比例因子,從而有:

(2)

本文認為比例因子應該對于每個專家是不同的,即有:

(3)

其中，α為對每個專家都相等的與所在類別專家的人數有關的比例因子;φm與專家意見對形成所在類別一致性意見的貢獻度有關,同一類專家中,不同專家的φm可能不同。由此可得:

(4)

設第l類專家的類別總權重即第l類專家的類間權重為λl,由上述分析可得:

(5)

由(5)式可知,α為對每個專家都相等的與所在類別專家人數有關的比例因子,是影響聚類分析結果的關鍵因素,而φm只對類中專家權重差別產生細微的影響,因此有α?φm,即有:

(6)

3 類內賦權分析

經過聚類分析可以將意見相似的專家聚合成類。設ωlk為第l類中第k位專家對形成類別一致性意見的貢獻度,即其對應的類內權重;νlk為第l類中第k位專家的總體權重。第l類專家中第k位專家的判斷矩陣可表示為:

(7)

將(7)式兩邊取對數得:

(8)

針對方案i優于方案j這一認識,第l類中第k位專家的意見與第l類專家的類別一致性意見之間的偏差可定義為:

(9)

那么針對所有評價方案,第l類中第k位專家的意見與第l類專家類別一致性意見的偏差程度可以表示為:

(10)

本文利用偏差熵描述不同專家意見與專家群體意見之間的差異,則第l類中第k位專家的偏差熵可定義為:

(11)

根據偏差熵的定義可知,熵值越大對應專家的意見與類別一致性意見的差異越小,表明專家的意見與所在類別意見越一致;反之,熵值越小對應專家的意見與類別一致性意見的差異性越大,表明專家的意見與所在類別意見越不一致。

對于第l類專家,可認為該類專家在評價時達成了共識,形成了一致性意見。為了保證最終形成的類別一致性意見能夠較為準確且盡可能反映所有專家的意愿,單個專家意見與類別一致性意見之間的偏差之和應當盡可能小,即偏差熵之和應盡可能大。由此可以建立第l類專家意見的偏差熵模型為:

(12)

將(7)～(11)式代入(12)式可得:

maxHl=

(13)

利用Matlab軟件中的fmincon最優化函數,求解可得第l類中第k位專家的類內權重ωkl。最終通過求解λl和ωlk可得專家的總權重為:

(14)

對比文獻[8]中的類內賦權過程可知,本文采用的類內賦權方法并未涉及對專家給出判斷矩陣一致性比率和歸一化排序向量的應用,而是通過利用判斷矩陣中的所有元素來實現對專家的賦權,從而避免了評價意見不一致,但容易造成判斷矩陣一致性比率和排序向量信息熵都相等的專家被賦予了相同權重情況的發生。

4 算例分析

現假設有6位專家,按照層次分析法(analytic hierarch process,AHP)的評價標準對4個備選方案進行評價,各位專家所列出的判斷矩陣分別為：

判斷矩陣歸一化排序向量和一致性比率分別為:

U1=(0.6125,0.0916,0.0934,0.2026),CR1=0.025；

U2=(0.6636,0.1116,0.1077,0.1172),CR2=0.004；

U3=(0.6455,0.1739,0.0869,0.0937),CR3=0.004；

U4=(0.3543,0.1077,0.2776,0.2605),CR4=0.077；

U5=(0.2858,0.2858,0.1426,0.2858),CR5=0；

U6=(0.2858,0.2858,0.2858,0.1426),CR6=0。

由(1)式可得專家意見相似系數矩陣為:

考慮到專家評價對象數目較多,專家意見可能存在較大差異,即專家意見相似程度較小,故本文選取門限值為φ*=0.92,進而得到專家兩兩聚類集合為{(1,2),(1,3),(2,3),(5,6)},對含有相同專家的子集進行并操作可得最終聚類結果為{(1,2,3),(5,6),(4)}。

依據聚類結果對專家進行賦權分析。根據(6)式可得專家類間權重為:

由(13)式可得專家類內權重為:

第1類專家:ω11(a1)=0.286 5,

ω12(a2)=0.315 0,ω13(a3)=0.338 5;

第2類專家:

ω21(a5)=0.408 4,ω22(a6)=0.591 6;

第3類專家:ω31(a4)=1。

其中，am(m=1,2,…,6)為第m位專家。

最后,利用(14)式對專家權重進行集結得到專家總權重為:

ν=(0.184 2,0.241 1,0.217 6,

0.071 4,0.116 7,0.169 0)。

通過聚類分析可以發現,第5位專家和第6位專家是同一類專家。根據賦權方法[1-4]可知,由于CR5=CR6,則第5位專家與第6位的類內權重相等;而判斷矩陣表明,第5位專家和第6位專家的意見差異顯著,因而文獻[1-4]采用的基于判斷矩陣一致性的權重確定法不適用于本例所示情況。

專家判斷矩陣排序向量的信息熵計算公式如下:

(15)

則第5位專家和第6位專家判斷矩陣排序向量的信息熵H(U5)=H(U6)=0.975。經分析可以發現,運用于文獻[5-7]提出的賦權方法對專家進行賦權分析,第5位專家和第6位專家將會被賦予相同的類內權重,表明該方法也不適用于此類情況。同理,文獻[8]提出的權重確定方法也不能合理地解決本例中的賦權問題。

本文基于偏差熵的專家聚類賦權法來確定專家權重,以對形成類別一致性意見的貢獻度為依據實現對專家的類內賦權。由以上算例結果可知,雖然第5位專家和第6位專家給出判斷矩陣的一致性程度和排序向量信息熵都相等,但由于第6位專家對形成類別一致性意見的貢獻大,從而被賦予了較大類內權重,這表明本文提出的基于偏差熵的專家聚類賦權法可以克服文獻[1-8]提出的3種賦權方法的不足,能夠提升專家聚類賦權分析的科學合理性。

5 結 論

本文提出的一種基于偏差熵的專家聚類賦權法具有以下4個方面特點:

(1) 有利于降低由排序向量信息熵引起的不確定性。

(2) 較好地削弱了判斷矩陣一致性比率引起的矛盾。

(3) 克服了單純以和的形式將信息熵與一致性比率耦合的權重確定法應用的局限性,提高了權值分配的精確性。

(4) 原理簡單,易于編程實現，特別是在大規模群決策問題中具有良好的應用前景。

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(責任編輯 萬倫來)

Weights of AHP group decision-making based on deviation entropy

WANG Zezhou,CHEN Yunxiang,CAI Zhongyi

(College of Equipment Management and Safety Engineering, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)

In order to solve the problem that the experts are given the same weight, which is caused by the case where the consistency ratio of judgment matrix and collating vector information entropy are equal although the experts’ opinions are different in the process of group decision-making, an expert cluster weighting method based on deviation entropy is proposed. In this method, experts are classified by using the clustering analysis principle, then the interclass weight is determined according to the classified results. And a deviation entropy model is built to determine the intraclass weight according to the contribution level of consensus opinion for experts and then the expert’s overall weight. Finally, a numerical example is given to illustrate the validity and feasibility of the proposed method.

group decision-making; clustering analysis; experts' weights; deviation entropy model

2015-07-30；

2015-09-24

總裝“十二五”國防預研基金資助項目(51327020104)

王澤洲(1992-),男,山西長治人,空軍工程大學碩士生;

陳云翔(1962-),男,江蘇南京人,博士, 空軍工程大學教授,博士生導師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.10.025

TP301.6

A

1003-5060(2016)10-1420-05