解二維Poisson方程離散化線性方程組的新型二次PEk方法

劉麗華

(廣西科技大學(xué)理學(xué)院，廣西柳州545006)

解二維Poisson方程離散化線性方程組的新型二次PEk方法

劉麗華

(廣西科技大學(xué)理學(xué)院，廣西柳州545006)

建立求解二維Poisson方程邊值問題離散得到的大型塊三對角線性代數(shù)方程組的新型二次PEk方法.驗(yàn)證了系數(shù)矩陣為M-矩陣的情形，證明了該問題利用新型二次PEk方法的可行性，最后用數(shù)值例子說明.

二維Poisson方程;離散化線性方程組;新型二次PEk方法;塊三對角矩陣

0 引言

近年來，有許多學(xué)者研究二維Poisson問題的數(shù)值求解方法.文獻(xiàn)［1］應(yīng)用Chebyshev-Tau方法得出二維Poisson問題的線性代數(shù)方程組，再利用Chebychev Galerkin方法求解線性方程組的近似解;文獻(xiàn)［2］則提出用多極理論來計(jì)算二維Poisson方程邊值問題;文獻(xiàn)［3-4］分別利用遺傳改進(jìn)算法和交替方向法求解二維Poisson問題.但二維Poisson方程帶Dirichlet邊界條件邊值問題差分格式理論應(yīng)用比較復(fù)雜，極少有文獻(xiàn)研究差分格式相應(yīng)的線性代數(shù)系統(tǒng)，文獻(xiàn)［5］利用五階WENO有限差分法實(shí)現(xiàn)了線性雙曲守恒律方程的求解;文獻(xiàn)［6］利用并行算法(PBOERA算法)對二維Poisson方程差分格式相應(yīng)的代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行求解，但它需要強(qiáng)大的并行計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn);文獻(xiàn)［7］研究一般微機(jī)就能計(jì)算的方法，并研究Matlab在動力系統(tǒng)中的應(yīng)用.張凱院等［8］給出了二次PEk方法，任水利等［9］給出了新型二次PEk方法，這些方法是求解塊三對角線性代數(shù)方程組行之有效的方法，具有迭代收斂快及存儲量小等優(yōu)點(diǎn).本文給出從二次Poisson問題的九點(diǎn)差分格式得到的塊三對角矩陣［6］，由文獻(xiàn)［9］給出新型二次PEk方法得出其數(shù)值解，并使用Matlab進(jìn)行編程求解.

1 二維Poisson方程邊值問題差分格式

考慮二維Poisson方程邊值問題［6］:

式(1)中，0＜x＜a，0＜y＜b，u|x=0=φ1(y)，u|x=a=φ2(y)，u|y=0=φ3(x)，u|y=b=φ4(x).

式(1)的九點(diǎn)差分格式可寫成如下塊三對角線性方程組形式［5］:

2 新型二次PEk方法

九點(diǎn)差分格式塊三對角線性方程組的系數(shù)矩陣為:

其中為k參數(shù)，相應(yīng)的迭代格式(10)稱為新型二次PEk方法.

3 二維Poisson問題新型二次PEk方法的可行性

定義1［10］若矩陣A=(aij)n×n滿足aij≤0(i≠j;i，j=1，2，…，n)，且A-1≥0，則稱A為M-矩陣.

定義2［10］若A∈Rn×n，若A=M-N，M-1N≥0且N≥0，則稱A=M-N為A的正規(guī)分裂.

引理1［11］若A為M-矩陣，則由式(7)給出的分解式A=M-N中的矩陣M滿足M-1≥0.

定理1由九點(diǎn)差分格式得出的二維poisson方程離散化的線性方程組系數(shù)矩陣為A為M-矩陣.

時(shí)，新型二次PEk方法收斂.

定理3由九點(diǎn)差分格式得出的二維Poisson方程離散化線性方程組可以利用新型二次PEk方法求解.

證明:由定理1可知A為M-矩陣.

因?yàn)?

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面通過試驗(yàn)說明用新型二次PEk方法求解二維Poisson方程邊值問題的有效性.取a=1，b=2，m=3，根據(jù)n和k的取值不同得出算法的迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間，如表1所示:

表1 迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間Tab.1 The number of interations and computation time

由上述數(shù)值實(shí)驗(yàn)可知，用新型二次PEk方法計(jì)算二維Poisson方程邊值問題收斂快，k的取值只要在［0，1］內(nèi)，算法計(jì)算時(shí)間變化不大.本實(shí)驗(yàn)所有的算例均在AMD E2-3000M APU 1.80 GHz CPU，4.00GB RAM，Windows 7系統(tǒng)下用MATLAB 7.0計(jì)算.相對于文獻(xiàn)［5］中需要4臺以上的處理器并行計(jì)算的速度要慢，但是該方法在矩陣階數(shù)100以內(nèi)是比較快的，算法也行之有效，是新型二次PEk方法的應(yīng)用擴(kuò)展.

［1］王建瑜，宋菲.二維Poisson方程的譜方法求解［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2009(12):3425-3428.

［2］鄭勤紅，戴雯，解福瑤，等.用多極理論計(jì)算二維Poisson方程邊值問題［J］.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2001，21(2):42-46.

［3］彭武，何怡剛，方葛豐，等.二維泊松方程的遺傳PSOR改進(jìn)算法［J］.物理學(xué)報(bào)，2013，62(2):55-64.

［4］劉相國，謝如龍，郝江鋒.二維泊松方程的交替方向迭代法［J］.大理學(xué)院學(xué)報(bào)(綜合版)，2010，10(9):1-5.

［5］湯淑芳，林賢坤，覃柏英，等.五階WENO有限差分法在線性雙曲守恒方程中的應(yīng)用［J］.廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，26(1):90-95.

［6］張衡，張武.二維Poisson方程邊值問題的塊三對角可擴(kuò)展并行算法［J］.微電子學(xué)與計(jì)算機(jī)，2008，25(10):117-120.

［7］蔡世東，蔡朝霞，張妮妮.MATLAB在動力方程求解中的應(yīng)用［J］.廣西工學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，17(1):74-76.

［8］張凱院，王自然.解線性代數(shù)方程組的二次PE方法和二次PEk方法［J］.西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，21(3):340-343.

［9］任水利，張凱院，葉正麟.解線性代數(shù)方程組的新型二次PEk方法［J］.高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，28(2):176-184.

［10］周少玲，張凱院.系數(shù)矩陣為特殊M-矩陣的線性方程組的PEk解法［J］.蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，35(1):159-163.

［11］胡家贛.線性方程組的迭代解法［M］.北京:科學(xué)出版社，1999.

A new quadratic PEkmethod for solving linear algebraic equations derived from discretizing two-dimensional Poisson equation

LIU Li-hua
(College of Science，Guangxi University of Science and Technology，Liuzhou 545006，China)

In this paper，we propose the new quadraticPEkmethod for solving a system of large scale linear algebraic equations with block-tridiagonal matrix derived from discretizing two-dimensional Poisson equation.The condition that the coefficient matrix is M-matrix is verified，and the feasibility of the new method is proved，finally a numerical example is given to show that.

two-dimensional Poisson equation;discretizing linear algebraic equations;new quadraticPEkmethod; block-tridiagonal matrix

O151

A

2095-7335(2016)02-0100-04

10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2016.02.017

(學(xué)科編輯:張玉鳳)

2015-10-22

廣西高校科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KY2015LX177，YB2014203);廣西科技大學(xué)科學(xué)基金項(xiàng)目(校科自1419204)資助.

劉麗華，碩士，講師，研究方向:數(shù)值與運(yùn)籌優(yōu)化方向，E-mail:lzhliga@163.com.